0.999.../利用等比数列公式证明

假设

• 级数定义
• 等比数列公式

证明

利用无穷小数的值的级数定义，

$0.999\ldots =9\left({\tfrac {1}{10}}\right)+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+\cdots .\,$

这是一个公比为1/10的等比数列。运用等比数列公式，

$0.999\ldots =9\left({\tfrac {1}{10}}\right)+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {9\left({\tfrac {1}{10}}\right)}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.\,$

备注

回顾一下，

$\sum _{n=0}^{\infty }ax^{n}=\lim _{t\to \infty }{\frac {a(1-x^{t})}{1-x}}\underbrace {=} _{{\text{Given }}|x|<1}{\frac {a}{1-x}}$