A-level 数学/CIE/纯数学 1/函数

符号与术语

函数符号

描述函数主要有两种方式：用括号表示法，例如 $f(x)=x^{2}-1$，或用映射表示法，例如 $f:x\mapsto x^{2}-1$。这些都描述了函数的作用。

定义

函数

函数是从输入集到输出集的映射。例如，函数 $f(x)=3x$ 通过将输入 $x$ 乘以 3，映射到输出 $3x$

定义域

定义域是所有有效输入的集合。例如，函数 $f(x)={\frac {1}{x}}$ 的定义域为 $x\in \mathbb {R} ,x\neq 0$。

值域

值域是所有可能输出的集合。例如，函数 $f(x)=x^{2}$ 的值域为 $x\geq 0$

一对一函数

一对一函数是指每个输入都映射到唯一一个输出，并且每个输出都对应唯一一个输入的函数。例如，$f(x)=x^{2},x\in \mathbb {R}$ 不是一对一函数，但 $f(x)=x^{2},x\geq 0$ 是一个一对一函数。

反函数

逆函数是指执行另一个函数相反操作的函数。例如，函数 $f(x)=x+5$ 的逆函数为 $f^{-1}(x)=x-5$。

函数的复合

函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。例如：如果 $f(x)=x^{2}$ 以及 $g(x)=3x+5$，那么复合函数 $fg(x)=(3x+5)^{2}$ 以及复合函数 $gf(x)=3x^{2}+5$。请注意，对于两个任意函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，复合函数 $fg(x)$ 和 $gf(x)$ 不相等，除了某些特殊情况。

寻找值域

函数 y=1/x 当 x 趋于无穷大时趋近于零。

要找到函数的值域，我们需要找到函数可以取到的最高值和最低值。

示例 1

求 $f(x)={\frac {1}{x}},x\geq 1$ 的值域。

$x$ 可以取到的最小值为 1，因此值域的一个边界为 $f(x)={\frac {1}{1}}=1$。

$x$ 可以取到的最大值为无穷大，因此值域的另一个边界是 $f(x)$ 当 $x$ 趋于无穷大时趋近的值，即为 0。

因此，函数 $f(x)$ 的值域为 $0<f(x)\leq 1$。此值域也可以用区间表示法表示为 $f(x)\in (0,1]$

顶点是图形到达最低点的位置。

示例 2

求 $g(x)=x^{2}-x-2,x\in \mathbb {R}$ 的值域。

二次函数总是存在一个转向点，称为其顶点。这决定了它的值域。顶点可以通过配方法找到。

${\begin{aligned}g(x)&=\ x^{2}-x-2\\&=\ (x-{\frac {1}{2}})^{2}-{\frac {1}{4}}-2\\&=\ (x-{\frac {1}{2}})^{2}-{\frac {9}{4}}\end{aligned}}$

配方法给出了顶点的坐标，$({\frac {1}{2}},-{\frac {9}{4}})$.

由于顶点是该函数的最低点，我们可以将值域表示为 $g(x)\geq -{\frac {9}{4}}$，也可以表示为 $g(x)\in [-{\frac {9}{4}},\infty )$

复合函数

复合函数是由将一个函数的输出作为另一个函数的输入而创建的函数。

例如，求复合函数 $gf(x)$，其中 $f(x)=3x+5$ 且 $g(x)=2x^{2}$.

${\begin{aligned}gf(x)&=g(f(x))=g(3x+5)\\&=2(3x+5)^{2}=2(9x^{2}+30x+25)\\&=18x^{2}+60x+50\end{aligned}}$

需要注意的是，只有当内层函数的值域在外部函数的定义域内时，才能创建复合函数。

反函数

反函数 是给定函数的反向，例如 $f(x)=x+5$ 的反函数是 $f^{-1}(x)=x-5$.

然而，并非所有函数都有反函数。只有一对一 函数才有反函数。

确定函数是否是一对一

确定函数是否是一对一的正式方法是证明 $f(x)=f(y)\implies x=y$

例如，证明 $f(x)=x^{3}$ 是一个一对一函数。

${\begin{aligned}f(x)&=f(y)\\x^{3}&=y^{3}\\{\sqrt[{3}]{x^{3}}}&={\sqrt[{3}]{y^{3}}}\\x&=y\\\therefore f(x){\text{ is one-to-one}}\end{aligned}}$

寻找反函数

要找到函数的反函数，用 $x$ 替换函数定义中的 $f^{-1}(x)$，然后重新排列变量，使 $f^{-1}(x)$ 成为公式的主体。

例如，求 $f(x)=(2x+3)^{2}-4$ 的反函数。

${\begin{aligned}f(f^{-1}(x))=(2f^{-1}(x)+3)^{2}-4\\x=(2f^{-1}(x)+3)^{2}-4\\(2f^{-1}(x)+3)^{2}=x-4\\2f^{-1}(x)+3={\sqrt {x-4}}\\2f^{-1}(x)={\sqrt {x-4}}-3\\f^{-1}(x)={\frac {{\sqrt {x-4}}-3}{2}}\end{aligned}}$

反函数的绘图

函数与其反函数的图形

如果将一个函数及其反函数绘制在同一个图上，很明显，反函数的图形与函数的图形关于直线 $y=x$ 对称。

其原因是图形 $y=f^{-1}(x)$ 等价于 $x=f(y)$

函数变换

变换是改变函数图形的位置、大小或形状的操作。

平移

平移改变函数图形的位置。 $y=f(x)+a$ 可以使函数沿垂直方向移动，而 $y=f(x+a)$ 可以使函数沿水平方向移动。

缩放

缩放是函数改变大小的操作。 $y=af(x)$ 改变函数的垂直大小，而 $y=f(ax)$ 改变函数的水平大小。如果 $a$ 为负数，函数也将被反射。

反射

反射是指函数关于给定直线镜像的操作。这可以通过 $y=a-f(x)$ 实现垂直反射，而 $y=f(a-x)$ 实现水平反射。