三角学/证明：海伦公式

示例：边长为 5-6-7 的三角形 我们知道边长为 3、4 和 5 的三角形是直角三角形。两个这样的三角形将组成一个边长为 3 和 4 的矩形，因此它的面积为 ${\frac {3\cdot 4}{2}}=6$ 。 边长为 5、6、7 的三角形，其最大角将小于直角，其面积将小于 ${\frac {5\cdot 6}{2}}=15$ 。让我们使用海伦公式计算其面积，看看它比估计值小多少。 $s={\frac {5+6+7}{2}}=9$ $A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {9(9-5)(9-6)(9-7)}}={\sqrt {9(4)(3)(2)}}={\sqrt {216}}=6{\sqrt {6}}\approx 14.7$ 因此它比估计值并没有小很多。

用于证明的三角形。

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

你需要证明吗？

你需要这个证明吗？

对于大多数考试来说，你不需要知道这个证明。你可以在第一次阅读这本书时跳过它。

它出现在这里有两个原因。

• 它是一个比你在三角学课程中通常做的更复杂的代数练习。在遵循步骤时保持冷静。大多数这种水平的课程不证明它，因为他们认为它太难了。
• 证明表明海伦公式不是三角形的一些新的特殊性质。它必须是这样，因为毕达哥拉斯定理。

证明

视频链接

在 可汗学院 有关于这个证明的视频，可能更容易理解。

• 海伦公式证明第一部分
• 海伦公式证明第二部分

证明

用于证明的三角形。

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

三角形的面积 A 由两个较小的直角三角形的面积组成。

$A={\frac {dh+(c-d)h}{2}}={\frac {ch}{2}}$

$A^{2}={\frac {c^{2}h^{2}}{4}}={\frac {c^{2}(b^{2}-d^{2})}{4}}={\frac {c^{2}b^{2}-c^{2}d^{2}}{4}}$

第二步是根据毕达哥拉斯定理。

为了更接近我们需要的结果，我们需要得到一个关于 $c^{2}d^{2}$ 的表达式，该表达式不涉及 d 或 h。代数中有一个很有用的技巧可以从平方差中得到两个值的乘积。我们可以这样得到 cd

$(c+d)^{2}-(c-d)^{2}=c^{2}+2cd+d^{2}-(c^{2}-2cd+d^{2})=4cd$

然而，这并不完全是我们需要的。在左侧，我们需要“去除”d，为此，我们需要将左侧转换为可以使用 a^2 或 b^2 的勾股定理之一的形式。一些实验表明

$c^{2}+2cd+d^{2}-(c-d)^{2}=4cd$ 接下来，从两边减去 2cd

$c^{2}+d^{2}-(c-d)^{2}=2cd$ 接下来，对 a 使用勾股定理

$c^{2}+d^{2}-(a^{2}-h^{2})=2cd$

$c^{2}+d^{2}-a^{2}+h^{2}=2cd$ 接下来，对 b 使用勾股定理

$c^{2}+b^{2}-a^{2}=2cd$

我们已经取得了很大进展。我们得到了一个关于 cd 的公式，该公式不涉及 d 或 h。现在，我们可以将该公式代入 A 的公式中，使其也不涉及 d 或 h。

$A^{2}={\frac {4c^{2}b^{2}-(c^{2}+b^{2}-a^{2})^{2}}{16}}$

展开并化简后，得到

$A^{2}={\frac {2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}{16}}$

这是非常令人鼓舞的，因为公式非常对称。我们想要一个对 a、b 和 c 同等对待的公式。

我们还有很多路要走。这个公式是关于 a、b 和 c 的，我们需要一个关于 s 的公式。

达到这个目标的一种方法是对这些公式进行实验

$4s^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

$4s(s-a)=-a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc$

$4(s-a)(s-b)=-a^{2}-b^{2}+c^{2}+2ab$

计算出这三个公式后，根据对称性，以下完整表格如下

$4s^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

$4s(s-a)=-a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc$

$4s(s-b)=a^{2}-b^{2}+c^{2}+2ac$

$4s(s-c)=a^{2}+b^{2}-c^{2}+2ab$

$4(s-a)(s-b)=-a^{2}-b^{2}+c^{2}+2ab$

$4(s-a)(s-c)=-a^{2}+b^{2}-c^{2}+2ac$

$4(s-b)(s-c)=a^{2}-b^{2}-c^{2}+2bc$

然后将上面表格中的两行相乘

$4s(s-a)\times 4(s-b)(s-c)=(-a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc)\times (a^{2}-b^{2}-c^{2}+2bc)$

=右侧的表达式类似于$(-q+p)\times (q+p)$，结果为$-(q^{2})+p^{2}$。这是一个计算的捷径。我们可以直接将所有项都乘开，得到16项，然后进行消项和合并，得到

$16s(s-a)(s-b)(s-c)=-(-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+(2bc)^{2}$

$=-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}-2b^{2}c^{2}+4b^{2}c^{2}$

$=-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}$

$=16A^{2}$

所以

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

练习：钝角怎么办？ 你是否注意到，就像三角形面积等于底乘以高的一半的证明一样，这个关于面积的证明也把三角形分成了两个直角三角形？它存在着完全相同的问题——如果三角形有一个钝角怎么办？ 思考一下我们可以修正证明的这三种不同的方法 重复证明，这次使用钝角，并减去面积而不是加上面积。 选择三角形的放置位置，使得最大的角在顶端。这样问题就消失了。 在上面的证明中，允许长度和面积为负数。 这三种选择中哪种最简单？ 这三种方法都是修正证明的有效方法吗？ 最简单且有效的方案是最好的。它提供最短的证明，也最容易检查。