三角学/三次方程的解

一个三次方程是以下形式的方程

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

需要求解 x 的值。x 有三个可能的值，称为方程的根，尽管两个或所有三个值可能相等（重根）。如果 a、b、c 和 d 都是实数，那么 x 的值至少必须有一个是实数。有两种可能的情况：另外两个根可能是实数，也可能是一对复共轭数。

这些根总是可以用根式精确表示。但是，如果所有三个根都是实数，则根式包含复数的立方根。在这种情况下，它们通常最容易使用三角函数计算。

在上式中，a 不为零（否则方程将是二次方程）。用a除以整个方程，得到以下形式的方程

$x^{3}+Ax^{2}+Bx+C=0$

令

$Q={\frac {3B-A^{2}}{9}},\qquad R={\frac {9AB-27C-2A^{3}}{54}},\qquad D=Q^{3}+R^{2}$

D 称为判别式。如果 $D>0$，则有两个根是复数；如果 $D=0$，则存在一个（实数）重根；如果 $D<0$，则存在三个不相等的实数根。

假设 $D<0$。显然，$Q^{3}=D-R^{2}$ 必须小于 $D$，因此也为负；因此，$-Q^{3}$ 和 $-Q$ 都为正。令

$\cos(\theta )={\frac {R}{\sqrt {-Q^{3}}}}$

则三个根为

$x_{1}=2{\sqrt {-Q}}\cos \left({\tfrac {\theta }{3}}\right)-{\frac {A}{3}}$

$x_{2}=2{\sqrt {-Q}}\cos \left({\tfrac {\theta }{3}}+120^{\circ }\right)-{\frac {A}{3}}$

$x_{3}=2{\sqrt {-Q}}\cos \left({\tfrac {\theta }{3}}+240^{\circ }\right)-{\frac {A}{3}}$

示例：方程$x^{3}-3x+1=0$的解：$A=0$，$B=-3$，以及$C=1$。可以求得$Q=-1$，$R=-1/2$，$D=-3/4$，以及$\theta =2\pi /3,4\pi /3$，因此$x=2\cos(4\pi /9)=2\sin(\pi /18)=0.347296$，$x=2\cos(2\pi /9)=1.53209$，$x=-2\cos(\pi /9)=-1.87939$，第一个解是三角形格点上键渗流的关键阈值（Sykes 和 Essam 1964）。

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