三角函数/实例：摩天轮问题

问题

考试题目

"雅各布和艾米丽在维也纳的狂欢节上乘坐摩天轮。这个摩天轮直径为 ${\mathit {16}}\,$ 米，每分钟转三圈，最低点距离地面 1 米。假设雅各布和艾米丽离地面的高度 $h$ 是时间 $t$ 的正弦函数，其中 ${\mathit {t=0\,}}$ 代表摩天轮的最低点，$t$ 以秒为单位测量。"

"写出 $h$ 关于 $t$ 的表达式。"

[对于有兴趣的人来说，这幅图实际上是维也纳的摩天轮。]

-Lang Gang 2016

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• 摩天轮三角函数问题
• 摩天轮三角函数问题（第 2 部分）

解答

直径到半径 一个直径为 $16{\text{ m}}$ 的圆的半径为 $8{\text{ m}}$。

每分钟转速到每秒角度 一个每分钟转三圈的轮子每秒钟转动 $\displaystyle {\frac {3\times 360^{\circ }}{60}}$ 度。简化后为 $\displaystyle 18^{\circ }$ 度每秒。

高度公式 在 $t=0$ 时，我们的高度 $h$ 是 $1$。在 $t=10$ 时，我们将转过 $180^{\circ }=10\times 18^{\circ }$，即半圆，并将位于最高点，高度为 $16+1=17$（因为圆的直径是 $16$ 米）。 余弦函数，即 $\displaystyle \cos \theta$，在 $\displaystyle \theta =0^{\circ }$ 时为 $1$，在 $\displaystyle \theta =180^{\circ }$ 时为 $-1$。这几乎与我们想要的结果完全相反，因为我们想要在 $0$ 时获得最小的负值，并在 $180$ 时获得最大的正值。因此，让我们使用负余弦来启动我们的函数。 当 $t=10$ 时，我们想要 $\theta =180^{\circ }$，所以我们将 $t$ 乘以 $18$，这样我们得到 $\displaystyle -\cos(18t)$。我们得到的公式在 $t=0$ 时是 $-1$，在 $t=10$ 时是 $1$。乘以 $8$，我们得到 $\displaystyle -8\cos(18t)$，它在 $t=0$ 时是 $-8$，在 $t=10$ 时是 $8$ 为了确保现实不会被搞乱（我们不能有负高度 $h$），加上 $9$，我们得到 $\displaystyle 9-8\cos(18t)$，它在 $t=0$ 时是 $1$，在 $t=10$ 时是 $17$ 我们需要的公式是 $\displaystyle h=9-8\cos(18t)$. 其中余弦函数的角单位为度（而非弧度）。