三角学/正弦、余弦和指数函数的幂级数关系
一个类似的函数是指数函数<math>e(\theta)\,</math>，它由以下陈述定义：<math>e(\theta)\,</math>的变化率为<math>e(\theta)\,</math>，并且<math>e(0)\,</math>的值为1。这里我们只需要对变化率运算符应用一次就能回到起点。明确地说
<math>\frac{e(\theta+\delta\theta)-e(\theta)}{\delta\theta}</math> tends to <math>e(\theta)\,</math> as <math>\delta\theta\,</math> tends to zero.
可以重写，将<math>\theta\,</math>替换为<math>i\theta\,</math>，其中<math>\,i</math>是任意常数，得到
<math>\frac{e(i\theta+\delta i\theta)-e(i\theta)}{\delta i\theta}</math> tends to <math>e(i\theta)\,</math> as <math>\delta\theta\,</math> tends to zero.
因为<math>i\,</math>是常数，<math>\delta i\theta = i\delta\theta\,</math>，执行此替换，我们得到
<math>\frac{e(i\theta+i\delta\theta)-e(i\theta)}{i\delta\theta}</math> tends to <math>e(i\theta)\,</math> as <math>\delta\theta\,</math> tends to zero.
<math>\Rightarrow \frac{e(1(\theta+\delta\theta))-e(i\theta)}{i\delta\theta}</math> tends to <math>e(i\theta)\,</math> as <math>\delta\theta\,</math> tends to zero.
<math>\Rightarrow \frac{d e(i\theta)}{d\theta} = i*e(i\theta)</math>
也就是说，<math>e(i\theta)\,</math>关于<math>\theta\,</math>的变化率为<math>i*e(i\theta)\,</math>。我们可以继续这个过程，找到<math>i*e(i\theta)\,</math>关于<math>\theta\,</math>的变化率
<math>\frac{d i*e(i\theta)}{d\theta}</math> is the limit of:
<math>\frac{i*e(i(\theta+\delta\theta))-i*e(i\theta)}{\delta\theta}</math> as <math>\delta\theta\,</math> tends to zero, which is the same as:
<math>\frac{i(e(i(\theta+\delta\theta))-e(i\theta))}{\delta\theta}</math> as <math>\delta\theta\,</math> tends to zero, which is:
<math>i\frac{d e(i\theta)}{d\theta} = i*i*e(i\theta)</math>
连续执行四次得到，并与对<math>cos()\,</math>函数执行相同操作进行比较
<math>\frac{d e(i\theta)}{d\theta} = i*e(i\theta)</math> <math>\frac{d cos(\theta)}{d\theta} = - sin(\theta)</math>
<math>\frac{d i*e(i\theta)}{d\theta} = i*i*e(i\theta)</math> <math>\frac{d -sin(\theta)}{d\theta} = - cos(\theta)</math>
<math>\frac{d i*i*e(i\theta)}{d\theta} = i*i*i*e(i\theta)</math> <math>\frac{d -cos(\theta)}{d\theta} = sin(\theta)</math>
<math>\frac{d i*i*i*e(\theta)}{d\theta} = i*i*i*i*e(i\theta)</math> <math>\frac{d sin(\theta)}{d\theta} = cos(\theta)</math>
如果存在一个数<math>i\,</math>，使得<math>i*i = -1</math>，因此<math>i*i * i*i = -1 * -1 = 1</math>，那么我们可以将函数<math>cos()\,</math>与函数<math>e()\,</math>关联起来。幸运的是，存在一个可以工作的数字：-1 的平方根。从现在起，<math>i\,</math>将表示-1 的平方根。<math>-i*-i = (-1)*i*(-1)*i = (-1)*(-1)*i*i = (1)*(-1)=-1</math>也是一个解。那么我们可以预期<math>cos(\theta)\,</math>是<math>e(i\theta)\,</math>和<math>e(-i\theta)\,</math>的某种线性组合，也许
<math>cos(\theta) = A*e(i\theta)+B*e(-i\theta)\,</math>
我们知道<math>cos(0) = 1\,</math>，所以
<math>cos(0) = 1 = A*e(i*0)+B*e(-i*0) = A*e(0)+B*e(0) = A + B\,</math>
求关于<math>\theta\,</math>的变化率
<math>\Rightarrow \frac{d cos(\theta)}{d\theta} = \frac{d(\frac{A*e(i\theta)}{d\theta}+d(B*e(-i\theta))}{d\theta}</math>
<math>=> - sin(\theta) = i*A*e(i\theta) + -i*B*e(-i\theta) = - cos(\frac{\pi}{2}-\theta)</math>
令<math>\theta = 0\,</math>，记住<math>cos(\frac{\pi}{2}) = 0\,</math>，
<math>\Rightarrow 0 = iA - iB = i(A-B) \Rightarrow A = B</math>
所以现在我们知道<math>A+B = 1</math> 并且<math>A = B</math>，所以<math>A+A = 1</math>，所以<math>A = 1/2</math> 并且<math>B = 1/2</math>。
总结一下我们目前所知道的
<math>cos(\theta) = \frac{e(i\theta) + e(-i\theta)}{2}</math> where <math>\theta\,</math> is in radians and <math>i\,</math> is a square root of -1.
将<math>\theta\,</math>替换为<math>-\theta\,</math>反过来得到
<math>cos(-\theta) = \frac{e(-i\theta) + e(i\theta)}{2}</math>, the same formula, so we must have that <math>cos(\theta) = cos(-\theta)\,</math>.
给定
<math>cos(\theta) = \frac{\frac{e(i\theta)}{2} + e(-i\theta)}{2}</math>
我们可以找到两边关于 θ 的变化率来找到用 e() 表示的 sin()
-sin(θ) = i+e( iθ)/2 - i*e(-iθ)/2
=> sin(θ) = i*e(-iθ)/2 - i*e( iθ)/2
将 -θ 代替 θ 得到
sin(-θ) = i*e(iθ)/2 - i*e(-iθ)/2 = -sin(θ)
因此 sin() 是奇函数，将其与 cos() 进行比较，cos() 是偶函数，因为 cos(θ) = cos(-θ)。
我们可以用 cos() 和 sin() 表示函数 e()
cos(θ) + i * sin(θ) = e(iθ)/2 + e(-iθ)/2 + i*i*e(-iθ)/2 - i*i*e(iθ)/2
= e(iθ)/2 + e(-iθ)/2 - e(-iθ)/2 + e(iθ)/2
= e(iθ)
这被称为“欧拉公式”。
从“余弦倍角公式”中，我们知道
cos(2θ) = 2 * cos(θ)**2 - 1
令 θ = π/2，使得 cos(π/2) = 0，那么
cos(2π/2) = 2 * cos(π/2)**2 - 1 => cos (π) = 2 * 0**2 - 1 => cos (π) = - 1
根据勾股定理
sin(π)**2 + cos(π)**2 = 1 => sin(π)**2 + -1**2 = 1 => sin(π)**2 = 0 => sin(π) = 0
因此，我们可以将 e(iπ) 评估为
e(iπ) = cos(π) + i * sin(π) = -1 + i * 0 = -1;
类似地，我们可以从 e(iθ) 评估 e(-iθ)
e( iθ) = cos( θ) + i * sin( θ) => e(-iθ) = cos(-θ) + i * sin(-θ) => e(-iθ) = cos(θ) - i * sin( θ) as cos() is even, sin() is odd
这个结果使我们能够评估 e(iθ)e(-iθ)
e(iθ)e(-iθ) = (cos(θ) + i * sin(θ))(cos(θ) - i * sin(θ))
= (cos(θ)**2 - i*i*sin(θ)**2)
= cos(θ)**2 + sin(θ)**2 as i*i = -1
= 1 Pythagoras
从“余弦倍角公式”开始，我们知道
cos(2θ) = 2 * cos(θ)**2 - 1
将 cos() 替换为其在 e() 中的公式
cos(θ) = e(iθ)/2 + e(-iθ)/2
得到
e(2iθ)/2 + e(-2iθ)/2 = 2 * (e(iθ)/2 + e(-iθ)/2)**2 - 1
= 2 * (e(iθ)/2)**2+(e(-iθ)/2)**2 +2e(iθ)e(-iθ)/4) - 1
= (e(iθ)**2)/2+(e(-iθ)**2)/2 + e(iθ)e(-iθ) - 1
但是
e(iθ)e(-iθ) = 1
所以我们继续代数简化得到
e(2iθ)/2 + e(-2iθ)/2 = (e(iθ)**2)/2+(e(-iθ)**2)/2 + e(iθ)e(-iθ) - 1
= (e(iθ)**2)/2+(e(-iθ)**2)/2 + 1 - 1
= (e(iθ)**2)/2+(e(-iθ)**2)/2
再次
e(iθ)e(-iθ) = 1
所以我们不得不得出结论
e( 2iθ) = e( iθ)**2 and e(-2iθ) = e(-iθ)**2 for any angle θ.
e() 函数的行为类似于求幂，也就是说我们可以写成
e(iθ) = e**iθ
其中 e 是一个数值未知的数，它是方程的解
e**iπ = -1
由于 e() 函数的行为类似于指数
e(i*θ1) * e(i*θ2) = e**(i*θ1) * e** (i*θ2) = e**(i*(θ1+θ2)) = e(i(θ1+θ2))
特别是
(cos(θ) + i * sin(θ))**n = e(iθ)**n
= (e**iθ)**n
= e**inθ
= e(inθ)
= (cos(nθ) + i * sin(nθ))
让我们用 n = 2 试试这个公式
(cos(θ) + i * sin(θ))**2 = cos(2θ) + i * sin(2θ)
=> (cos(θ)**2 - sin(θ))**2 + 2 * i * cos(θ)sin(θ) = cos(2θ) + i * sin(2θ)
现在，数字 i 明显不是实数，因为没有实数是方程 i*i = -1 的解，然而 cos() 和 sin() 函数都产生实数结果，毕竟，它们只是三角形边长之比。因此，在上述中，我们可以将被 i 乘以分割的方程部分相等，得到两个方程
cos(2θ) = cos(θ)**2 - sin(θ))**2 sin(2θ) = 2*cos(θ)*sin(θ)
回想一下“余弦角和公式”
cos(θ1+θ2) = cos(θ1)cos(θ2) - sin(θ1)sin(θ2)
令 θ = θ1 = θ2 得到相同的结果
cos(θ+θ) = cos(2θ) = cos(θ)cos(θ) - sin(θ)sin(θ)
同样，回想一下“正弦角和公式”
sin(θ1+θ2) = cos(θ1)sin(θ2) + sin(θ1)cos(θ2)
令 θ = θ1 = θ2 得到相同的结果
sin(θ+θ) = sin(2θ) = cos(θ)sin(θ) + sin(θ)cos(θ) = 2*sin(θ)cos(θ)
使用余弦和正弦角和公式，并将部分相等，我们可以推导出
e(i*θ1) * e(i*θ2)) = (cos(θ1) + i * sin(θ1)) * (cos(θ2) + i * sin(θ2)) = (cos(θ1)*cos(θ2) - sin(θ1)*sin(θ2) + i(cos(θ1)sin(θ2)) + cos(θ2)sin(θ1)) = cos(θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2) = e(i(θ1+θ2))
其中 e() 函数完美地展示了其指数性质。
i 能够将单个方程划分为两个正交联立方程的能力使 e(iθ) 的形式表达式，因此使三角学，在电子学等多种应用中变得非常宝贵：在同一个方程中同时表示电流和电压；以及量子力学，在其中需要将位置和动量，或时间和能量表示为由不确定性原理分割的变量对。