三角函数/简化 sin(x) + b cos(x)

考虑函数

f(x)=a\sin(x)+b\cos(x)

我们将证明这是一个正弦波

f(x)=A\sin(x+\phi )

并发现振幅为 $A={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ ，相位为 $\phi =\arctan {\frac {b}{a}}$

为了简化，我们假设 a 和 b 都是正数。这并非必要，在学习本节后，您可能想要思考如果 a 或 b 等于零或为负数会发生什么。

几何论证

待办事项：添加图表。

我们首先使用一个几何论证，它实际上展示了一个更一般性的结果，即

g(\theta )=a\sin(\theta +\lambda _{1})+b\sin(\theta +\lambda _{2})

是一个正弦波。

通过设置 $\lambda _{1}=0^{\circ }\ ,\ \lambda _{2}=90^{\circ }$ ，它将遵循 $f(\theta )=a\sin(\theta )+b\cos(\theta )$ 是正弦的。

我们使用正弦的“单位圆”定义： $a\sin(\theta +\lambda _{1})$ 是从原点 O 到点 A，长度为 $a$ ，与 x 轴成 $\theta +\lambda _{1}$ 角的直线的 y 坐标。

现在，我们画一条长度为 $b$ 的线段 ${\overline {AB}}$ ，它与 x 轴平行线的夹角为 $\theta +\lambda _{2}$ （其中该角相对于平行于 x 轴的直线测量）。点 $B$ 的 y 坐标是点 $A$ 的 y 坐标加上从 $A$ 到 $B$ 的垂直位移。换句话说，它的 y 坐标是 $g(\theta )$ 。

然而，还有另一种看待点 $B$ 的 y 坐标的方式。线段 ${\overline {OB}}$ 的长度不会随着我们改变 $\theta$ 而改变——唯一发生的变化是三角形 $\Delta OBA$ 绕 O 点旋转。特别地， ${\overline {OB}}$ 绕 O 点旋转。

因此，点 $B$ 的 y 坐标是一个正弦函数（我们可以从前面提到的“单位圆”定义中看到这一点）。振幅是线段 ${\overline {OB}}$ 的长度，相位是 $\lambda _{1}+\angle BOA$ 。

代数论证

代数论证本质上是对几何论证的洞察的代数翻译。我们也处于一个特殊情况下，其中 $\lambda _{1}=0$ 且 $\angle OAB=90^{\circ }$ 。本节中使用的 x 和 y 现在不再是坐标。'y' 将扮演 $\lambda _{1}+\angle BOA$ 的角色，而 'x' 扮演 $\theta$ 的角色。