Hartshorne 代数几何用户指南/第 1 章

仿射簇

本节介绍了代数簇的基本概念。它首先定义了 **代数子集** 为 **消失轨迹** 或 **零集**，由 $T$ 的某个子集给出， $A=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ；也就是说，

Z(T):=\{p\in \mathbb {A} _{k}^{n}:f(p)=0{\text{ for }}f\in T\}

在所有例子中，我们应该将 $T$ 视为 $A$ 中的理想。反过来，如果我们有一个子集 $Y\subseteq \mathbb {A} ^{n}$ ，则如果它被定义为 $A$ 的某个子集的零集，则称为 **代数**。

(非)消失集的例子

$Z((x^{2}-y))\subset \mathbb {A} _{A}^{2}$ 是初等代数中的抛物线，其中 $(x^{2}-y)\subset A[x,y]$ 且 $A$ 是 ${\overline {\mathbb {Q} }},\mathbb {C} ,{\overline {\mathbb {Q} _{p}}}$ 中的任何一个。
$T=\{1,2,3,\ldots \}\subset \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}$ 不是代数子集，因为在 $\mathbb {C} [x]$ 中不存在无穷多个点处为零的多项式。这是代数基本定理的推论，因为任何多项式 $\mathbb {C} [x]$ 都是 $(x-a_{1})\cdots (x-a_{n})$ 的乘积。
$Z((xy))=Z((x)\cdot (y))\subset \mathbb {A} _{A}^{2}$ 是另一个例子，它是 $y$ 轴和 $x$ 轴的并集，它们分别由 $x$ 和 $y$ 在 $\mathbb {C} [x,y]$ 中为零而定义的。
前面的例子概括了整个例子家族的想法，给定子集 $T_{1},T_{2}\subset A$ ，我们可以形成子集

T_{1}\cdot T_{2}=\{t_{1}\cdot t_{2}:t_{1}\in T_{1}{\text{ and }}t_{2}\in T_{2}\}

其消失轨迹是 $Z(T_{1})$ 和 $Z(T_{2})$ 的并集。下一个命题 1.1 包括此示例和代数集相交的示例。

扎里斯基拓扑和基本定义

我们可以通过定义闭集为代数集来定义 $\mathbb {A} ^{n}$ 的拓扑结构。注意，在这个拓扑结构中，每个开集都是稠密的！虽然它非常粗糙，但它仍然对从代数拓扑中构造不变量很有用，例如空间的同调，对于大量的例子（例如关于代数簇的德拉姆同调）。本书后面的章节将讨论这些构造所需的理论基础。

不可约性

拓扑空间的子集称为不可约，如果它不是两个真子集的并集，这两个真子集都是闭集。例如，我们的空间 $Z((xy))$ 是可约的，因为它是由分量 $Z((x))$ 和 $Z((y))$ 的并集。

仿射簇和拟仿射簇

他还定义仿射簇为某个 $\mathbb {A} ^{n}$ 中的不可约代数闭子集。此外，仿射簇的开子集称为拟仿射。注意，仿射簇的拓扑结构是诱导拓扑。一个有趣的例子是 $\mathbb {A} ^{2}$ 中去除原点后的拟仿射簇，它不是仿射簇。这是 $Z((x,y))\subset \mathbb {A} ^{2}$ 的补集。很容易用本书后面讨论的同调工具来证明这不是仿射簇。

基本性质

命题 1.2 给出了代数子集的一些明显性质，但值得注意的是，对 $A$ 的子集取幂会得到与原始子集相同的代数集。例如 $(x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]$ 与 $(x,y)^{2}=(x^{2},xy,y^{2})$ 和 $(x^{2},y^{2})$ 具有相同的消失轨迹。注意，在方案论中，这些理想将对应于不同的方案。这些例子是理想 $I$ 的根或幂零根的灵感，即

{\sqrt {I}}:=\{f\in A:f^{k}\in I{\text{ for some }}k\in \mathbb {N} \}

通常，可以通过找到 $I$ 的一个生成集来找到它们，该生成集的元素是某些多项式的幂。例如，

{\begin{aligned}{\sqrt {(xy^{2},z^{5})}}&=(xy,z)\\{\sqrt {(x^{2}(x+y+z)^{5})}}&=(x(x+y+z))\\{\sqrt {(x^{n}+y^{n}+z^{n})}}&=(x^{n}+y^{n}+z^{n})\end{aligned}}

零点定理 - 核心定理

尽管一开始看起来比较模糊，但零点定理对于将代数作为空间进行思考至关重要。它基本上指出，代数集的消失轨迹总能被找到，它就是某个理想的根式。这很重要，因为它让我们能够从几何角度考虑交换环 $A$ 的理想，同时也能让我们为任何代数集找到一个理想。此外，推论扩展了这一点，指出不可约代数集始终由素理想定义。

请注意，一般来说，很难为素理想找到生成元，而很容易写出非素理想的例子。例如，理想 $(y-x^{2},(y-4)^{5})$ 对应于两个点 $(2,2),(-2,2)\subset \mathbb {A} ^{2}$ 。在他给出的所有例子中，它都是由不可约多项式定义的理想。回顾高斯引理和艾森斯坦判据来确定多项式是否不可约非常有用。例如，考虑 $f(x,y)=x^{2}-y^{n}\in \mathbb {C} [x,y]$ 。那么作为 $\mathbb {C} (x)[y])$ 中的多项式，它可以写成

g=1\cdot y^{n}-x^{2}

所以

{\frac {\partial g}{\partial y}}=ny^{n-1}

它与 $g$ 没有公因子，因为它的唯一解是 $0$ 。另一类重要的多项式是

y^{2}-x^{3}-ax-b\in \mathbb {C} [x,y]

它们定义了椭圆曲线的消失轨迹。它们在数学中非常重要，因为它们简单、定义了阿贝尔簇的基本示例，并且可以用来研究算术几何中许多有趣的现象。

仿射坐标环

Nullstellensatz 的一个有用结果是，我们可以找到一个唯一的理想来表示任何代数子集 $Y$ 的几何形状。给定任何理想 $I$ ，其消失轨迹是 $Y$ ，这个唯一的理想是 $I$ 的根，记为 ${\sqrt {I}}$ 。我们还可以关联一个环，称为 $Y$ 的仿射坐标环，定义为

A(Y)=A/{\sqrt {I}}

例如， $((y^{3}-x^{3}+1)^{3})\subset \mathbb {C} [x,y]$ 的仿射坐标环是

A(Y)={\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y^{3}-x^{3}+1)}}

基本维数理论

在本节中，Hartshorne 引入了交换环的Krull 维数，它是所有素理想高度的上确界。也就是说，一个素理想 ${\mathfrak {p}}\subset A$ 的高度为 $n$ ，如果存在一个不同的素理想的最大链

{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}

高度和维数的例子

例如，最大理想 $(x,y,z)\subset \mathbb {C} [x,y,z]$ 的高度为 $3$ ，因为存在（最大）链

(0)\subset (x)\subset (x,y)\subset (x,y,z)

的不同素理想。由于所有极大理想都具有形式 $(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})$ ，其中 $x_{0},y_{0},z_{0}$ 为一些常数（根据推论 1.4 的应用），我们有 $\mathbb {C} [x,y,z]$ 的维数为 $3$ 。

整数 $\mathbb {Z}$ 的素理想是 $(0)$ 或 $(p)$ 。由于 $(p)$ 是所有高度为 $1$ 的极大理想，我们有 $\mathbb {Z}$ 是一个一维环。起初，这似乎很奇怪，但一旦我们接触到方案的平坦族，我们就能发现这是“正确的”。

另一类有趣的例子是所有素理想都具有有限高度的无限维诺特环。查看这个 math.stackexchange 讨论以获得详细概述。

在一个整环中找到一个不可约元素 $f\in R$ 会产生一个高度为 1 的素理想，因为

(0)\subset (f)

是素理想的最大链。这表明整环的不可约超曲面维数始终小于 1。

克鲁尔维数也可以在局部代数中用于确定一个品种上点的维数。例如，考虑在 $\mathbb {A} ^{3}$ 中的 $x$ 轴与 $yz$ 平面的并集。它具有定义理想

I=(y,z)(x)=(xy,xz)

如果我们将 $R=k[x,y,z]/I$ 局限于最大理想 $(x,y,z)$ ，即轴线与平面的交点，我们想知道这个点的实际维数是多少。克鲁尔维数可以回答这个问题！考虑局部环

(R,{\mathfrak {m}})=\left(\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xy,xz)}}\right)_{(x,y,z)},(x,y,z)\right)

由于 $R/{\mathfrak {m}}\cong \mathbb {C}$ ，最大理想的高度等于局部环的维数。在该局部环中，我们有两个最大链

(0)\subset (x)\subset (x,y,z)

(0)\subset (y,z)\subset (x,y,z)

得出环的维数为 2。这回答了我们之前的问题。

超越次数和维数

Hartshorne 在定理 1.8.A 中给出了另一个用超越次数定义维数的定义——积分整环 $B$ 的维数可以定义为其分数域 ${\text{Frac}}(B)$ （他记为 $K(B)$ ）的超越次数。在接下来的命题中，他快速地进行了合理性检查，即 $\mathbb {A} ^{n}$ 的超越次数为 $n$ ，这是因为其分数域为 $k(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 。

超越次数的示例

$k(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 的超越次数为 $n$
使用环同态

k[x]\to k[x,y]\to {\frac {k[x,y]}{(y^{2}-ax^{3}-b)}}=R

我们可以证明 $R$ 的超越次数为 $1$ ，因为它的分数域是 $k(x)$ 的二次扩张。集合 $\{x\}$ 构成它的超越基，并且

{\text{Frac}}(R)={\frac {k(x)[y]}{(y^{2}-(ax^{3}+b))}}

是一个二次域扩张。

前面例子中的技术可以用来证明 $\mathbb {A} ^{n}$ 的不可约超曲面 $X$ 的维数小于 1。尽管这需要对簇的态射有所了解，但这是一个值得牢记的有用例子。你需要做的就是找到一个投影 $\pi :X\to \mathbb {A} ^{n-1}$ ，它在 $\mathbb {A} ^{n-1}$ 中的任何点上，其逆像是有限的点集。对这两个整环取分数域将得到 $k(y_{1},\ldots ,y_{n})$ 的有限域扩张。
例如，考虑整环

R={\text{Frac}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(z^{3}-x^{3}-y^{3}-1)}}\right)

如果我们取包含 $\mathbb {C} [x,y]\to \mathbb {C} [x,y,z]$ 与到 $R$ 的投影的复合，我们就得到了这样的投影 $\pi :X\to \mathbb {A} ^{2}$ 。这给出了一个域扩张

k(x,y)\to {\frac {k(x,y)[z]}{(z^{3}-(x^{3}+y^{3}+1))}}

这是一个 $3$ 次域扩张。

命题 1.10

这是一个有用的命题，它将扩展到拟射影簇（如第 I.2 节中定义）。基本上，闭包运算保留维度。举一个简单的直观例子，一个代数曲线 $C\subset \mathbb {A} ^{2}$ 可以去除有限个点。这个开集的闭包是原来的曲线。

命题 1.12A

这是一个有用的命题，如果我们去掉 UFD 假设，它在代数数论中有一个简单的反例。每个 Dedekind 域的维数最多为 $1$ ，但素理想

(2,1+{\sqrt {-5}})\subset \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]

有两个生成元，所以它不是主理想。

练习

1.1

(a) 注意环 $A(Y)=\mathbb {C} [x,y]/(y-x^{2})$ 。如果我们使用替换 $y\mapsto x^{2}$ 重写它，则 $A(Y)=\mathbb {C} [x,x^{2}]$ 。我们可以定义一个环同态 $\mathbb {C} [t]\to \mathbb {C} [x,x^{2}]$ 通过 $t\mapsto x$ 。由于它没有核并且是满射的，所以它是一个同构。
(b) 我们可以将 $A(Z)=\mathbb {C} [x,y]/(xy-1)$ 表示为 $\mathbb {C} [t,t^{-1}]$ ，其中 $t$ 对应于 $x$ 并且 $t^{-1}$ 对应于 $y$ 。然后使用零点定理，很容易看到 $Z$ 中没有点对应于 $0\in \mathbb {A} ^{1}$ ，因为 $A(Z)$ 的第二个表示对应于 $\mathbb {A} ^{1}-\{0\}$ 的品种。
(c) 查看此解决方案。

1.2

这里的技巧是找到集合中所有点之间的代数关系。由于 $Y=\{(t,t^{2},t^{3})|t\in k\}$ ，我们可以将其写为 $k[x,y,z]$ 被理想 $(x^{2}-y,x^{3}-z,y^{3}-z^{2})$ 的商。第一个生成器对应于 $(t)^{2}=t^{2}$ ，第二个 $(t)^{3}=t^{3}$ 以及第三个 $(t^{2})^{3}=(t^{3})^{2}$ 。

1.3

注意第二个多项式给出了一个品种，它是 $yz$ -平面和 $xy$ -平面在 $z$ -方向上平移了 $1$ 。然后我们可以专门研究 $x^{2}-yz$ 在这两个平面上的解，以找到所有解。在 $yz$ -平面上，我们有 $x=0$ ，所以 $x^{2}-yz=-yz$ 。这意味着解是该平面上两个坐标轴的并集。在 $xy$ -平面上，方程写成 $x^{2}-yz=x^{2}-y(1)=x^{2}-y$ 。这是平移后的平面上的抛物线。在抛物线与 $z$ -轴相交的 $(0,0,1)$ 点处，有一个分量的交点。

1.4

注意 $\mathbb {A} ^{2}-0$ 在乘积拓扑中不是开集，因为其在每个因子上的投影是 $\mathbb {A} ^{1}-0$ ，但这两个在 $\mathbb {A} ^{2}-Z((xy))$ 中的开集的乘积。

1.5

零点定理几乎立即为我们提供了结果。我们必须有从某个 $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\to A(Y)$ 到 $A(Y)$ 的满射，并且定义理想在 $B$ 中不能产生幂零元，因为它本身是根或自身。

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

(a) 由于 $Y$ 具有诱导拓扑， $Y$ 中的任何闭集链都来自 $X$ 的闭集与 $Y$ 的交集。任何这样的极大链都可以扩展到 $X$ 的闭集链。那么， $X$ 的维数总是大于或等于 $Y$ 的维数。
(b)
(c) 对于集合 $X=\{a,b,c\}$ ，将以下子集声明为开集 $\{\varnothing ,X,\{a,b\}\}$ 。那么包含 $U=\{a,b\}$ 的最小闭集是 $X$ ，因此它是一个稠密的开子集。它的维数为零，因为它的唯一闭子集是 $\varnothing$ ，但是 $X$ 具有以下极大闭集链

\varnothing \subset \{c\}\subset X

因此它的维数为二。

(c.1) 如果我们去掉稠密假设，取集合 $X=\{a,b\}$ 具有离散拓扑。那么开子集 $\{x\}$ 的维数为一，但是 $X$ 的维数为二。
(d) 使用诺特拓扑空间的维数定义，存在一个极大闭集链

Y_{0}\subset Y_{1}\subset \cdots Y

由于 $Y\subset X$ 是闭集且是真子集，我们可以将其扩展一个，得到一个长度大于 ${\text{dim}}(X)$ 的极大链，这是一个矛盾。因此 $Y=X$ 。

(e) 取仿射空间 $\mathbb {A} ^{\infty }$ 并赋予其一个拓扑结构，其中子集 $X$ 是闭集当且仅当它可以被包含在某个嵌入的 $\mathbb {A} ^{n}$ 中，并且在嵌入的 $\mathbb {A} ^{n}$ 上具有 Zariski 拓扑时是一个闭子集。
(e.1) 注意到，如果每个点都存在一个邻域是 Noether 拓扑空间，则该空间为 **局部 Noetherian**。一个无限维但只有有限维分量的例子是无限个不相交的并集 $\mathbb {A} ^{1}\coprod \mathbb {A} ^{2}\coprod \mathbb {A} ^{3}\coprod \cdots$ ，每个仿射空间都配备了 Zariski 拓扑。由于我们只能取有限个闭子簇 $X_{i}\subset \mathbb {A} ^{n_{i}}$ 的并集，因此该空间是 Noetherian。

1.11

曲线 $Y\subset \mathbb {A} ^{3}$ 由参数方程 $x=t^{3},y=t^{4},z=t^{5}$ 给出，在生成元 $x,y,z$ 之间得到以下三个关系：

{\begin{aligned}x^{4}-y^{3}\\x^{5}-z^{3}\\y^{5}-z^{4}\end{aligned}}

因此，它的定义素理想是

(x^{4}-y^{3},x^{5}-z^{3},y^{5}-z^{4})

它有三个生成元，但只有高度 2。我们可以利用定理 1.8A 中给出的维数-高度公式来证明这一点。由于 $B$ 的维数为 $3$ ，而 $B/{\mathfrak {p}}$ 的维数为 1（因为它同构于 $\mathbb {A} ^{1}$ ），因此它具有高度 2。

1.12

多项式 $y^{2}-x^{3}+7x-4$ 定义了平面中具有两个分支的椭圆曲线的方程。这可以通过使用 desmos 来查看。通过改变不同的次数和不同的参数可以得到更多的解，只要确保系数不会迫使唯一解成为有限点集或所有复数点。例如，多项式 $f(x,y)=y^{2}-x^{3}+7x-i$ 没有实数解，因为任何 $f(a,b)$ 都不可能等于 $i$ ，除非 $a,b$ 之一是非实数。

仿射代数群

群环

仿射代数群 是一个代数集，它也具有群结构（并且为了以后，群结构是代数簇的态射）。例如，集合

\{(x,y,z,w)\in \mathbb {A} ^{4}:xw-yz\neq 0\}

定义了代数群 ${\text{GL}}(2,k)$ 。我们可以更直观地写这个开集为

\left\{{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\in \mathbb {A} ^{4}:\det {\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}=xw-yz\neq 0\right\}

我们也可以定义 ${\text{GL}}(n,k)$ 作为 $\mathbb {A} ^{n^{2}}$ 的子集，其中行列式的多项式不为零。

SL det = 1
G_m = GL -> 坐标环 k[x,x^-1]
有限群 -> 嵌入某个 S_n -> 嵌入具有对 A^n 的明显作用 -> 每个有限群都是一个仿射代数群
循环群

群作用

群对集合的作用
不变多项式
商簇

射影簇

几何定义

Hartshorne 从定义射影空间开始，它是元组 $(a_{0},\ldots ,a_{n})$ 的等价类的集合，其中

(a_{0},\ldots ,a_{n})\sim \lambda \cdot (a_{0},\ldots ,a_{n})\sim (\lambda a_{0},\ldots ,\lambda a_{n})

它们通常表示为 $[a_{0}:\cdots :a_{n}]$ 。为了习惯这些等价类，考虑点 $p\in \mathbb {P} ^{2}$ ，其中 $p=[1:2:i]$ 。我们有以下等价表示

{\begin{aligned}p&=[1:2:i]\\&=2\cdot [1:2:i]\\&=[2:4:i]\\&=i\cdot [1:2:i]\\&=[i:2i:-1]\end{aligned}}0

您可以将此视为比例的推广，因为任何比例 $a:b$ 可以表示为 $[a:b]\in \mathbb {P} ^{1}$ 中的元素。

另一种有用且等价的思考方式是将 $\mathbb {P} ^{n}$ 看作 $\mathbb {A} ^{n}-\{0\}$ 除以 $k^{*}$ 作用的商。 $\lambda \cdot (a_{0},\ldots ,a_{n})=(\lambda a_{0},\ldots ,\lambda a_{n})$ 。事实证明，这种思考方式使理论的更多部分得以发挥作用。查看这些笔记获取更多信息。

为了在 $\mathbb {P} ^{n}$ 上定义函数到 $\mathbb {A} ^{1}$ ，我们需要确保它们关于 $k^{*}$ -作用是定义良好的。如果我们乘以某个 $\lambda \in k^{*}$ ，值需要保持相同，所以

f([a_{0}:\cdots :a_{n}])=f(\lambda \cdot [a_{0}:\cdots :a_{n}])=f([\lambda \cdot a_{0}:\cdots :\lambda \cdot a_{n}])=g(\lambda )f([a_{0}:\cdots :a_{n}])

对于某个 $g:\mathbb {A} ^{1}-\{0\}\to \mathbb {A} ^{1}-\{0\}$ 。但由于每个 $p\in \mathbb {A} ^{1}-\{0\}$ 关于 $k^{*}$ -作用是等价的，而 $0\in \mathbb {A} ^{1}$ 具有一个平凡的 $k^{*}$ -作用，我们只能考虑函数

f:\mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {A} ^{1}/k^{*}\cong \{0,1\}

其中 $f(p)=1$ 如果 $f$ 在 $p$ 处不为零。事实证明，所有这样的函数都必须是 **齐次多项式**。上面链接的笔记更详细地解释了这一点，但 Hartshorne 继续描述了相关的代数，解释了这些多项式是什么以及如何找到它们。

代数定义

分级环和理想

代数上，我们可以使用分级来编码齐次元素的结构。也就是说，我们将环 $S$ 分解为阿贝尔群 $S_{d}$ ，使得

S=\bigoplus _{d\geq 0}S_{d}

并且这些群在乘法方面表现良好，也就是说，对于 $d,e\geq 0$ $S_{d}\cdot S_{e}\subseteq S_{d+e}$ 。我们将带分级的环 $S$ 记为 $S_{\bullet }$ ，并称其为分级环。例如，在环 $S=k[x,y,z]$ 中，我们可以定义 $S_{d}$ 为 $S$ 中次数为 $d$ 的齐次多项式的阿贝尔群。然后我们可以将 $S$ 分解为

S_{\bullet }=k\oplus k\cdot \{x,y,z\}\oplus k\cdot \{x^{2},xy,xz,y^{2},yz,z^{2}\}\oplus \cdots

其中 $k\cdot \{x,y,z\}$ 表示由三个元素 $x,y,z$ 生成的 $k$ -向量空间的底层阿贝尔群。例如， $xy^{2}+xz^{2}+z^{3}\in S_{3}$ 。这种形式的分级环可以用来构建其他分级环。我们可以称理想 $I\subset S$ 为 **分级** 的，如果它是由齐次元素生成的。也就是说，我们可以找到 $f_{i}\in S_{d_{i}}$ 使得 $(f_{1},\ldots ,f_{k})=I$ 。然后，我们可以考虑 $S_{d}$ 中由 $I$ 中的元素生成的子群作为 $I_{d}$ ，从而使 $I$ 具有分级的结构。然后我们可以形成一个分级环

(S/I)_{\bullet }=S_{\bullet }/I_{\bullet }={\frac {S_{0}}{I_{0}}}\oplus {\frac {S_{1}}{I_{1}}}\oplus {\frac {S_{2}}{I_{2}}}\oplus \cdots

例如，考虑理想 $I=(f_{1},f_{2})=(xy,x^{3}+y^{3}+z^{3})\subset k[x,y,z]$ 。由于生成元都是齐次的，我们可以给理想 $I$ 分级

{\begin{aligned}I_{\bullet }&=&I_{0}&\oplus &I_{1}&\oplus &I_{2}&\oplus &I_{3}&\oplus &I_{4}&\oplus &I_{5}&\oplus &\cdots \\&=&0&\oplus &0&\oplus &k\cdot \{xy\}&\oplus &k\cdot \{x^{3}+y^{3}+z^{3}\}&\oplus &0&\oplus &k\cdot \{xy(x^{3}+y^{3}+z^{3})\}&\oplus &\cdots \end{aligned}}

射影簇

类似于仿射零点集，我们可以构造射影代数集。给定一个齐次多项式 $f\in S_{\bullet }=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ ，我们可以形成**零点集**

Z(f)=\{p\in \mathbb {P} ^{n}:f(p)=0\}

类似地，对于一组 $T$ 齐次元素在 $S_{\bullet }$ 中，我们可以形成一个代数集，其中所有点在 $T$ 中的每个元素上都消失。然后，**射影代数簇**是 $\mathbb {P} ^{n}$ 中一个不可约代数集，配备了诱导的拓扑。正如你所期望的那样， $\mathbb {P} ^{n}$ 具有**扎里斯基拓扑**，其闭集是代数集。

通过上一节，我们可以讨论射影代数簇的关联分级坐标环。给定一个分级理想 $I_{\bullet }$ ，我们可以找到由 $I_{\bullet }$ 中每个元素的消失所定义的射影代数集 $Z(I_{\bullet })$ 。例如，在分级理想上的消失集

I_{\bullet }=(xy^{2},(x+y+z)^{5})

是集合

\{[x_{0}:y_{0}:z_{0}]\in \mathbb {P} ^{n}:x_{0}\cdot y_{0}=0{\text{ and }}x_{0}+y_{0}+z_{0}=0\}

注意，多项式的某些次数已经改变了！这是由于投影环境下 Nullstellensatz 的类似物。本节中的第一个练习之一是证明这个定理。类似于练习 I.1.3，我们可以分析消失集的样子。在第一个方程式中，请注意，要么 $x_{0}$ 或 $y_{0}$ 必须等于 $0$ 。如果我们采用第一种情况，那么这就是子集 $[0:y_{0}:z_{0}]$ ，其中 $y_{0}+z_{0}=0$ 。这意味着它是点 $[0:y_{0}:-y_{0}]=[0:1:-1]$ 。我们可以对 $y_{0}=0$ 做类似的分析，得到点 $[1:0:-1]$ 。这些是该代数集中的所有点，但它不是一个簇，因为它是由两个不可约分量的不交并集构成的。如果我们要找到相应的环，它是