三角函数/余弦和正弦的幂级数

将麦克劳林定理应用于角度为 x（以弧度表示）的余弦和正弦函数，我们得到

$\displaystyle \cos(x)=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$

$\sin(x)=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

对于这两个级数，$n^{th}$项与$(n-1)^{th}$项之比对于所有$x$趋于零。因此，这两个级数对于所有$x$都是绝对收敛的。

余弦和正弦函数的许多性质可以很容易地从这些展开式中推导出，例如

$\displaystyle \sin(-x)=-\sin(x)$

$\displaystyle \cos(-x)=\cos(x)$

$\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)$