三角函数/余弦和正弦的幂级数

将麦克劳林定理应用于角度 x（以弧度表示）的余弦和正弦函数，我们得到

$\displaystyle \cos(x)=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$

$\sin(x)=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

对于这两个级数，$n^{th}$ 项与 $(n-1)^{th}$ 项的比值对于所有 $x$ 趋于零。因此，这两个级数对于所有 $x$ 绝对收敛。

许多余弦和正弦函数的性质可以很容易地从这些展开式中推导出，例如

$\displaystyle \sin(-x)=-\sin(x)$

$\displaystyle \cos(-x)=\cos(x)$

$\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)$