0.999.../几何级数公式

$\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+...$被称为几何级数。

如果，$|x|<1$，则该级数收敛于

$\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}}$

证明：定义部分和 $S_{n}$

$S_{n}=\sum _{n=0}^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+...x^{n-1}$

$xS_{n}=\sum _{n=0}^{n}=..+x+x^{2}+x^{3}+...x^{n-1}+x^{n}$

注意，两个部分和都有 n 项。当它们相减时，只有$xS_{n}$中的第一项和最后一项将保留。

$S_{n}-xS_{n}=1-x^{n}$，很容易解出 $S_{n}$

注意，我们没有确定无限级数何时收敛。这需要理解当我们将部分和的极限取为 n 趋于无穷大时会发生什么。这留给读者作为问题 1。

示例问题：

1. 证明部分和序列，$\{S_{n}\}_{n=1}^{\infty }=\{S_{1},S_{2},S_{3},...\}$，如果 $|x|<1$则收敛。
2. 这可以用来将其他循环小数转换为分数。为了教学目的，最好从已知分数开始。从这样一个列表，我们考虑：0.181818... 。将它转换为有理分数。

脚注

• 另见 Calculus/Sequences and Series/Exercises