三角学/用半角公式解三角形

在本节中，我们将介绍使用半角公式解三角形的另一种方法。

给定一个边长为a，b和c的三角形，定义

s = ¹⁄₂(a+b+c).

注意

a+b-c = 2s-2c = 2(s-c)

以及a和b的类似情况。

我们从余弦定理得到

$\displaystyle \cos(A)={{b^{2}+c^{2}-a^{2}} \over {2bc}}$

Sin(A/2)

$\displaystyle 2\sin ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right)=1-\cos(A)=1-{{b^{2}+c^{2}-a^{2}} \over {2bc}}={{(a+b-c)(a-b+c)} \over {2bc}}={{2(s-b)(s-c)} \over {bc}}$

所以

$\displaystyle \sin \left({\frac {A}{2}}\right)={\sqrt {{(s-b)(s-c)} \over {bc}}}$.

根据对称性，存在包含角 B 和 C 的类似表达式。

注意，在这个表达式和所有其他半角表达式中，总是取正平方根。这是因为三角形的一半角必须始终小于直角。

Cos(A/2) 和 tan(A/2)

$\displaystyle 2\cos ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right)=1+\cos(A)=1+{{b^{2}+c^{2}-a^{2}} \over {2bc}}={{(a+b+c)(b+c-a)} \over {2bc}}={{2s(s-a)} \over {bc}}$

所以

$\displaystyle \cos \left({\frac {A}{2}}\right)={\sqrt {{s(s-a)} \over {bc}}}$.

$\displaystyle \tan \left({\frac {A}{2}}\right)={\sin({\frac {A}{2}}) \over \cos({\frac {A}{2}})}={\sqrt {{(s-b)(s-c)} \over {s(s-a)}}}$.

同样，根据对称性，存在包含角 B 和 C 的类似表达式。

Sin(A) 和 海伦公式

可以用以下任何一个恒等式找到 sin(A) 的公式

$\displaystyle \sin(A)=2\sin \left({\frac {A}{2}}\right)\cos \left({\frac {A}{2}}\right)$

$\displaystyle \sin(A)={\sqrt {(1+\cos(A))(1-\cos(A))}}$

这两个公式都得出：

$\displaystyle \sin(A)={\frac {2}{bc}}{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

始终使用正平方根，因为A不能超过180º。同样地，通过对称，有关于角B和C的类似表达式。这些表达式为正弦定理提供了另一种证明。

由于三角形的面积

$\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}bc\sin(A)$,

$\displaystyle \Delta ={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

这就是海伦公式。