A-level 数学/CIE/纯数学 1/三角函数

三角函数

正弦

一个角的正弦定义为对边与斜边的比率。对于给定的角，这个比率总是相同的，即使三角形被放大或缩小。

$\sin(\theta )={\frac {opposite}{hypotenuse}}$

余弦

一个角的余弦定义为邻边与斜边的比率。

$\cos(\theta )={\frac {adjacent}{hypotenuse}}$

正切

一个角的正切定义为对边与邻边的比率。

$\tan(\theta )={\frac {opposite}{adjacent}}$

单位圆

单位圆是一个半径为 1 的圆。它可以用来提供另一种看待三角函数的方式。

在单位圆中，可以画一个直角三角形，以半径为斜边。因此，斜边为 1，正弦和余弦函数指的是单位圆上一个点的坐标。

三角函数图像

正弦图像从 $(0,0)$ 开始，然后以周期为 $2\pi$ 和振幅为 $1$ 振荡。

余弦图像类似于正弦图像，以周期为 $2\pi$ 和振幅为 $1$ 振荡，但是它从 $(1,0)$ 开始。

正切函数从 $(0,0)$ 开始，在接近 $x={\frac {\pi }{2}}$ 时趋于无穷大，在 $x={\frac {\pi }{2}}$ 之后从负无穷大出现，然后在 $(\pi ,0)$ 重复这个过程。正切函数的周期为 $\pi$ 。

精确值

了解以下三角函数的精确值非常有用

精确值
x/°	x/rad	sin x	cos x	tan x
0	0	0	1	0
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3
45	π/4	1/√2	1/√2	1
60	π/3	√3/2	1/2	√3
90	π/2	1	0	undefined

反三角函数

关于符号的说明

一些资料可能使用 $\arcsin$ ， $\arccos$ 和 $\arctan$ 来表示反三角函数，但这种符号不被剑桥国际认可。

反三角函数是指反转三角函数的函数，就像任何其他反函数一样。反三角函数有： $\sin ^{-1}$ ，它是 $\sin$ 的反函数； $\cos ^{-1}$ ，它是 $\cos$ 的反函数；还有 $\tan ^{-1}$ ，它是 $\tan$ 的反函数。

三角恒等式

恒等式是指始终为真的语句，例如 $a+b\equiv b+a$ 。因此，三角恒等式是指始终为真的三角语句。

了解以下恒等式很有帮助

$\sin(x)\equiv \cos({\frac {\pi }{2}}-x)$
$\cos(x)\equiv \sin({\frac {\pi }{2}}-x)$
${\frac {\sin(x)}{\cos {x}}}\equiv \tan(x)$
$\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)\equiv 1$

这些恒等式可以用来证明其他恒等式。

例如，证明 ${\frac {\sin(x)\cos ^{2}(x)}{\cos(x)}}\equiv \tan(x)-\sin ^{2}(x)\tan(x)$

${\begin{aligned}{\frac {\sin(x)\cos ^{2}(x)}{\cos(x)}}&\equiv {\frac {\sin(x)(1-\sin ^{2}(x))}{\cos(x)}}\\&\equiv \tan(x)(1-\sin ^{2}(x))\\&\equiv \tan(x)-\sin ^{2}(x)\tan(x)\end{aligned}}$

解三角方程

在解三角方程时，务必牢记所求解的区间。

例如，解方程 ${\sqrt {3}}\tan 2x-1=0$ ，其中 $-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}$ .

${\begin{aligned}{\sqrt {3}}\tan 2x-1&=0\\{\sqrt {3}}\tan 2x&=1\\\tan 2x&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\&{\text{区间为 }}-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}{\text{ 所以}}-\pi <2x<\pi \\2x&=\{-{\frac {5\pi }{6}},{\frac {\pi }{6}}\}\leftarrow {\text{我们需要包含区间内所有可能的值}}\\x&=\{-{\frac {5\pi }{12}},{\frac {\pi }{12}}\}\end{aligned}}$

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