三角函数/一些初步结果

我们证明了一些在微积分应用于三角函数时需要的结果。

证明参考图

定理：如果 $\theta$; 是一个大于0但小于直角的正角（以弧度表示），则 $0<\sin(\theta )<\theta <\tan(\theta )$.

证明：考虑一个圆，圆心为 $O$，半径为 $r$，并在圆周上选择两个点 $A$ 和 $B$，使得 $\angle AOB$ 小于直角。在点 $B$ 处作圆的切线，并设 ${\overrightarrow {OA}}$ 的延长线与切线交于点 $C$。显然

$0<\operatorname {area} \left(\triangle OAB\right)<\operatorname {area} \left({\text{⌔}}OAB\right)<\operatorname {area} \left(\triangle OBC\right)$

即

$0<{\frac {1}{2}}r^{2}\sin(\theta )<{\frac {1}{2}}r^{2}\theta <{\frac {1}{2}}r^{2}\tan(\theta )$

结果得证。

推论：如果$\theta$是一个负角，大于负直角（以弧度表示），那么$0>\sin(\theta )>\theta >\tan(\theta )$。[这来自$\sin(-\theta )=-\sin(\theta )$和$\tan(-\theta )=-\tan(\theta )$。]

推论：如果$\theta$是一个非零角，小于直角但大于负直角（以弧度表示），那么$0<\left\vert \sin \theta \right\vert <\left\vert \theta \right\vert <\left\vert \tan \theta \right\vert$。

定理：当$\theta \rightarrow 0,{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\rightarrow 1$和${\frac {\tan(\theta )}{\theta }}\rightarrow 1$。

证明：将前一定理的结果除以$\sin(\theta )$并取倒数，

$1>{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}>\cos(\theta )$.

但$\cos(\theta )$趋向于$1$当$\theta$趋向于$0$，因此第一部分成立。

将前一定理的结果除以$\tan(\theta )$并取倒数，

${\frac {1}{\cos(\theta )}}>{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}>1$.

再次，$\cos(\theta )$ 趋于 $1$ 因为 $\theta$ 趋于 $0$，所以第二部分成立。

定理： 如果 $\theta$ 如前所述，则 $\cos(\theta )>1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}$。

证明

$\cos(\theta )=1-2\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)$

$\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)<{\frac {\theta }{2}}{\text{ so}}$

$\cos(\theta )>1-2\left({\frac {\theta }{2}}\right)^{2}=1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}$.

定理： 如果 $\theta$ 如前所述，则 $\sin(\theta )>\theta -{\frac {\theta ^{3}}{4}}$。

证明

$\sin(\theta )=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)=2\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)$.

$\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)>{\frac {\theta }{2}}{\text{ so}}$

$\sin(\theta )>2\left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)=\theta \left(1-\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)$.

$\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)<{\frac {\theta }{2}}{\text{ so}}$

$1-\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)>1-\left({\frac {\theta }{2}}\right)^{2}{\text{ so}}$

$\sin(\theta )<\theta \left(1-\left({\frac {\theta }{2}}\right)^{2}\right)=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{4}}$.

定理： $\sin(\theta )$ 和 $\cos(\theta )$ 是连续函数。

证明： 对于任意 $h$，

$|\sin(\theta +h)-\sin(\theta )|=2|\cos \left(\theta +{\frac {h}{2}}\right)||\sin \left({\frac {h}{2}}\right)|<h$,

因为 $\left\vert \cos(\theta )\right\vert$ 不超过 $1$，并且 $\left\vert \sin(\theta )\right\vert$ 不超过 $\left\vert x\right\vert$。因此，当

$h\rightarrow 0,\,\sin(\theta +h)\rightarrow \sin(\theta )$,

证明了连续性。cos(θ) 的证明类似，或者可以从以下公式推导

$\cos(\theta )=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)$.