三角学/有限级数求和

问题陈述

求以下级数的封闭形式：

$\sin(a)+\sin(a+b)+\sin(a+2b)+\cdots +\sin(a+(n-1)b)$

注意：'封闭形式'在数学上没有明确定义，但它意味着一个简化的公式，不包含 '...' 或求和符号。在我们的问题中，我们应该寻找一个只包含变量 $a,b,n$，以及已知运算，如四则运算、根式、指数、对数和三角函数的公式。

方法 1

为了求解以下级数：

$\sin(a)+\sin(a+b)+\sin(a+2b)+\cdots +\sin(a+(n-1)b)=S$

将每一项乘以

$2\sin \left({\tfrac {b}{2}}\right)$

然后我们得到

$2\sin(a)\sin \left({\tfrac {b}{2}}\right)=\cos \left(a-{\tfrac {b}{2}}\right)-\cos \left(a+{\tfrac {b}{2}}\right)$

类似地，对所有项都做类似的处理，得到

$2\sin {\bigl (}a+(n-1)b{\bigr )}\sin \left({\tfrac {b}{2}}\right)=\cos \left(a+(2n-3){\tfrac {b}{2}}\right)-\cos \left(a+(2n-1){\tfrac {b}{2}}\right)$

将所有项加起来，我们发现几乎所有项都抵消了，只剩下

$2S\sin \left({\tfrac {b}{2}}\right)=\cos \left(a-{\tfrac {b}{2}}\right)-\cos \left(a+(2n-1){\tfrac {b}{2}}\right)=2\sin \left(a+(n-1){\tfrac {b}{2}}\right)\sin \left({\tfrac {nb}{2}}\right)$

因此

$S=\sin \left(a+(n-1){\tfrac {b}{2}}\right){\frac {\sin \left(n{\tfrac {b}{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {b}{2}}\right)}}$

类似地，如果

$C=\cos(a)+\cos(a+b)+\cos(a+2b)+\cdots +\cos {\bigl (}a+(n-1)b{\bigr )}$

那么

$C=\cos \left(a+(n-1){\tfrac {b}{2}}\right){\frac {\sin \left(n{\tfrac {b}{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {b}{2}}\right)}}$

方法二

考虑以下总和

$s=e^{ai}+e^{(a+b)i}+\cdots +e^{(a+(n-1)b)i}$

由于 $s$ 是公比为 $e^{bi}$ 的等比数列，得到

$s={\frac {e^{ai}(e^{nbi}-1)}{e^{bi}-1}}={\frac {e^{ai}(e^{nbi}-1)}{e^{bi}-1}}={\frac {e^{ai}e^{\frac {nbi}{2}}(e^{\frac {nbi}{2}}-e^{-{\frac {nbi}{2}}})}{e^{\frac {bi}{2}}(e^{\frac {bi}{2}}-e^{-{\frac {bi}{2}}})}}$

$s={\frac {\sin \left(n{\tfrac {b}{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {b}{2}}\right)}}\cdot e^{\left(a+(n-1){\tfrac {b}{2}}\right)i}$

因此，

$\sin(a)+\sin(a+b)+\sin(a+2b)+\cdots +\sin {\bigl (}a+(n-1)b{\bigr )}={\rm {Im}}(s)=\sin \left(a+(n-1){\tfrac {b}{2}}\right){\frac {\sin \left(n{\tfrac {b}{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {b}{2}}\right)}}$

$\cos(a)+\cos(a+b)+\cos(a+2b)+\cdots +\cos {\bigl (}a+(n-1)b{\bigr )}={\rm {Re}}(s)=\cos \left(a+(n-1){\tfrac {b}{2}}\right){\frac {\sin \left(n{\tfrac {b}{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {b}{2}}\right)}}}$