Hartshorne 代数几何用户指南/第 0 章

参考文献

1. 代数几何 - Hartshorne
2. 算术 - Serre
3. https://people.ucsc.edu/~weissman/Math222A/SerreAnn.pdf
4. http://web.mit.edu/18.705/www/12Nts-2up.pdf (用于基本交换代数)
5. https://arxiv.org/pdf/1605.04832.pdf (用于更高级的交换代数)
6. 代数数论，一种计算方法 - Stein

基本交换代数

交换环和代数的范畴

本节的起点是交换环的定义：具有交换乘法的幺元环。在这本书中，你可以假设所有环都是交换的，所以我们将省略“交换”一词。最基本的环包括

• $\mathbb {Z}$
• $\mathbb {Z} /n$
• 域 $\mathbb {F}$
• 多项式环 $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$

我们可以使用环的态射将环相互关联。环之间的函数 $\phi :R\to S$ 是环的态射，如果满足以下两个公理：

1. $\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)$ (加法性)
2. $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$ (乘法性)

我们可以简洁地将其表述为尊重环结构的函数。事实证明，具有环态射的环形成了一个范畴 ${\textbf {CRing}}$。作为一项重要的技术说明，在我们的范畴中，没有由单个元素给出的零环。这个范畴有一个由整数环给出的初始对象，因为给定一个环态射

$\phi :\mathbb {Z} \to R$

环态射公理迫使

$\phi (1)=1_{R}$, $\phi (-1)=-1_{R}$，以及 $\phi (n)=\phi \left(\sum _{n}1\right)=\sum _{n}\phi (1)$

回顾一下，$R$-代数的范畴，其对象是环同态 $R\to S$，而态射则是由交换图给出的

${\begin{matrix}&&S\\&\nearrow \\R&&\downarrow \phi \\&\searrow \\&&S'\end{matrix}}$

如果我们只考虑代数，则范畴 $\mathbb {Z} -{\textbf {CAlg}}$ 等价于范畴 ${\textbf {CRing}}$。请注意，通常会考虑范畴 $\mathbb {F} _{q}-{\textbf {CAlg}}$，$\mathbb {C} -{\textbf {CAlg}}$，$\mathbb {Q} _{p}-{\textbf {CAlg}}$。在考虑方案的范畴时，为什么这样做的动机将变得显而易见。

理想

构造新环的一种方法是取商环。环的理想是环的一个子集 $I\subset R$，它满足以下条件：

1. 在加法运算下构成阿贝尔群
2. $R\cdot I\subset R$

然后，我们可以取阿贝尔群的商群 $R/I$，并利用 $R$ 上的乘法结构在 $R/I$ 上构造一个乘法结构。理想的第二个公理保证了这一点是良定义的。这被称为 **商环**。一些典型的商环示例如下：

• $\mathbb {Z} /(p)$
• $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-5)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]$
• $\mathbb {Q} [x]/(x^{p}-1)$
• ${\frac {\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}$

玩转表示

正如我们所见，构造多项式环有很多方法。但是，另一种创建新多项式环的有趣技巧是添加变量，这些变量之间存在关系。例如，考虑 $\mathbb {Z} [x,x^{2},x^{3}]$。我们可以重新标记我们添加的元素，因此我们考虑环 $\mathbb {Z} [X,Y,Z]$，但是这些变量之间存在一些关系

$X^{2}-Y,XY-Z$

注意，这两个关系可以用来证明其他关系，例如 $XZ-Y^{2}$ 和 $X^{3}-Z$。因此

$\mathbb {Z} [x,x^{2},x^{3}]\cong {\frac {\mathbb {Z} [X,Y,Z]}{(X^{2}-Y,XY-Z)}}$

其他一些例子包括

• $\mathbb {Z} [x,x^{3/2}]\cong {\frac {\mathbb {Z} [X,Y]}{(Y^{2}-X^{3})}}$
• $\mathbb {Z} [x^{2},xy,y^{2}]\cong {\frac {\mathbb {Z} [X,Y,Z]}{(XZ-Y^{2})}}$
• $\mathbb {Z} [x^{3},x^{2}y,xy^{2},y^{3}]\cong {\frac {\mathbb {Z} [X,Y,Z,W]}{(XW-YZ,XZ-Y^{2},YW-Z^{2})}}$

素理想

有一类特殊的理想称为**素理想**：在 UFD $R$ 中，如果

$xy\in {\mathfrak {p}}\Leftrightarrow x\in {\mathfrak {p}}{\text{ or }}y\in {\mathfrak {p}}$

例如，$(p)\subset \mathbb {Z}$ 是第一个已知的素理想的例子。应该很明显的是 $(6)$ 不是素理想，因为 $2\cdot 3\in (6)$ 但 $2,3\not \in (6)$。现在，给定一个不可约多项式 $f\in S[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 理想 $(f)$ 将是素理想。一个简单的素理想非示例是 $(xy)\subset \mathbb {C} [x,y]$。这可以推广到 $(fg)\subset S[x_{1},\ldots ,x_{n}]$。一些素理想的其他例子包括

$(x^{2}+1)\subset \mathbb {Q} [x]$

$(x-\alpha )\subset \mathbb {C} [x]$

$(y^{2}-x^{3}+1)\subset \mathbb {C} [x,y]$

如果您在 UFD $R$ 中取素理想的商环，您将得到一个 **积分域**。这意味着您的环具有以下乘法性质

$xy=0$ 如果 $x=0$ 或 $y=0$

例如，在

${\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y^{2}-x^{3})}}$

您永远无法将两个非零元素相乘得到零。环不是积分域的两个关键非示例是

$\mathbb {C} [x,y]/(xy)$ 因为 $xy=0$

$\mathbb {C} [x]/(x^{2})$ 因为 $x\cdot x=0$

一般来说，环 $R$ 的理想 ${\mathfrak {p}}$ 称为素理想，如果 $R/{\mathfrak {p}}$ 是一个整环。如果 $R/{\mathfrak {m}}$ 也是一个域，那么我们称 ${\mathfrak {m}}$ 为极大理想。一个有用的练习是检查对于态射 $f:R\to S$ 和素理想 ${\mathfrak {p}}\subset S$，逆像 $f^{-1}({\mathfrak {p}})$ 是一个素理想。第二个例子促使了对理想进行根运算。给定一个理想 $I\subseteq R$，我们定义它的根为

${\sqrt {I}}=\{f\in R:f^{k}\in I{\text{ for some }}r\in \mathbb {N} \}$

例如，理想 $((x^{2}-y+z)^{4}(xyz-z^{2})^{5})\subset \mathbb {Z} [x,y,z]$ 的根基是 $((x^{2}-y+z)(xyz-z^{2}))$。对于商环 $R/I$，我们称环 $R/{\sqrt {I}}$ 为其约化；有时也记为 $(R/I)_{\text{red}}$。我们定义环 $R$ 的 **零元根基** 为 ${\sqrt {(0)}}$。零元根基中的非零元素称为 **幂零元**。

艾森斯坦判别法与素理想的构造

艾森斯坦判别法对于积分域有一个推广：给定一个环 $R$ 和一个多项式 $f(x)\in R[x]$，它可以写成

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

那么如果满足以下条件，它就不能写成多项式的乘积：假设存在一个素理想 ${\mathfrak {p}}\subset R$ 使得

${\begin{aligned}a_{i}\in {\mathfrak {p}}{\text{ for }}i\neq n\\a_{n}\not \in {\mathfrak {p}}\\a_{0}\not \in {\mathfrak {p}}^{2}\end{aligned}}$

然后 $f(x)$ 不能写成多项式 $g_{1}(x)\cdots g_{k}(x)$ 的乘积。

例如，考虑积分域 $\mathbb {C} [x]$ 和多项式 $f\in \mathbb {C} [x][y]$，由以下给出

$f(x,y)=1\cdot y^{3}+0\cdot y^{2}+0\cdot y+x^{3}\cdot y^{0}=y^{3}+x^{3}$

使用素理想 $(x-1)\subset \mathbb {C} [x]$，我们有 $a_{1},a_{2}=0\in (x-1)$，$a_{3}=1\not \in (x-1)$ 以及 $a_{0}=x^{3}\not \in (x-1)^{2}$。因此

$(x^{3}+y^{3})\subset \mathbb {C} [x,y]$

是一个素理想。这个例子可以扩展到证明

$x_{1}^{k_{1}}+\cdots +x_{n}^{k_{n}}\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$

生成一个素理想。

零点定理

现在我们处于正确的位置来讨论代数几何的基础定理：希尔伯特零点定理。这里我们固定 $k$ 作为一个代数闭域。

定理： ${\mathfrak {m}}\subset k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 的极大理想与集合 $k^{n}$ 一一对应。

例如，${\text{ev}}_{(1,2)}:\mathbb {C} [x,y]\to \mathbb {C}$ 的核是理想$(x-1,y-2)$。这使我们能够将由理想$I\subset k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 给出的商环解释为$k^{n}$ 的代数子集，因为求值态射

${\text{ev}}_{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}:\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]/I\to \mathbb {C}$

仅当$(x_{1}-\alpha _{1},\ldots ,x_{n}-\alpha _{n})\subset k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I$ 是一个极大理想。例如，考虑以下示例和非示例

• ${\text{ev}}_{(1,1)}:\mathbb {C} [x,y]/(y-x^{2})\to \mathbb {C}$ 是一个定义良好的态射，因为$(x-1,y-1,y^{2}-x)=(x-1,y-1,1^{2}-1)=(x-1,y-1)$。这意味着$(1,1)\in \{(a,b)\in \mathbb {C} ^{2}:b^{2}-a\}$
• ${\text{ev}}_{(1,2)}:\mathbb {C} [x,y]/(y-x^{2})\to \mathbb {C}$ 不是一个良定义的态射，因为 $(x-1,y-2,y^{2}-x)=(x-1,y-2,4-1)=(1)$ ；不存在商环 $R/(1)$ 。因此 $(1,2)\not \in \{(a,b)\in \mathbb {C} ^{2}:b^{2}-a\}$

现在我们可以解释非整环。例如，我们看到 $\mathbb {C} [x,y]/(xy)$ 不是整环。在几何上，这是 $x$ 轴和 $y$ 轴的并集。非整环的另一个主要情况是非约环。例如，$\mathbb {C} [x,y]/(y^{3})$ 是 $x$ 轴，但从 $y,y^{2}$ 中存在额外的代数信息。你应该将这个环解释为一个 **粗** 线。

基本 Scheme 理论

我们现在可以 **自信地** 定义一个仿射 scheme：它是一个函子

${\text{Hom}}_{\mathbf {CRing} }(R,-):\mathbf {CRing} \to {\textbf {Sets}}$

对于一些固定的交换环 $R$ 。

局部化

交换环论中的下一个基本构造是 **局部化**。 它定义了将非零整数倒置并得到有理数的推广。 令 $S\subset R$ 为一个含单位元的乘法封闭子集，这意味着 $1\in S$ 且 $s,s'\in S\Rightarrow ss'\in S$。 例如，对于固定元素 $f\in R$，考虑子集 $\{1,s,s^{2},s^{3},\ldots \}$。 我们定义一个交换环 $R[S^{-1}]$ 如下。 首先，考虑集合 $R\times S/\sim$，其中

$(r,s)\sim (r',s'){\text{ if there exists }}u\in S{\text{ such that }}u(rs'-r's)=0$

(不用担心，我们会给这个看似随机的 $u$ 提供一个有说服力的例子)。 这是一个验证它确实定义了一个等价关系的练习——通常将这些等价类写成 $r/s$。 这些等价类有一个由以下公式给出的定义良好的交换环结构

${\frac {r}{s}}\cdot {\frac {r'}{s'}}={\frac {rr'}{ss'}}{\text{ and }}{\frac {r}{s}}+{\frac {r'}{s'}}={\frac {rs'+r's}{ss'}}$

局部化的一些基本例子包括

• 子集 $S=\{1,p,p^{2},p^{3},\ldots \}\subset \mathbb {Z}$ 给出了环 $\mathbb {Z} [S^{-1}]=\mathbb {Z} [1/p]$。请注意，如果我们用集合 $T=\{1,p^{3},p^{6},p^{9},\ldots \}\subset \mathbb {Z}$ 进行局部化，那么这将给出环 $\mathbb {Z} [1/p^{3}]$。但是，因为我们可以写 $1/p$ 为 $p^{2}/p^{3}$，这两个环是同构的。为了简洁，我们可以简单地说我们对 $\mathbb {Z}$ 进行局部化 $p$。尝试用其他非零整数进行局部化，看看你会发现什么。
• 一个重要的几何例子是通过一些非零多项式 $f=f_{1}^{i_{1}}\cdots f_{k}^{i_{k}}\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 进行局部化而给出的。
• 给定一个整环 $R$，我们可以取集合 $S=R-\{0\}$。然后，$R[S^{-1}]$ 被称为整环的**分数域**。（检查它是一个域是一个练习）
• 给定一个环 $R$ 和一个素理想 ${\mathfrak {p}}$，我们可以考虑集合 $S=R-{\mathfrak {p}}$。由于理想的素性，它是乘法封闭的。环 $R$ 关于 $S$ 的局部化通常记为 $R_{\mathfrak {p}}$。例如，考虑 $(x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]$。局部化可以描述为

$\mathbb {C} [x,y][S^{-1}]=\mathbb {C} [x,y]_{\mathfrak {p}}=\left\{{\frac {f(x,y)}{g(x,y)}}:f,g\in \mathbb {C} [x,y]{\text{ and }}g(0,0)\neq 0\right\}$

最后一个例子很特别，因为它促使我们定义：如果一个环只有一个极大理想，则称它为 **局部环**。对 $(R_{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}})$ 来说，它是一个局部环。

基本模理论

一个 $R$-模定义为一个阿贝尔群 $M$，并具有一个固定的环态射 $\phi :R\to {\text{End}}_{\textbf {Ab}}(M)$。我们将使用符号

$r\cdot m:=\phi (r)(m)$ 其中 $r\in R,m\in M$

对于环在 $M$ 上的作用。一个 $R$-模 $\psi :M\to M'$ 的态射由一个交换图定义

${\begin{matrix}&&{\text{End}}_{\textbf {Ab}}(M)\\&\nearrow \\R&&\downarrow \psi \\&\searrow \\&&{\text{End}}_{\textbf {Ab}}(M')\end{matrix}}$

我们可以用这个构造来构建一个 $R$-模的范畴，它是一个阿贝尔范畴。这意味着它有一个零对象，核和余核，积和余积，以及像/余像的重合。请注意，我们不得不将交换环的范畴扩展到所有环，因为一个阿贝尔群的同态环通常是非交换的；这是我们在这本书中使用非交换单位环的唯一情况之一。 $R$-模的典型例子包括

• 零对象 $0$
• 理想 $I\subset R$
• 直和，例如 $M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{k}$
• 一个环的态射 $\phi :R\to S$ 给出了 $R$-模的结构在 $S$ 的底层阿贝尔群上

另一个构建新模的有用技术是取一个态射 $\psi :R^{n}\to R^{m}$ 的余核。例如，

$\mathbb {C} [x,y,z]^{\oplus 2}{\xrightarrow {\cdot (x^{4}+y^{4}+z^{4}-1)\oplus \cdot (x^{4}-y^{2}+z^{2}+1)}}\mathbb {C} [x,y,z]$

是 $\mathbb {C} [x,y,z]/(x^{4}+y^{4}+z^{4}-1,x^{4}-y^{2}+z^{2}+1)$。我们可以使用精确序列来推广这个例子。阿贝尔范畴中的一系列对象

$M_{1}{\xrightarrow {\phi _{1}}}M_{2}{\xrightarrow {\phi _{2}}}\to \cdots {\xrightarrow {\phi _{n-1}}}M_{n}$

被称为精确，如果每个

${\frac {{\text{Ker}}(\phi _{i})}{{\text{Ker}}(\phi _{i-1})}}\cong 0$

在最后一个例子中，我们有精确序列

$R^{\oplus 2}\to R\to M\to 0$

一般来说，如果存在精确序列

$R^{n}\to R^{m}\to M\to 0$

对于有限整数 $m,n$，那么我们就说该模是 **有限型的**。 如果只存在一个序列

$R^{n}\to M\to 0$

那么我们就说该模是 **有限** 的。 例如，模

$k[x_{1},x_{2},\ldots ]\to k\to 0$

是有限的，但不是有限型的，因为非平凡态射的核是理想

$(x_{1},x_{2},\ldots )\cong \bigoplus _{i=1}^{\infty }R\cdot x_{i}$

张量积

• 构建模的张量积
• 构建代数的张量积
  • 证明积分域的张量积是积分的
    • 证明 $k[{\underline {x}}]/(f({\underline {x}})\otimes _{k}k[{\underline {y}}]/(g({\underline {y}}))\cong k[{\underline {x}},{\underline {y}}]/(f({\underline {x}},g({\underline {y}}))$
    • 显示 $k[{\underline {x}}]/(f({\underline {x}}))\otimes _{k[{\underline {x}}]}k[{\underline {x}}]/(g({\underline {x}}))\cong k[{\underline {x}}]/(f({\underline {x}}),g({\underline {x}}))$

有限性，链条件

如果我们有一个 $R$-代数 $R\to S$，我们说 $S$ 它是 **有限的**，如果它作为模是有限的。我们说它是 **有限类型的**，如果存在一个满射 $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]\to S$，这意味着

$S\cong {\frac {R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}$

在交换代数中，还有其他几个“有限性”的概念，称为 **链条件**。我们称一个 $R$-模的序列

$M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \cdots$

为 **上升链**，以及

$N_{1}\supseteq N_{2}\supseteq \cdots$

为 **下降链**。如果存在某个 $k$ 使得 $M_{k}=M_{k+1}=\cdots$，$N_{k}=N_{k+1}=N_{k+2}=\cdots$，则称它们满足 **上升链条件** 或 **下降链条件**。如果存在链

$M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \cdots$，其中 $\cup _{i=1}^{\infty }M_{i}=R$

或

$R\supseteq N_{2}\supseteq \cdots$

那么我们说 $R$ 分别是 Noetherian 或 Artinian。可以证明每个 Artinian 环都是 Noetherian 环。Noetherian 环的基本例子包括

• 域
• $\mathbb {Z}$
• 域上的有限代数
• Noetherian 环的商环。

一个简单的非例子是环 $k[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]$ 其中 $k$ 是一个域。代数中有一个基本定理叫做 Hilbert 基定理，它表明

定理：如果 $R$ 是 Noetherian 环，那么 $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 是 Noetherian 环

因此所有形式为

${\frac {R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}$

都是 Noetherian 环。Artinian 环比 Noetherian 环简单得多

定理：每个 Artin 环都是 Artin 局部环的有限乘积。

我们只需要分析 Artin 局部环 $(R,{\mathfrak {m}})$ 的结构。注意我们有一个递减链

$R\supseteq {\mathfrak {m}}\supseteq {\mathfrak {m}}^{2}\supseteq {\mathfrak {m}}^{3}\supseteq \cdots$

最终将在某个 ${\mathfrak {m}}^{k}$ 处稳定；这就是零理想 $(0)$。我们可以用它来证明 $R$ 的底层 $R/{\mathfrak {m}}$-向量空间是有限维的。Artin 局部环的一些例子是

• $(\mathbb {C} [x]/(x^{5}),(x))$
• $(\mathbb {Q} [x,y]/((x-1)^{3},(x-1)^{2}(y-2),(y-2)^{5})),(x-1,y-2))$

整性

给定一个交换环的态射 $R\to R'$，我们说一个元素 $x\in R'$ 是在 $R$ 上整，如果存在一个首一多项式 $f(t)=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdot +a_{1}t+a_{0}\in R[t]$和一个态射

${\frac {R[t]}{f(t)}}\to R'$

使得 $t\mapsto x$。例如，${\sqrt {-5}}\in \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 在 $\mathbb {Z}$ 上整，因为

${\frac {\mathbb {Z} [t]}{(t^{2}+5)}}\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$

将所有整元素 $\{x_{i}\}$ $R$ 加到一起，叫做 $R$ 在 $R'$ 中的整闭包。一个整环 $R$ 被称为整闭，如果其分数域中的每个元素在 $R$ 上整。例如，我们可以计算

$R={\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}-y^{3})}}$

相当容易。由于它与环$\mathbb {C} [x,x^{3/2}]$ 同构，我们应该立即看到 $x^{1/2}$ 不包含在 $R$ 中。将此元素并入 $R$ 得到一个与 $\mathbb {C} [s]$ 同构的环。作为一个练习，尝试解开

${\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x^{2}-y^{5}-y^{3},z^{3}-w^{4})}}$

待办事项

- 超椭圆曲线

- 曲线的商域

- https://math.stackexchange.com/questions/2304521/why-is-this-coordinate-ring-integral-over-kx

- 整数环

第 0 章

基本交换代数

结构

• 模/代数的张量积... 模的局部化
• 交换代数的范畴
• 模的支集
• 分级环
• 上极限和茎
• 下极限，完备化，p-进数
• 赋值 - https://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(algebra)#P-adic_valuation_on_a_Dedekind_domain
• 维数
• 超越度
• 函子形式主义
• 范畴结构，如拉回和推前
• 卡勒微分/基本微分代数
• 光滑代数/光滑态射
• 完全交/局部完全交态射
• étale 代数/étale 态射
• 伽罗瓦理论，包含有用的术语...
• 代数数论术语也类似...
• 基本同调代数，Ext，Tor
• 科索尔复形
• 导出范畴
• 格罗滕迪克群
• 希尔伯特多项式
• 格勒布纳基/消元理论 - https://mathoverflow.net/questions/60957/how-to-determine-whether-an-ideal-is-prime-or-not-by-an-algorithm

定理

• 艾森斯坦判别法
• 初等分解
• 诺特归一化
• 上升和下降

基本微分/复几何

构造

• 光滑流形
• 态射
• 向量丛
• 拓扑 K 理论
• 德拉姆上同调
• 复流形和层
• 复流形的霍奇分解

定理

• 惠特尼嵌入定理
• 淹没定理
• 萨德定理