三角学/地平线的距离和倾角

由于地球是（近似）球体，靠近其表面的观察者只能看到一个有限的区域，该区域以观察者为中心，并被圆圈包围。这个圆圈称为地平线。此外，该圆圈上的点略低于通过观察者且垂直于从观察者到地球中心的线的平面。该平面与从观察者到地平线上一点的线之间的角度称为地平线的倾角。

[插入图表]

设地球的半径为 *r*，地平线的距离为 *d*，观察者在地球上方的高度为 *h*。那么根据毕达哥拉斯定理

$\displaystyle (r+h)^{2}=r^{2}+d^{2}$

或者，重新排列，

$\displaystyle d={\sqrt {h(2r+h)}}$.

在正常情况下，*h* 将远小于 *r*，因此可以准确地写成

$\displaystyle d={\sqrt {2hr}}$.

此公式可以反转，以找到要看到给定距离需要多高

$\displaystyle h={\frac {d^{2}}{2r}}$.

倾角 *θ* 等于地球中心处观察者与地平线之间的角度，因此

$\displaystyle \tan(\theta )={\frac {d}{r}}$.

将在第 3 章证明，对于小角度

$\displaystyle \tan(\theta )\approx \theta {\text{ radians }}={\frac {180\theta }{\pi }}{\text{ degrees}}$.

工作示例 假设地球半径为 3960 英里，观察者高 100 英尺。将高度转换为英里， $\displaystyle h={\frac {100}{5280}}$ $\displaystyle d={\sqrt {2hr}}={\sqrt {2\,{\frac {100}{5280}}\,3960}}={\sqrt {\frac {800}{3}}}\approx 16.3{\text{ miles}}$. $\theta \approx {\frac {16.3}{3960}}{\text{ radians }}\approx 0.004116{\text{ radians }}\approx 0.236{\text{ degrees}}$.

请注意，在实践中，光线会因地球大气层而略微弯曲，因此通常地平线会比这些简单规则预测的稍微远一点，倾角也会稍微小一点。