A-level 数学/CIE/纯数学 1/级数

二项式定理

在我们讨论二项式定理之前，我们需要讨论组合。为了讨论组合，我们需要讨论阶乘。

阶乘

一个数的阶乘是所有从1到该数的所有数的乘积。它用符号 $!$ 表示在该数之后。

例如 $4!=4\times 3\times 2\times 1=24$

阶乘可以正式定义为

$n!={\begin{cases}1,&{\text{if }}n=0\\n\times (n-1)!,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

组合

组合是一种计算从一个较大的集合中选出一个给定大小的元素集合的方法。它通常用列表示法 ${\binom {n}{k}}$ 或符号 $nCk$ 表示。

组合可以用阶乘计算： ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},n\geq k$ .

例如 ${\binom {5}{3}}={\frac {5!}{3!2!}}={\frac {120}{6(2)}}={\frac {120}{12}}=10$

二项式定理

二项式定理用于我们需要将一个二项式（由两项组成的表达式）提高到给定 $n$ 次方时，例如 $(x+2)^{3}$ .

二项式定理指出 $(a+b)^{n}={\binom {n}{0}}a^{n}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b+{\binom {n}{2}}a^{n-2}b^{2}+\dots +{\binom {n}{n}}b^{n}$

例如

${\begin{aligned}(x+2)^{3}&={\binom {3}{0}}x^{3}+{\binom {3}{1}}x^{2}(2)+{\binom {3}{2}}x(2^{2})+{\binom {3}{3}}(2^{3})\\&=(1)x^{3}+(3)(2)x^{2}+(3)(4)x+(1)(8)\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8\end{aligned}}$

二项式定理有时可以总结为 $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}$

等差数列

等差数列是一个序列，其中数字从一个项到下一个项以一个固定的数量递增。

例如 $6,8,10,12,14,\dots$ 是一个等差数列（固定数量是 $2$ )

第 n 项

等差数列的第 n 项可以使用 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ 来确定，其中 $a_{n}$ 是第 n 项， $a_{1}$ 是第一项， $d$ 是级数中两个连续项之间的差。

例如，序列 $4,7,10,13,\dots$ 的公差为 $7-4=3$ 。因此，此序列的第 n 项可以用 $a_{n}=4+3(n-1)=4+3n-3=1+3n$ 表示。因此，如果要找到这个等差数列的第 1000 项，我们可以用第 n 项公式： $a_{1000}=1+3(1000)=3001$ 。