数据表示基础：进制

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进制

来自规范：数据表示基础 - 进制

熟悉进制的概念，特别是

十进制（基数 10）
二进制（基数 2）
十六进制（基数 16）。

在十进制、二进制和十六进制之间进行转换。

在我们深入数制的世界之前，我们需要一个参考点，我建议您复制下表，以便在本章中随时参考以检查您的答案。

十六进制	二进制	十进制
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
A	1010	10
B	1011	11
C	1100	12
D	1101	13
E	1110	14
F	1111	15
10	0001 0000	16

十进制

十进制是您可能从小就使用的数制。它也是基数 10 的另一种说法。这意味着每个数字可以使用 10 个不同的数字，即

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

请注意，如果我们想说“十”，我们会使用上面数字中的两个数字 1 和 0。

千位	百位	十位	个位
10³	10²	10¹	10⁰
1000	100	10	1
5	9	7	3

使用上表，我们可以看到每一列都有一个不同的值分配给它。如果我们知道列值，我们就可以知道数字，这在我们开始查看其他进制系统时将非常有用。显然，上面的数字是：五千、九百、七十和三个单位。

5*1000 + 9*100 + 7*10 + 3*1 = 5973₁₀

二进制

二进制是一个基数为 2 的数制，这意味着每个数字可以使用两个数字

0, 1

使用这两个数字，我们应该能够写出（或近似）所有可以用十进制写出的数字。

一百二十八位	六十四位	三十二位	十六位	八位	四位	两位	个位
2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
128	64	32	16	8	4	2	1
0	1	1	0	1	0	1	0

使用上表，我们可以看到每一列都有一个分配给它的值，该值是 2 的幂（基数！），如果我们取这些值和相应的数字，我们可以计算出数字的值：1*64 + 1*32 + 1*8 + 1*2 = 106。

如果要求您计算二进制数字的值，最好的起点是用其对应值标记每一列，并将所有包含 1 的列加起来。让我们看另一个例子

00011111₂

128	64	32	16	8	4	2	1
0	0	0	1	1	1	1	1

因此，现在我们需要做的就是将包含 1 的列加起来：1*16 + 1*8 + 1*4 + 1*2 + 1*1 = 31

练习：二进制

将以下二进制数转换为十进制

00001100₂

答案

128	64	32	16	8	4	2	1
0	0	0	0	1	1	0	0

8+4 = 12₁₀

01011001₂

答案

128	64	32	16	8	4	2	1
0	1	0	1	1	0	0	1

64 + 16 + 8 + 1 = 89₁₀

00000111₂

答案

128	64	32	16	8	4	2	1
0	0	0	0	0	1	1	1

4 + 2 + 1 = 7₁₀

01010101₂

答案

128	64	32	16	8	4	2	1
0	1	0	1	0	1	0	1

64 + 16 + 4 + 1 = 85₁₀

我们如何判断一个二进制数是否为奇数？

答案

其最右边的数字为 1

是否有一种快捷方式来计算由连续 1 组成的二进制数，例如：01111111₂

答案

是的，取第一个 0 的列值减 1

128	64	32	16	8	4	2	1
0	1	1	1	1	1	1	1

= 128 - 1 = 127 = 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

00001111₂ = 16 - 1 = 15 = 8 + 4 + 2 + 1

00000111₂ = 8 - 1 = 7 = 4 + 2 + 1

如果我们要使用八进制（一个基数为 8 的数制），列出每个数字可以取的不同数字

答案

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

十六进制

来自规范：数据表示基础 - 进制

熟悉并能够使用十六进制作为二进制的简写，并理解它为什么以这种方式使用。

您可能会从表中注意到，一个十六进制数字可以精确地表示 4 个二进制位。十六进制对我们来说是一种书写二进制的简写方式，并且可以更轻松地处理长二进制数字。

计数是一个基本概念，使用符号来表示一组对象。我们习惯于使用 10 个这样的符号（0-9）进行计数。当我们用完符号时，我们开始一列新的数字来表示更大的值集合。还有其他使用不同数量符号的计数方法，但是，计数过程以相同的方式进行。

十六进制是一个基数为 16 的数制，这意味着我们将有 16 个不同的数字来表示我们的数字。唯一的问题是我们在 9 之后用完了数字，并且知道 10 被计为两位数，我们需要使用字母来代替

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

我们可以对十进制和二进制执行完全相同的事情，并写出我们的表格。

16⁵	16⁴	16³	16²	16¹	16⁰
1 048 576	65536	4096	256	16	1
0	0	3	4	A	F

因此，现在我们需要做的就是将包含值的列加起来，但请记住 A = 10，B = 11，C = 12，D = 13，E = 14，F = 15。

3*4096 + 4*256 + (A)10*16 + (F)15*1 = 13487₁₆

您可能想知道，当我们有二进制和十进制时，以及当计算机以二进制方式存储和计算所有内容时，为什么我们要使用十六进制。答案是它完全是为了人类的方便。考虑以下示例

表示	基数
EFFE11₁₆	基数 16 十六进制
15728145₁₀	基数 10 十进制
111011111111111000010001₂	基数 2 二进制

所有数字都是相同的，最容易让人记住/理解的版本是基数 16。十六进制用于计算机中表示供人类使用的数字，用于内存地址、错误或颜色代码等内容。注意：十六进制之所以使用，是因为它是二进制的简写，并且更容易让人记住。它不会占用计算机内存中的更少空间，只在纸上或在你的脑海中！计算机仍然必须将所有内容存储为二进制，即使它在屏幕上显示为十六进制。

A colour palette showing each colour can be shown as a hexadecimal code — 一个显示每种颜色的调色板可以用十六进制代码表示

Error messages are written using hex to make it easier for us to remember and record them — 错误消息使用十六进制编写，以便我们更容易记住和记录它们

练习：十六进制

将以下十六进制数转换为十进制
A1₁₆

答案

16  1
 A  1

16 * 10 + 1 * 1 = 161₁₀

FF₁₆

答案

16  1
 F  F

16 * 15 + 1 * 15 = 255₁₀

0D₁₆

答案

16  1
 0  D

16 * 0 + 1 * 13 = 13₁₀

37₁₆

答案

16  1
 3  7

16 * 3 + 1 * 7 = 55₁₀

我们为什么要使用十六进制系统？

答案

十六进制用于人类，因为它更短，更容易理解和阅读。

列举十六进制系统的一个用途

答案

十六进制用于错误消息代码、内存地址和颜色代码

进制转换

您之前看到的从十六进制转换为十进制的求和看起来有点麻烦，并且在考试中您不希望出现任何错误，因此我们必须找到一种更简单的方法来进行转换。

由于 4 个二进制位由一个十六进制数字表示，因此在两者之间进行转换非常简单。您可以将二进制位分组为 4 位一组，从右开始，并在需要时在左侧添加额外的 0，然后将每个组转换为其十六进制等效项。例如，二进制数 0110110011110101₂ 可以这样写

0110 1100 1111 0101

然后通过使用上表，您可以将每组 4 位转换为十六进制

0110 1100 1111 0101
  6    C    F    5

因此，二进制数 0110110011110101₂ 在十六进制中为 6CF5₁₆。我们可以通过将两者都转换为十进制来检查这一点。首先我们将转换二进制数，因为您已经知道如何执行此操作

32768	16384	8192	4096	2048	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
0	1	1	0	1	1	0	0	1	1	1	1	0	1	0	1

通过将列相乘然后将结果相加，答案为 27893₁₀。

注意列标题都是2的幂， $1=2^{0}$ ， $2=2^{1}$ ， $4=2^{2}$ ， $8=2^{3}$ ，等等。要将十六进制转换为十进制，我们必须使用以16为底的幂作为列标题，如下所示。

$16^{3}=$ 4096	$16^{2}=$ 256	$16^{1}=$ 16	$16^{0}=$ 1
6	C	F	5

$5\times 1=5$

$15\times 16=240$ （你应该记住A-F的值）

$12\times 256=3072$

$6\times 4096=24576$

将它们全部加起来，我们得到27893₁₀，这表明0110110011110101₂等于6CF5₁₆。

要将十进制转换为十六进制，建议先将数字转换为二进制，然后使用上述简单方法将二进制转换为十六进制。

总之，要将一个数字转换为另一个数字，我们可以使用以下规则：十六进制 <-> 二进制 <-> 十进制

练习：十六进制和进制转换

将以下十六进制值转换为十进制

12₁₆

答案

  1    2  (Hex)
0001 0010 (Binary)

128 64 32 16  8  4  2  1
  0  0  0  1  0  0  1  0 = 16+2 = 18₁₀ (decimal)

A5₁₆

答案

  A    5  (Hex)
1010 0101 (Binary)

128 64 32 16  8  4  2  1
  1  0  1  0  0  1  0  1  = 128+32+4+1 = 165₁₀ (decimal)

7F₁₆

答案

  7    F  (Hex)
0111 1111 (Binary)

128 64 32 16  8  4  2  1
  0  1  1  1  1  1  1  1  = 64+32+8+4+2+1 = 127₁₀ (decimal)

10₁₆

答案

  1    0  (Hex)
0001 0000 (Binary)

128 64 32 16  8  4  2  1
  0  0  0  1  0  0  0  0  = 16₁₀ (decimal)

将以下二进制数转换为十六进制

10101101₂

答案

1010 1101 (Binary)
  A    D  (Hex)

110111₂

答案

0011 0111 (Binary)
  3    7  (Hex)

10101111₂

答案

1010 1111 (Binary)
  A    F  (Hex)

111010100001₂

答案

1110 1010 0001 (Binary)
  E    A    1  (Hex)

将以下十进制数转换为十六进制

87₁₀

答案

128 64 32 16  8  4  2  1
  0  1  0  1  0  1  1  1  = 64+16+4+2+1 = 87₁₀ (decimal)

0101 0111 (Binary)
  5    7  (Hex)

12₁₀

答案

128 64 32 16  8  4  2  1
  0  0  0  0  1  1  0  0  = 8+4 = 12(decimal)

0000 1100 (Binary)
  0    C  (Hex)

117₁₀

答案

128 64 32 16  8  4  2  1
  0  1  1  1  0  1  0  1  = 64+32+16+4+1 = 117(decimal)

0111 0101 (Binary)
  7    5  (Hex)

为什么可能使用十六进制？

答案

以便使错误消息和内存地址等内容更容易让人类理解、阅读和记忆——因为它们更短。

给出十六进制的两种用途？

答案

错误消息代码
内存地址位置
颜色代码