三角函数/e 的 x 次方幂级数

复利

什么函数满足

f(x)=f'(x)

?

也就是说，对于什么函数，增长率等于当前值？

这种增长率与当前值成正比的关系是复利的基础关系。如果你正在获得一笔资金的复利并重新投资收入，那么你在固定时间内获得的金额与你在这段时间开始时的资金金额成正比。如果你从 2 个单位开始，它会变成 4，然后是 8，然后是 16，然后是 32 等等。所以

f(x)=2^{x}

是一个很好的候选函数，它满足微分方程？如果我们近似地评估在 $x=0$ 处的斜率，我们得到大约 0.69。像 $2^{x}$ 这样的表达式看起来很有希望，但 2 的常数太小了。

如果我们改为尝试

f(x)=3^{x}

我们发现零处的斜率大约为 1.09。3 的常数太大，但不是太大。如果要对某些数字 $k$ 使得 $f(x)=k^{x}$ 奏效，我们将希望该数字在 2 和 3 之间。我们并不是说这是可能的，只是它看起来是一个有希望的探索途径。事实证明，确实存在一个有效的数字。

幂级数

我们可以尝试一种完全不同的方法，就好像我们不知道将某个数字提高到 $x$ 的幂是一个好主意。

假设 $f(x)$ 可以表示为一个幂级数，用 $x,x^{2},x^{3},\dots$ 表示，也就是说

f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+\cdots

然后逐项求导，假设这一切都有意义，我们将得到

f'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+4a_{4}x^{3}+5a_{5}x^{4}+\cdots

为了使微分关系成立，逐项比较对应系数，我们需要

a_{1}=a_{0},a_{2}={\frac {a_{1}}{2}},a_{3}={\frac {a_{2}}{3}},a_{4}={\frac {a_{3}}{4}},a_{5}={\frac {a_{4}}{5}}

如果我们令

a_{0}=1,a_{1}=1,a_{2}={\frac {1}{2!}},a_{3}={\frac {1}{3!}},a_{4}={\frac {1}{4!}},a_{5}={\frac {1}{5!}}

其中 $4!$ 是阶乘函数，表示 $1\times 2\times 3\times 4$ ，其他值同理。

换句话说

f(x)=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots

我们现在需要检查这个公式是否有意义。

收敛

主要问题是我们有一个无限和。像 $1+3+9+27+81+\cdots$ 这样的和是无界的。即使是像 $1+1+1+1+1+\cdots$ 这样的和也会给我们带来问题。另一方面，有些和是可以的。如果我们看一下

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+\cdots

我们可以看到这个和是良好的，如果我们继续加下去，它会尽可能接近2。

让我们在公式中令 $x=10$

f(x)=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots

乍一看这似乎不太妙。

f(10)=1+{\frac {10}{1!}}+{\frac {100}{2!}}+{\frac {1000}{3!}}+\cdots

f(10)=1+10+50+166.666+\cdots

这些项越来越大，我们似乎比 $1+1+1+1+1+\cdots$ 情况还要糟糕。

然而，我們太過草率了。虽然每一项的分子都是 $x^{n}$ ，分母是 $n!$ 。当我们向右移动一项时，分子乘以的倍数是 $x$ ，在本例中是 10。然而，当我们向右移动一项时，分母乘以的倍数是不断增加的。当我们到达第 21 项时，我们有 $10^{20}$ 除以 $20!$ 。下一项的分子是前一项的 10 倍，分母是前一项的 21 倍。所以从第 22 项开始，每一项都小于前一项的一半！

当 $x=10$ 时，从第 22 项开始的所有项的总和不会趋于无穷大。事实上，该总和必须小于第 22 项的两倍。如果我们也加上前 21 项，总和仍然不会趋于无穷大。

我们已经证明，如果我们将值 $x=10$ 代入方程，我们会得到一个有限的总和，并且该总和是有意义的。计算它可能需要一些工作，但我们可以通过在总和中走得足够远来无限接近它。如果总和趋于无穷大，就不会这样。几乎完全相同的论证适用于 $x=100$ 或我们选择的任何其他正值，尽管对于更大的值，我们必须走得更远，才能使项开始减半或更好。