A-level 数学/CIE/纯数学 1/坐标几何

直线方程

涉及直线的计算

两点之间的距离

两点之间的距离由公式 $Dist={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}$ 给出，其中 $\Delta x$ 是两点之间x 值的差，而 $\Delta y$ 是两点之间y 值的差。

该公式也可以看作是将勾股定理应用于点，其中 x 值和 y 值的差构成直角三角形的两条边。

两点的中点

中点是正好位于两点之间的点。中点的坐标由 $({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}})$ 给出，其中 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ 是两点的坐标。

例如， $(2,-1)$ 和 $(4,3)$ 之间的中点是 $(3,1)$

您可能会注意到，此表达式表明中点的 x 坐标是两点 x 坐标的平均值，其 y 坐标是两点 y 坐标的平均值。从本质上讲，这意味着中点是两点的平均值。

斜率

一条直线的斜率 $m$ 由比率 $m={\frac {rise}{run}}$ 确定，其中 $rise$ 是 y 值的变化量，而 $run$ 是 x 值的变化量。

当寻找两点之间直线的斜率时，这也可以表示为 $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ 。

例如：经过 $(2,4)$ 和 $(3,6)$ 的直线的斜率为 ${\frac {6-4}{3-2}}={\frac {2}{1}}=2$ 。

相交直线

当两条直线相交时，交点是两条直线交叉的地方。交点因此在这两条直线上，这意味着它可以使用联立方程找到。

例如：直线 $y=2x+3$ 和 $y=-x$ 相交。求出交点。

${\begin{aligned}y&=2x+3\\y&=-x\\-x&=2x+3\\-3x&=3\\x&=-1\\y&=-(-1)=1\\\therefore {\text{The}}&{\text{ point of intersection is at }}(-1,1)\end{aligned}}$

平行直线

平行直线始终具有相同的斜率，并且不会相交。

例如：直线 $y=3x+1$ 和 $y=3x-2$ 是平行的。

有时我们需要找到一条与给定直线平行且经过给定点的直线。

例如，求一条平行于 $y=2x+3$ 且经过点 $(5,6)$ 的直线的方程。

${\begin{aligned}Parallel\implies &y=2x+c\\(5,6)\implies &6=2(5)+c\\&6=10+c\\&c=-4\\\therefore \quad &y=2x-4\end{aligned}}$

垂直直线

垂直直线相互垂直。两条垂直直线的斜率之积始终为-1。

例如，直线 $y=x$ 和 $y=-x$ 垂直。

有时我们需要找到一条经过特定点的垂直直线。

例如，求一条垂直于 $y=-{\frac {x}{2}}+3$ 且经过原点的直线的方程。

${\begin{aligned}Perpendicular\implies &y={\frac {-1}{-1/2}}x+c\\&y=2x+c\\Through\ origin\implies &0=2(0)+c\\&c=0\\\therefore \quad &y=2x\end{aligned}}$

直线方程的不同形式

直线方程主要有三种写法

$y=mx+c$
${\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}=m$
$ax+by+c=0$

根据点和斜率求直线方程

可以使用点和斜率，通过第二个公式 ${\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}=m$ 来找到直线的方程，然后将方程改写成 $y=mx+c$ 的形式。

例如，一条斜率为 $2$ 的直线经过点 $(2,3)$ 。求其方程。

${\begin{aligned}{\frac {y-3}{x-2}}&=2\\y-3&=2(x-2)\\y&=2x-4+3\\y&=2x-1\end{aligned}}$

从两点求直线的方程

给出两点后，我们可以使用 $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ 求出斜率。使用该斜率，可以使用与点和斜率相同的方法。

例如，一条直线经过点 $(2,-3)$ 和 $(1,1)$ 。求这条直线的方程。

${\begin{aligned}m={\frac {1+3}{1-2}}&={\frac {4}{-1}}=4\\{\frac {y+3}{x-2}}&=4\\y+3&=4(x-2)\\y+3&=4x-8\\y&=4x-11\end{aligned}}$

圆的方程

圆由所有距离其圆心一定距离的点组成。可以使用勾股定理 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 定义两点之间的距离。因此，以原点为中心的圆的方程由 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 给出，其中 $r$ 是圆的半径。

例如，以原点为圆心，半径为 $5$ 的圆的方程为 $x^{2}+y^{2}=25$ 。

如果圆心不在原点，我们可以将这个方程平移到另一个点。因此，方程变为 $(x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}=r^{2}$ ，其中 $(x_{c},y_{c})$ 是圆心的坐标。

例如，以 $(1,2)$ 为圆心，半径为 ${\sqrt {5}}$ 的圆的方程为 $(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=5$ 。

直线与圆的交点

当给定一条直线和一个圆相交的问题时，使用联立方程的代入法来求解是有用的。

例如，直线 $y=1-x$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 相交。求这些交点的坐标。

${\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=1\\y&=1-x\\x^{2}+(1-x)^{2}&=1\\x^{2}+1-2x+x^{2}&=1\\2x^{2}-2x&=0\\2x(x-1)&=0\\x&=\{0,1\}\\y&=\{1,0\}\\\therefore &\ {\text{Intersections are at (0,1) and (1,0)}}\end{aligned}}$

直线与二次函数的交点

当一个二次函数和一条直线相交时，我们也可以使用代入法来求出交点。

例如，直线 $y=3x-8$ 与二次函数 $y=x^{2}-2x-2$ 相交。求出交点。

${\begin{aligned}y&=x^{2}-2x-2\\y&=3x-8\\3x-8&=x^{2}-2x-2\\x^{2}-5x+6&=0\\(x-2)(x-3)&=0\\x&=\{2,3\}\\y&=\{-2,1\}\\\therefore {\text{The points of }}&{\text{intersection are at }}(2,-2){\text{ and }}(3,1)\end{aligned}}$

在某些情况下，我们需要找到一个常数来确保只有一个交点。在这种情况下，我们应该使用判别式。

例如，求 $k$ 的值，使得直线 $y=x+k$ 与 $y=x^{2}-3x-2$ 相切。

${\begin{aligned}Tangent\implies one\ &root\implies \Delta =0\\y&=x^{2}-3x-2\\y&=x+k\\x+k&=x^{2}-3x-2\\x^{2}-4x-2-k&=0\\\Delta =(-4)^{2}-4(1)(-2-k)&=0\\16+8+4k&=0\\4k&=-24\\k&=-6\end{aligned}}$

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