0.999.../小数乘以一个小数

无限小数的乘法通常具有挑战性，因为它涉及大量的进位。幸运的是，正如加减的情况一样，我们对不涉及任何进位的恒等式感兴趣。

假设

如果有两个小数 $A = a 0 . a 1 a 2 a 3 \dots$ 和 $B = b 0 . b 1 b 2 b 3 \dots$ 以及一个整数 $m$ 使得对于每个索引 $n$ ， $m \times a n = b n$ ，则 $m \times A = B$ .

B=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{10^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }m{\frac {a_{n}}{10^{n}}}.

接下来我们应用这样一个事实，即级数的标量倍数可以逐项计算

B=m\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{10^{n}}}=mA.