三角函数/正切定理

对于任何三角形，其角为$A,B,C$，对应的对边长度为$a,b,c$，正切定理指出：

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left({\frac {A-B}{2}}\right)}{\tan \left({\frac {A+B}{2}}\right)}}$

相应的恒等式也适用于$b,c,B,C$和$c,a,C,A$。

何时使用

这个公式不像正弦定理或余弦定理那样重要，这就是我们将它及其证明放在参考部分的原因。您可以在您的公式书中找到此公式。我们将其及其证明包含在内是为了“完整性”。

就我们而言，它的主要用途是证明它是三角函数代数练习的好方法。

证明

根据正弦定理，

${\frac {\sin(A)}{a}}={\frac {\sin(B)}{b}}$

因此

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\sin(A)-\sin(B)}{\sin(A)+\sin(B)}}={\frac {2\cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)\sin \left({\frac {A-B}{2}}\right)}{2\sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)}}={\frac {\tan \left({\frac {A-B}{2}}\right)}{\tan \left({\frac {A+B}{2}}\right)}}$

我们将引导您详细说明上述每一步。

练习：第一步 - 所有内容都用正弦表示 让我们引入一个常数$k$ $k={\frac {a}{\sin(A)}}={\frac {b}{\sin(B)}}$ 现在用 $k,\sin(A),\sin(B)$ 表示 $a,b$。利用这些 $a,b$ 的表达式，完全从 ${\frac {a-b}{a+b}}$ 中去除 $a,b$。 最后约去 $k$。

练习：第二步 - 和角化积 对于第二步，使用和角化积公式，或者将 $A,B$ 表示为 $A={\frac {A+B}{2}}+{\frac {A-B}{2}}$ 和 $B={\frac {A+B}{2}}-{\frac {A-B}{2}}$ 并使用正弦和角公式将分子和分母转换为积。一开始看起来可能有点吓人，但如果操作正确，你会发现很多项会相互抵消。这一步，使用正弦和角公式，实际上是在练习推导和角化积公式。

练习：第三步 - 因式分解为正切 在倒数第二个表达式中（即最后第二个表达式），寻找类似于 ${\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$ 的项，其中 $x$ 是相同的表达式。这些项可以用 $\tan(x)$ 替换，其中 $x$ 就是该表达式。 请记住，如果 ${\frac {a}{b}}=\tan(\theta )$，那么可以得出 ${\frac {b}{a}}={\frac {1}{\tan(\theta )}}$。