三角学/复变函数

三角函数可以定义为复变量以及实变量。

一种方法是使用 sin(x) 和 cos(x) 的幂级数，它们对所有实数和复数收敛。然而，一个更简单的过程是使用上一节中的恒等式

• cos(i x) = cosh(x)
• sin(i x) = i sinh(x)
• tan(i x) = i tanh(x)

任何复数 z 可以写成 z = x+iy，其中 x 和 y 为实数。然后我们有

sin(z) = sin(x+iy) = sin(x)cos(iy) + cos(x)sin(iy) = sin(x)cosh(y) + icos(x)sinh(y)

cos(z) = cos(x+iy) = cos(x)cos(iy) - sin(x)sin(iy) = cos(x)cosh(y) - isin(x)sinh(y)

这些函数可以取任何实数或复数值，无论其大小。尽管如此，它们仍然满足

sin²(x) + cos²(x) = 1

此外，很容易证明所有结果，如 sin(z+2π)=sin(z) 和 sin(-z)=-sin(z) 仍然成立。

显然，如果 y=0，则 sin(z) 和 cos(z) 为实数，因此 z 为实数。否则，如果 cos(x)=0，则 sin(z) 为实数；如果 sin(x)=0，则 cos(z) 为实数。

由于 cosh(y) 永远不为零，而 sin(x) 和 cos(x) 永远不会同时为零，因此 sin(z) 和 cos(z) 除实数轴上的零点外没有其他零点。

$\tan(z)=\tan(x+iy)={\frac {\tan(x)+\tan(iy)}{1-\tan(x)\tan(iy)}}={\frac {\tan(x)+i\tanh(y)}{1-i\tan(x)\tanh(y)}}$