三角函数/例题：角的化简

符号变化

符号变化（或其他） $\cos(-3x)$ 我们知道 $\cos(-t)=\cos(t)$ 所以 $\cos(-3x)=\cos(3x)$

符号变化（或其他） $\sin(180^{\circ }-\theta )$ 我们知道 $\sin(-t)=-\sin(t)$ 所以 $\sin(180^{\circ }-\theta )=-\sin(\theta -180^{\circ })$ 我们同时交换了项的顺序，只是为了避免写 $-180^{\circ }+\theta$，节省了一个加号！当然我们可以这样做，因为两项的和不依赖于它们的顺序。 我们也知道将正弦（或余弦）的自变量移动 $\pm$ 180 度会反转符号。所以我们现在可以去除 -180 并反转符号得到 $\sin(180^{\circ }-\theta )=\sin(\theta )$

符号变化（或其他） $\cos(360^{\circ }-t)$ 我们知道移动 180 度会反转符号。移动 360 度就是移动 180 度两次。另一种思考方式是我们绕单位圆转了一整圈。无论如何，表达式中的 360 度完全没有影响，所以我们有。 $\cos(360^{\circ }-t)=\cos(-t)$ 我们也知道 $\cos(-t)=\cos(t)$ 所以 $\cos(360^{\circ }-t)=\cos(t)$

符号变化（或其他） $\cos(-5x)\sin ^{2}(180^{\circ }-t)$ 在$-5x$ 中的负号对结果没有影响，因为它“隐藏”在余弦函数内部。同样，正弦函数中的 180 度位移和负号对结果的符号也没有影响，因为它们相互抵消，而且正弦函数是平方运算。（详细说明一下，如果我们得到了某个表达式的负正弦值，那么将其平方后负号将再次消失）。所以 $\cos(-5x)\sin ^{2}(180^{\circ }-t)=\cos(5x)\sin ^{2}(t)$

余弦转正弦

余角是指两个角度加起来等于$90^{\circ }$的一对角，或者如果我们使用弧度制，则为${\frac {\pi }{2}}$。

在直角三角形中，其他两个角（不是直角的两个角）互为余角。根据余弦和正弦的定义，一个角的余弦等于其余角的正弦。同样，一个角的正弦等于其余角的余弦。

余角 余角 $\cos(90^{\circ }-\theta )=\sin(\theta )$ $\sin(90^{\circ }-\theta )=\cos(\theta )$

余弦是偶函数 因为余弦是偶函数， $\cos(\theta -90^{\circ })=\cos(90^{\circ }-\theta )$ 所以 $\cos(\theta -90^{\circ })=\sin(\theta )$

正弦是奇函数 因为正弦是奇函数， $\sin(\theta -90^{\circ })=-\sin(90^{\circ }-\theta )$ 所以 $\sin(\theta -90^{\circ })=-\cos(\theta )$

每次加 90o 我们可以不断地加或减 90o，并在正弦和余弦之间切换，并可能切换符号。我们需要小心确保符号正确。 您可以根据需要查看图形来找出这些情况，或者只需确保您了解余角，正弦是奇函数，余弦是偶函数，以及加或减 180o 会反转符号。 $\sin(\theta -180^{\circ })=-\sin(\theta )$ 加 180o 会反转符号。 $\sin(\theta -90^{\circ })=-\cos(\theta )$ 取负，然后余角（一个符号翻转） $\sin(\theta )=\sin(\theta )$ $\sin(\theta +90^{\circ })=\cos(\theta )$ 减去 180o，然后取负，然后余角（两个符号翻转）。 $\sin(\theta +180^{\circ })=-\sin(\theta )$ 180o 翻转符号一次。 $\sin(\theta +270^{\circ })=-\cos(\theta )$ 减去 360o，然后取负，然后余角（三个符号翻转） $\sin(\theta +360^{\circ })=\sin(\theta )$ 360o 翻转符号两次 在这些情况下，取负这一步不会翻转符号，因为我们处理的是余弦 $\cos(\theta -180^{\circ })=-\cos(\theta )$ 加 180o 翻转符号。 $\cos(\theta -90^{\circ })=\sin(\theta )$ 取负，然后余角（没有符号翻转） $\cos(\theta )=\cos(\theta )$ $\cos(\theta +90^{\circ })=-\sin(\theta )$ 减去 180o，然后取负，然后余角（一个符号翻转）。 $\cos(\theta +180^{\circ })=-\cos(\theta )$ 180o 翻转符号一次。 $\cos(\theta +270^{\circ })=\sin(\theta )$ 减去 360o，然后取负，然后余角（两个符号翻转） $\cos(\theta +360^{\circ })=\cos(\theta )$ 360o 翻转符号两次

加法公式

使用加法公式