线性代数/向量

向量 通常用于物理学和其他领域来表示无法用标量准确描述的量。标量 只是一个单维度上的值 - 一个实数。例如，人们可能会说他们已经驾驶了 5 公里，一个小时已经过去了，或者某物的质量是 20 公斤。在这三种情况下，都只给出了一个值。

但是，我们可能还有更多信息需要提供。以驾驶 5 公里为例。在这种情况下，知道你驾驶了多远可能是有用的，但知道你驾驶了哪个方向 也可能同样重要，例如向东驾驶 5 公里。现在，给定你的起点，你驾驶的确切位置就可以确定了。

定义

向量可以用三角学 来进行数学描述。

我们可以将向量定义为由大小和方向组成的一个有序对。在该图中，r 是该向量的长度，θ 是方向。请注意，我们现在沿水平方向移动了r cos(θ)，沿垂直方向移动了r sin(θ)。这些分别被称为x 分量 和y 分量。

我们也可以用 x 和 y 分量来方便地写出向量。对于向量，我们写 ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$。在一些文本中，你可能会看到向量被写成横向，例如 (x, y)，但当你写的时候，强烈建议 将它们写成竖列。在印刷中，我们通常使用粗体向量，但由于你可能没有用粗体打印的笔，因此请在你的向量下划线，即写成v，或者在你的向量下方加上波浪线。在物理学中，你偶尔可能会看到带有向右箭头表示的向量。

请注意，向量不必有两个分量。我们可以有 2 或 3 或 n 个分量，或者有无穷多个分量。

我们将所有具有 2 个实数分量的向量集写为R²；对于 3 个、n 个或无穷多个分量也是如此。对于具有复数分量的分量，我们写为C。多项式也是“向量” - 我们将在后面查看多项式集的符号。关于我们为什么要这样做，请参阅 集合论 以了解解释。

拉伸和收缩

我们可以定义一些针对向量的操作。如果我们将向量扩展，会发生什么？或者，如果我们将向量收缩，会发生什么？向量的方向 不会改变，只有它的长度——它的长度。我们对向量进行拉伸或收缩的操作是将它的长度乘以某个值。我们称这种操作为标量乘法：我们将向量 乘以一个标量 实数。

标量乘法

对于标量乘法，我们只需将每个分量乘以标量即可。我们通常用希腊字母表示标量，用英文字母表示向量。

因此，对于标量值为 λ 和由 r 和 θ 定义的向量v，新向量现在是 λr 和 θ。请注意，方向没有改变。

示例

假设我们有 ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$，我们希望将它的长度加倍。所以，$2{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}$.

向量加法

简单地说，要添加两个向量，必须将它们各自的 x 分量加起来得到新的 x 分量，同样地，将两个 y 分量加起来得到新的 y 分量。

示例

假设我们有 $\mathbf {v_{1}} ={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}},\mathbf {v_{2}} ={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}$，我们希望将它们相加。因此，$\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} ={\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}}$。

向量减法

对两个向量 a 和 b 进行减法运算 a-b，也可以写成 a+(-1)b。因此，我们可以利用标量乘法求出 (-1)b 的值，然后利用向量加法求出解。

复数作为向量

^ 复数 可以表示为 $r(cos(\theta )+isin(\theta ))$ 或等效地 $re^{i\theta }$，换句话说，一个大小为 $r$、方向为 $\theta$ 的向量。在复平面中，该向量具有一个实 x 坐标和一个虚 y 坐标。有关详细信息，请参阅 复数。

直线和平面

我们可以利用向量来形成直线和平面的方程。让我们看看如何做到这一点。

直线的向量方程

考虑一个向量 $\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$。让我们考虑以下内容

$2\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$

$-\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}}$

$3\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}}$

如果我们有方程 λv，则很明显，对于我们选择的每个 λ，我们都会在直线 y=2x 上得到一个不同的点。

现在我们可以将这个想法推广到直线的向量方程（它也不限于二维）。

直线的向量方程由下式给出

x=λv（对于标量 λ）

其中 v 是一个平行于（然后可能位于）直线的向量。然后，λ 是方程中的未知数。x 则是因变量向量。

平面的向量方程

现在考虑一个平面。如果我们有两个位于平面上的非平行向量，并将它们相加，我们就可以添加一个线性组合（即，将两个向量相加，它们只乘以标量）来选择另一个向量。这两个向量的线性组合下所有向量的集合构成一个平面。

更简单地说，如果我们有两个非平行向量 a 和 b，我们可以通过以下方式形成任何其他平行于 a 和 b 的向量

λ₁a+λ₂b=x

其中 λ₁ 和 λ₂ 都是标量。

向量进一步的代数和几何

我们可以对向量执行其他运算。我们将要考虑的这些运算在几何上具有非常真实且重要的意义。

大小

向量的大小是在 R⁺ 中的长度

点积

两个向量的点积定义为它们对应分量乘积的总和。符号表示为

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}$

例如，

${\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}=3-10=-7$

点积的性质

如果我们有两个向量a和b，

a · b = b · a

c(a · b) = ca·b = a·cb

其中c是一个标量。

点积的几何意义

两个向量的点积有另一种形式

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos {\theta }$

如果我们选择一个向量c=a-b来形成一个三角形，我们可以通过三角函数证明这两个形式确实是等价的。

因此，角θ很重要，因为它表明两个向量的点积与它们之间的夹角有关。更准确地说，我们可以计算两个向量的点积 - 如果点积为零，那么我们可以说这两个向量是垂直的。

例如，考虑

${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}=1-1=0$

将这些向量绘制在平面上，并自行验证它们是否垂直。

叉积

叉积是一个更复杂的乘积定义，但具有良好的几何性质。我们只关注三维空间中的叉积，因为它在三维空间中最常用，并且难以在更高维空间中定义。

对于具有三个分量的向量，叉积定义为

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}$

其中

$\mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

如果你之前没有接触过矩阵，这里有一个公式可以从上面推导出...

= i $(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})$ - j$(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})$+ k $(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})$

叉积的性质

叉积具有一些性质

a×b = -b×a

从上面的定义很容易验证，并且

c×(a+b) = c×a+c×b

叉积的几何性质

叉积具有一些有趣的几何性质。

如果a 和 b 是两个向量，a×b 是垂直于这两个向量的向量。现在如果我们有两个向量，我们就有了两个垂直于a 和 b 的向量选择 - 如果我们交换叉积的顺序，我们会得到另一个向量。

两个向量的叉积的大小是这两个向量形成的平行四边形的面积。

标量三重积，a·(b×c) 是这三个向量形成的平行六面体的体积。

另见

• 维基百科上的向量