A-level 数学/CIE/纯数学 1/圆形测量

弧度

定义弧度

弧度定义为圆心角所对的弧长等于半径的角。

弧度 是用来测量角度的单位。它定义为圆心角所对的弧长等于半径的角。因此，一个完整的圆周包含 $2\pi$ 弧度，因为圆周长是半径的 $2\pi$ 倍。

弧度和度数之间的转换

度数是另一种常用的角度测量单位。一个圆周包含 $360^{o}$，因此 $360^{o}=2\pi {\text{rad}}$.

要将度数转换为弧度，将度数乘以 ${\frac {\pi }{180}}$.

例如，$30^{o}$ 等于 $30\times {\frac {\pi }{180}}={\frac {\pi }{6}}$

要将弧度转换为度数，将弧度乘以 ${\frac {180}{\pi }}$.

例如，${\frac {\pi }{3}}$ 弧度等于 ${\frac {\pi }{3}}\times {\frac {180}{\pi }}={\frac {180}{3}}=60^{o}$

几何计算

弧长

L 是弧长。绿色部分是扇形。

弧长 是圆弧的长度。弧长取决于半径的大小和圆心角的大小。

我们可以将弧长视为圆周 $2\pi r$ 的一部分。这意味着弧长等于圆心角占整个圆周的比例乘以圆周长：$s={\frac {\theta }{2\pi }}(2\pi r)$，可以简化为 $s=r\theta$.

例如，半径为$2$，角度为$2{\text{rad}}$ 的弧长为 $2(2)=4$。

扇形面积

扇形的面积可以用类似的方法推导：它是圆面积的一部分。圆的面积是$\pi r^{2}$，所以扇形的面积是${\frac {\theta }{2\pi }}\pi r^{2}={\frac {r^{2}\theta }{2}}$。