三角函数/18 度的正弦

3º 的倍数的角度的三角函数都可以用根式表示。本页只处理 18º 的倍数的角度。

考虑方程

$\sin(5x)-1=0$ .

显然，唯一的解是 5x = 90º, 90º + 360º, 90º + 2x360º, 90º + 3x360º ... 因此 x = 18º, 90º, 162º, 234º 或 306º。（不需要继续计算，因为将 x 增加 360º 不会影响其正弦。）$\sin(x)$ 是，经过各种简化后，sin(18º) 两次，1，-sin(54º) 两次。

这个方程可以用另一种方法求解。使用 $\sin(a+b)$ 的公式，我们可以展开 $\sin(5x)$ 得到

$16\sin ^{5}(x)-20\sin ^{3}(x)+5\sin(x)-1=0$

如果我们写 $s=\sin(x)$ ，它就变成一个关于 s 的五次方程，

$16s^{5}-20s^{3}+5s-1=0$

即

$(s-1)(4s^{2}+2s-1)^{2}=0$

所以要么 $s=1$ （对应 x = 90º）要么

$s={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$

（对应 x = 18º 或 54º）。因此

$\sin(18^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\approx 0.30902$ .

$\sin(54^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}\approx 0.80902$.

练习：更多角度 通过考虑方程 $\sin(5x)=0$ 证明 $\sin(36^{\circ })={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}\approx 0.58779$ . $\sin(72^{\circ })={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}\approx 0.95106$ .

余弦可以立即得到，例如 cos(18º) = sin(72º)。