三角学/反三角函数

基本概念

在方程

$y=\sin(x)$

中，如果我们给定了 $x$，我们可以计算出 $y$。

如果我们给定了 $y$，我们能计算出 $x$ 吗？

看看 $\sin(x)$ 的图像，你会发现对于 $y>1$ 或 $y<-1$，根本没有答案，而对于其他值的 $y$，有无穷多个答案。

如果

$y=\sin(x)$

我们将 $\sin$ 的反函数写成如下形式

$x=\sin ^{-1}(y)$

注意奇怪的符号。这只是一个约定，并不真正符合 $\sin ^{2}(x)$ 代表 $\sin(x)^{2}$ 的约定。然而，我们必须使用这种符号。它在数学工作中被广泛使用，并且非常熟悉，因此在实践中不会造成混淆。在许多计算器上，可以使用另一种符号 $\arcsin$。

计算器只会给出一个答案（或错误）来表示 $\sin ^{-1}(y)$。你可以通过添加或减去 360° 的倍数来获得其他一些答案。在后面的部分，我们将详细说明关于 $\sin ^{-1}(y)$ 给出的答案的约定。

arcsin

反函数常用的符号是“弧函数”符号，在函数名前添加“arc”，有时也可以简写为“a”。

$\sin ^{-1}(x)=\arcsin(x)={\mbox{asin}}(x)$ ,

$\cos ^{-1}(x)=\arccos(x)={\mbox{acos}}(x)$ ，以及

$\tan ^{-1}(x)=\arctan(x)={\mbox{atan}}(x)$ .

弧函数的名称可能来源于角度的弧度量和弧长之间的关系——弧函数产生单位圆上的弧长。

反函数、定义域和值域

对于某些值，正弦或余弦的反函数有多个答案，而某些值根本不存在。我们希望反函数是一个函数，但根据函数的数学定义，它不是。

• 函数是指给定一个值，始终能返回一个唯一的值作为其“答案”的东西。

$\sin(x)$ 是一个函数，因为它对于任何 x 都能返回某个值。不存在一个真正的函数作为 $\sin(x)$ 的反函数，因为例如，$\sin(20^{\circ })$ 和 $\sin(160^{\circ })$ 的值相同。反“函数”不知道是返回 20° 还是 160°。

为了解决这个问题，我们需要一些更数学的语言。我们有数学术语来描述函数作用于什么以及它的值最终落在哪里。像 ${\sqrt {x}}$ 这样的函数需要一些协议来描述它可以作用于哪些值以及它们最终落在哪里。按照惯例，${\sqrt {25}}=5$ ，尽管 $x=-5$ 也是 $x^{2}=25$ 的有效解。我们如何描述这种事情呢？

• 函数的定义域是它定义在其上的值的集合。

示例：倒数函数 函数 ${\frac {1}{x}}$ 在除 0 之外的所有 x 值上都有定义。它的定义域是实数，不包括零。

示例：阶乘函数 阶乘函数作用于正整数。 作为函数 f - $f(1)=1\ ,\ f(2)=2\ ,\ f(3)=6\ ,\ f(4)=24\dots$ 。阶乘函数通常用在数字后加一个感叹号来表示。 因此，3 的阶乘通常写成 3！，它等于 $3\times 2\times 1=6$ 。 4 的阶乘写成 4！，它等于 $4\times 3\times 2\times 1=24$ 。 阶乘函数的定义域是正整数。

• 函数的值域是指它可以取到的所有值的集合。 值域也取决于定义域。

x2 的值域 考虑函数 $f(x)=x^{2}$ 如果我们对 x 使用普通的数字，例如 37.2 或 -1001.56，我们总是会发现 $f(x)$ 是一个正数（或零）。 $f(x)$ 的值域是大于或等于零的数字。

2x 的值域 考虑函数 $f(x)=2x$ 如果我们将 $f(x)$ 的定义域选择为大于或等于 1 的数字，那么 $f(x)$ 的值域是大于或等于 2 的数字。

更多符号

• 整数是指像 1、2、3、4 这样的整数，也包括 0、-1、-2、-3... 我们用来表示整数的符号是 $\mathbb {Z}$ 。 语句 $x\in \mathbb {Z}$ 的意思与 x 是一个整数完全相同。

• 实数包括所有整数，还包括分数，以及其他数字，比如 pi 和 2 的平方根。 实数“填补”了整数之间的空缺。 你将在后面的书中获得对实数更好的定义。 我们用来表示实数的符号是 $\mathbb {R}$ 。 语句 $x\in \mathbb {R}$ 的意思与 x 是一个实数完全相同。

• 实数中的一个数字范围通常可以用区间表示法来写。 以下是一个表示大于或等于零且小于一的数字的示例：[0,1)。 方括号和圆括号有特殊的含义。 方括号表示该数字包括在内。 圆括号表示该数字不包括在内。

区间表示法 表示法 (1.3,100.7] 表示 1.3 和 100.7 之间的数字，包括 100.7，但不包括 1.3。 表示法 [-59.1,12.5] 表示 -59.1 和 12.5 之间的数字，包括 -59.1 和 12.5。 表示法 (0,71.2) 表示 0 和 71.2 之间的数字，不包括 0 和 71.2。

• 函数复合是将一个函数应用于另一个函数之后。 如果我们有两个函数 f 和 g，我们将复合函数写成作用于 x 的形式： $f\circ g(x)$ 。 这意味着首先将 g 应用于 x，然后将 f 应用于该结果。 我们可以将 $f\circ g$ 视为一个全新的函数。

• 函数 $f$ 的逆函数写成 $f^{-1}$。如果 $f$ 是将一个数字加 12 的函数，那么 $f^{-1}$ 是将一个数字减 12 的函数。

三角函数的逆函数

一些教科书通过定义新的函数 ${\mbox{Sin}}(x)$，${\mbox{Cos}}(x)$ 和 ${\mbox{Tan}}(x)$（首字母都大写）来解决三角函数的逆函数问题，这些新函数等于原函数但具有限制的定义域。

通过适当限制定义域，函数 ${\mbox{Sin}}(x)$，${\mbox{Cos}}(x)$ 和 ${\mbox{Tan}}(x)$（首字母都大写）确实有逆函数，这些逆函数也是函数。

为了使逆函数成为函数，定义域的限制是标准的。这里（以及本文档的其余部分）我们使用弧度而不是度来衡量角度

${\mbox{Sin}}(x)$ 的定义域是 $\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]$

${\mbox{Cos}}(x)$ 的定义域是 $[0,\pi ]$；以及

${\mbox{Tan}}(x)$ 的定义域是 $\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$

对于每个函数，限制的定义域包括第一象限角以及相邻象限的角。

真的逆函数吗？

重要的是要注意，由于这些限制的定义域，逆三角函数并不一定像人们期望的逆函数那样表现。虽然

${\mbox{Sin}}^{-1}\left(\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}\right)\right)={\mbox{Sin}}^{-1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {\pi }{6}}$（按照预期${\mbox{Sin}}^{-1}{\big (}\sin(x){\big )}=x$），

${\mbox{Sin}}^{-1}\left(\sin \left({\tfrac {5\pi }{6}}\right)\right)={\mbox{Sin}}^{-1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {\pi }{6}}$ .

对于反三角函数，$f^{-1}\circ f(x)=x$ 仅当 $x$ 在反函数的范围内。

然而，另一个方向：$f\circ f^{-1}(x)=x$ 对于所有 $x$ ，我们都可以应用反函数。

反函数关系

为了完整性，这里给出了基于反三角函数的反三角关系的定义。本节主要讨论如何使用数学符号来表示将 360^o 的倍数加到角度上，可以得到反三角函数的另一个解。由于我们使用的是弧度，所以我们将添加 2π 的倍数。这里还将使用一些其他符号

• 花括号 {} 表示“集合”，即集合中包含的所有元素。
• 符号 $\cup$ 被读作 **并集**。两个集合的并集是包含这两个集合所有元素的集合。

• $\sin ^{-1}(x)=\left\{{\mbox{Sin}}^{-1}(x)+2\pi k{\big |}k\in \mathbb {Z} \right\}\cup \left\{\pi -{\mbox{Sin}}^{-1}(x)+2\pi k{\big |}k\in \mathbb {Z} \right\}$ （正弦函数周期为 $2\pi$，但在任何给定周期内可能有两个解，且 $\sin(x)=\sin(\pi -x)$）
• $\cos ^{-1}(x)=\left\{\pm {\mbox{Cos}}^{-1}(x)+2\pi k{\big |}k\in \mathbb {Z} \right\}$ （余弦函数周期为 $2\pi$，但在任何给定周期内可能有两个解，且余弦函数为偶函数： $\cos(x)=\cos(-x)$）
• $\tan ^{-1}(x)=\left\{{\mbox{Tan}}^{-1}(x)+\pi k{\big |}k\in \mathbb {Z} \right\}$ （正切函数周期为 $\pi$，在任何给定周期内是单射函数）