三角学/三角函数公式参考

练习：记忆公式 遮住每个公式的右侧，并利用上一页有关记忆公式的信息来得到右侧。

主要三角关系

以下恒等式给出了三角函数之间的关系。

1. $\sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
2. $\cos(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
3. $\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$
4. $\csc(x)={\frac {1}{\sin(x)}}$
5. $\sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}$

勾股定理相关

1. $\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$
2. $\tan ^{2}(\theta )+1=\sec ^{2}(\theta )$

实例：缺少余切公式 缺少一个公式。 通过将$\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$ 除以 $\sin ^{2}(\theta )$ 或除以 $\cos ^{2}(\theta )$ 我们可以得到另外两个公式。 通过除以$\sin ^{2}(\theta )$ 可以得到缺少的公式。 ${\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}+{\frac {\cos ^{2}(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}={\frac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}$ 缺失的公式是 $1+\cot ^{2}(\theta )=\csc ^{2}(\theta )$

周期性

四个三角函数是 $\pi$ 周期的

1. $\sin(\theta )=\sin(\theta +2\pi )$
2. $\cos(\theta )=\cos(\theta +2\pi )$
3. $\csc(\theta )=\csc(\theta +2\pi )$
4. $\sec(\theta )=\sec(\theta +2\pi )$

两个三角函数是 $\pi$ 周期的

1. $\tan(\theta )=\tan(\theta +\pi )$
2. $\cot(\theta )=\cot(\theta +\pi )$

角的和

关于角的和的公式如下

1. $\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\sin(\beta )$
2. $\cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )$
3. $\sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )-\cos(\alpha )\sin(\beta )$
4. $\cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )$

倍角公式

将 $\beta =\alpha$ 代入可得到倍角公式

1. $\sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha )$
2. $\cos(2\alpha )=\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )$

将 $\sin ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1$ 代入可得

1. $\cos(2\alpha )=2\cos ^{2}(\alpha )-1$
2. $\cos(2\alpha )=1-2\sin ^{2}(\alpha )$

这些可以通过将 $\beta =2\theta ,\alpha =\theta$ 代入加法公式得到。

1. $\sin(3\theta )=3\sin(\theta )-4\sin ^{3}(\theta )$
2. $\cos(3\theta )=4\cos ^{3}(\theta )-3\cos(\theta )$
3. $\tan(3\theta )={\frac {3\tan(\theta )-\tan ^{3}(\theta )}{1-3\tan ^{2}(\theta )}}$

这也可以从角和公式得到。

1. $2\sin(A)\cos(B)=\sin(A+B)+\sin(A-B)$

一些密切相关角度的三角函数

此列表可能重复上面的一些周期公式，但为了完整起见，列出了所有公式。角度以度数表示，而不是弧度。对于cot、sec和cosec的类似关系，可以直接从这些函数的定义得到；只需将sin替换为cosec，cos替换为sec，tan替换为cot（反之亦然）。

sin(x)

1. $\sin(-x)=-\sin(x)$
2. $\sin(90^{\circ }-x)=\cos(x)$
3. $\sin(90^{\circ }+x)=\cos(x)$
4. $\sin(180^{\circ }-x)=\sin(x)$
5. $\sin(180^{\circ }+x)=-\sin(x)$$\sin(270^{\circ }-x)=-\cos(x)$
6. $\sin(270^{\circ }+x)=-\cos(x)$
7. $\sin(360^{\circ }-x)=-\sin(x)$
8. $\sin(360^{\circ }+x)=\sin(x)$

cos(x)

1. $\cos(-x)=\cos(x)$
2. $\cos(90^{\circ }-x)=\sin(x)$
3. $\cos(90^{\circ }+x)=-\sin(x)$
4. $\cos(180^{\circ }-x)=-\cos(x)$
5. $\cos(180^{\circ }+x)=-\cos(x)$
6. $\cos(270^{\circ }-x)=-\sin(x)$
7. $\cos(270^{\circ }+x)=\sin(x)$
8. $\cos(360^{\circ }-x)=\cos(x)$
9. $\cos(360^{\circ }+x)=\cos(x)$

tan(x)

1. $\tan(-x)=-\tan(x)$
2. $\tan(90^{\circ }-x)=\cot(x)$
3. $\tan(90^{\circ }+x)=-\cot(x)$
4. $\tan(180^{\circ }-x)=-\tan(x)$
5. $\tan(180^{\circ }+x)=\tan(x)$
6. $\tan(270^{\circ }-x)=\cot(x)$
7. $\tan(270^{\circ }+x)=-\cot(x)$
8. $\tan(360^{\circ }-x)=-\tan(x)$
9. $\tan(360^{\circ }+x)=\tan(x)$

练习：弧度 使用弧度重新编写上述公式。