Hartshorne 代数几何用户指南

简介

Hartshorne 的代数几何入门书对于初学者来说是一本臭名昭著的难书，因为他们必须克服大量的技术障碍才能进入方案论。此外，对许多引入的工具缺乏解释，造成了额外的学习障碍。我们的目标是帮助解决这些问题，帮助初学者克服“大型工具”的障碍。我们的核心目标是让**任何人都**能够欣赏方案论的美丽和应用。

概述

我们将对各章和各节做一个基本的概述，让读者对阅读内容有所直观的了解。

第 0 章

这是一章参考性质的章节，我把它包括进来是为了让读者了解方案论所需的某些交换代数和微分几何知识。这将包括基本定义、示例和定理，但将省略所有证明；只会讨论计算技术。

第 1 章

Hartshorne 从经典代数几何的基本概述开始他的书。在早期，数学家研究多项式的解作为 $\mathbb {Q} ^{n},\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{n}$ 的子集，或者从这些集合构建的射影空间。这种观点通过经典的簇理论变得严格，这是许多代数学家和几何学家在格罗腾迪克之前所采用的观点。在方案论出现之前，仍然有用的是考虑代数几何的状态，因为代数的应用更加透明。

出于技术上的简便，他固定了一个代数封闭域 $k$，所以你应该考虑域 $\mathbb {C} ,{\overline {\mathbb {Q} }},{\overline {\mathbb {Q} }}_{p}$。例如，簇

$\mathbb {V} (x^{2}+y^{2}+1)=\{(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}:a^{2}+b^{2}=-1\}$

是空集，因为对于任何 $(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$，都有 $a^{2},b^{2}\geq 0$，但 $-1<0$，因此

$a^{2}+b^{2}>-1{\text{ for all }}(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$

第 2 章

本章是整本书的核心。它介绍了基本的方案理论以及与方案相关的各种结构。(技术说明：Hartshorne 采用局部环空间方法来研究方案理论，并没有提到点函子)。本章介绍的第一个也是最简单的方案是**仿射方案**，用${\text{Spec}}(R)$ 表示，其中 $R$ 是某个交换环。例如，复仿射空间 $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}])$。你可以猜到 $\mathbb {Q} ,{\overline {\mathbb {Q} }},{\overline {\mathbb {Q} }}_{p}$ 的仿射空间应该如何定义。

方案理论需要的主要技术观察如下

• ${\text{Hom}}_{\textbf {Aff}}({\text{Spec}}(R),{\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]))\cong R^{n}$
• ${\text{Hom}}_{\textbf {Aff}}\left({\text{Spec}}(R),{\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\right)\right)\cong \{p=(p_{1},\ldots ,p_{n})\in R^{n}:f_{1}(p)=\cdots =f_{k}(p)=0\}$
• ${\text{Spec}}(\mathbb {C} [x]/(x^{2}))\not \cong {\text{Spec}}(\mathbb {C} )$

前两个观察结果使我们能够考虑**泛空间**，其同态集给出了给定环中多项式的零点集。现在，我们不再仅仅将多项式视为固定 $\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,$ 等的子集。第二个观察结果是方案理论的另一个主要优势：它提供了一种“记住”多项式交点的方法。这两个方案具有相同的拓扑空间作为一点，但在其上具有不同的交换环层(你不需要现在了解“层”这个词，这只是为了让你在阅读完这本书后再去理解)。例如，考虑一个交点族

$X_{t}=\{(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}:b-a^{2}=0,b=t\}$

如果 $t=0$，从拓扑学上讲，它只是一个点；而如果 $t>0$，那么从拓扑学上讲，它就是两个点。如果你从代数的角度来看，这两个点被压缩成一个 **胖点**，这可以通过该方案上的环层来观察。

一旦理解了方案的基本概念，方案论的下一个重要特征就是一般的态射。通常，态射用于定义方案的 **族**。例如，考虑平面椭圆曲线的 **魏尔斯特拉斯族**

${\begin{matrix}{\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [t,x,y]}{(y^{2}-x(x-1)(x-t))}}\right)\\\downarrow \\{\text{Spec}}(\mathbb {C} [t])\end{matrix}}$

如果你观察这个态射的目标上的纤维，你会得到方案 ${\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-t)))$ 对于某个 $\alpha \in \mathbb {C}$。如果 $t\neq 0,1$，这个方案可以赋予 **椭圆曲线** 的结构。 **模理论** 的概念基于族的概念，其中应该有一个态射 $\pi :{\mathfrak {X}}\to B$，其中 $B$ 是 **模空间** 或 **基空间**，${\mathfrak {X}}$ 是 **普遍族**。例如，考虑 $\mathbb {P} ^{2}$ 中二次曲线的模空间，它由以下态射给出：

${\begin{matrix}{\text{Proj}}_{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{5}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a_{1},\ldots ,a_{6}][x,y,z]}{(a_{1}x^{2}+a_{2}xy+a_{3}xy+a_{4}y^{2}+a_{5}yz+a_{6}z^{2})}}\right)\\\downarrow \\{\text{Proj}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} [a_{1},\ldots ,a_{6}])=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{5}\end{matrix}}$

请注意，这提供了一个 **希尔伯特方案** 的玩具示例，该方案在这本书中既没有构造也没有讨论。

第三章

本章介绍了基础方案论的另一半：方案的层上同调和方案论中使用的上同调结构。其中，最重要的概念之一是**平坦态射**。它是使用导出张量积定义的，但有一个简单的几何直观理解：方案的平坦态射。基本思想是，这种态射的上同调性质保证了当纤维变化时，族具有一定的连续性。例如，你永远不会看到纤维的维数发生变化，就像你在爆破中看到的那样。例如，考虑爆破

${\begin{matrix}{\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x,y]}{(sf(x,y)+tg(x,y))}}\right)\\\downarrow \\{\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y])\end{matrix}}$

在消失轨迹 ${\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(f,g))$ 上的纤维与 $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}$ 同构，而在 $\mathbb {A} ^{2}$ 的其余部分上，它们是一个单点。

第 4、5 章

这些章节介绍了代数曲线和曲面的经典主题。这些是当今富有成效的主题，也是许多现代研究的基础。特别是，曲线的模空间的构造依赖于第四章介绍的大量内容。