普莱斯定理指出，当 n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty }
引理
当 n → ∞ , 2 n sin ( θ 2 n ) → θ {\displaystyle n\rightarrow \infty ,\,2^{n}\sin \left({\frac {\theta }{2^{n}}}\right)\rightarrow \theta } .
引理证明
当 n → ∞ , θ 2 n → 0 {\displaystyle n\rightarrow \infty ,\,{\frac {\theta }{2^{n}}}\rightarrow 0} 因此 sin ( θ 2 n ) θ 2 n → 1 {\displaystyle {\frac {\sin \left({\frac {\theta }{2^{n}}}\right)}{\frac {\theta }{2^{n}}}}\rightarrow 1} 。重新排列后，结果随之得出。
定理证明
sin ( θ ) = 2 sin ( θ 2 ) cos ( θ 2 ) = 2 2 sin ( θ 4 ) cos ( θ 4 ) cos ( θ 2 ) = . . . {\displaystyle \sin(\theta )=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)=2^{2}\sin \left({\frac {\theta }{4}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{4}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)=...}
因此
cos ( θ 2 ) cos ( θ 4 ) . . . cos ( θ 2 n ) = sin ( θ ) 2 n sin ( θ 2 n ) {\displaystyle \cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{4}}\right)...\cos \left({\frac {\theta }{2^{n}}}\right)={\frac {\sin(\theta )}{2^{n}\sin \left({\frac {\theta }{2^{n}}}\right)}}}
结果然后从引理得出。
此定理归功于巴塞洛缪·普莱斯（1818-1898）。
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因此 
。重新排列后，结果随之得出。
