A-level 数学/MEI/C1/代数

代数是处理数量关系的数学分支。在方程中，等号两边相等，在不等式中，一边通常大于另一边。

方程由两个用等号 ($=$) 连接的表达式组成。左侧的所有内容都等于右侧的所有内容，例如 $2+3=4+1$。一些方程包含一个**变量**，通常用 $x$、$y$ 或 $z$ 表示。包含变量的方程只有在变量取某些特定值时才成立。例如 $2+x=5$ 只有在 $x=3$ 时才成立。当方程成立时，变量所取的值称为方程的**解**。因此 $x=3$ 是方程 $2+x=5$ 的解。

代数语言

在开始学习代数之前，你需要熟悉一些术语。

变量

变量是一个数量，其值通常未知。通常，变量用符号$x$表示，尽管可以使用任何字母。

常数

常数通常是一个已知量，不涉及变量。稍后您将遇到未知常数，它们通常用符号$c$表示。

指数

通常，指数是写在符号上标（略高于）的任何东西。指数通常用于表示某个数的幂，例如$x^{3}$（读作x的三次方），它与$x\times x\times x$相同。

表达式

表达式是一组形成数学语句的符号。$2+2$是一个表达式的例子。

项

项可以是任何变量、常数或变量或常数的乘积，它们由$+$或$-$符号分隔。在表达式$3x+4xy-2y$中，单独的项是$3x$、$4xy$和$2y$。

系数

系数是项的常数部分，它乘以项的变量部分。例如，在$2x^{3}$中，$x^{3}$的系数是$2$。

方程

方程是一个数学语句，它说明两件事相等。在两个表达式之间有一个等号（$=$）。$2+2=4$是一个方程的例子，$3+x=7$也是。

恒等式

恒等式是一个包含未知数的方程，对于该未知数的所有值都成立。恒等式符号（≡）用于代替等号。例如，$x-x=0$ 无论$x$ 的值为多少，始终是正确的。当您想强调它是恒等式而不是仅仅是方程时，通常写成 $x-x$ ≡ $0$。

函数

函数将一个输入值关联到一个输出值。$x$ 的函数通常记为 $f(x)$。 $f(x)=x^{2}$ 是一个函数的例子。一旦定义了函数，就可以写成 $f(3)=3^{2}=9$。 $f(x)={\sqrt {x}}$ 不是一个函数，因为对于每个输入，都有两个输出值（正数和负数）。

表达式运算

有时，表达式会比需要的复杂，它们可以用更容易理解的形式表示。虽然您很可能已经在 GCSE 中学习过这些技能，但它们对于 A-level 课程的其余部分至关重要。

合并同类项

合并同类项时，您只需将所有$x$ 的项加在一起，将所有$y$ 的项加在一起，以及将所有$z$ 的项加在一起。对于表示变量的任何其他字母，也同样适用。

例如，$2x+4y+8z-3x-7y-2z+4x$ 变为

$2x-3x+4x=3x$

$4y-7y=-3y$

$8z-2z=6z$

因此，将所有答案相加，$2x+4y+8z-3x-7y-2z+4x$化简后为$3x-3y+6z$。

乘法

不同变量的乘法，例如$a\times b$ 变为 $ab$。单个变量变成指数，所以 $x\times x$ 是 $x^{2}$。

与加法和减法一样，我们将同类项放在一起。例如

$2x^{2}z\times 3yz^{2}\times 4xy^{3}$ 变为

$2\times 3\times 4\times x^{2}\times x\times y\times y^{3}\times z\times z^{2}$

最终可以简化为

$24{x^{3}}{y^{4}}{z^{3}}$

括号展开

以下示例说明了括号展开的技巧。

$(8x+5y)(3x-6y)$

$=(8x+5y)3x-(8x+5y)6y=8x(3x-6y)+5y(3x-6y)$ 使用首尾项相乘法(FOIL)

F=> 每个括号中的首项 8x . 3x =24x^2 O=> 外项(第一个括号的首项乘以第二个括号的末项) 8x . -6y = -48xy I=> 内项(第一个括号的末项乘以第二个括号的首项) 5y . 3x =15xy L=> 每个括号中的末项 5y . -6y = -30 y^2

并将各项合并(通常只有中间两项) 24x^2 -48xy +15xy -30y^2 答案 24x^2-33xy-30y^2

因式分解

有时，表达式可以重写为其因式的乘积。您可以将表达式除以表达式中所有项的公因式。这本质上与括号展开相反，因为大多数情况下，公因式放在括号之外。例如

要分解因式$10x+15y$，你必须首先找到$10x$和$15y$的公因数。$5$很容易被发现是一个因数。现在你用$5$去除整个表达式，得到$2x+3y$。将$2x+3y$放在括号内，然后将$5$放在括号外。现在分解因式的表达式为$5(2x+3y)$，你可以将表达式展开以确保你得到原始表达式。

另一个表达式，$x^{2}-xy^{2}+3xz$有一个公因数$x$。这个表达式的分解因式形式是$x(x-y^{2}+3z)$。

分数

在处理分数时，规则是使所有分母相等，然后将表达式写成一个分数。你需要同时乘以分子和分母相同的数，以保持分数的含义不变。

例如，对于${\frac {3x}{2}}+{\frac {2y}{5}}-{\frac {z}{10}}$，公分母是$10$。

将分子和分母都乘以$5$：${\frac {15x}{10}}$

将分子和分母都乘以$2$：${\frac {4y}{10}}$

保持不变：${\frac {z}{10}}$

你现在有${\frac {15x}{10}}+{\frac {4y}{10}}-{\frac {z}{10}}$，它可以简化为${\frac {15x+4y-z}{10}}$。

解方程

通常，要解方程，必须对其进行重新排列，使未知项位于等号的一侧。通过将$2+x=5$重新排列为$x=5-2$，$x$已成为方程的**主元**。现在通过简化方程，您可以发现解是$x=3$。

改变方程的主元

您通常会得到比上述示例更复杂的方程。要将一项从等号的一侧移到另一侧，您必须在等号的两侧执行相同的操作。例如，要使$x$成为$y={\frac {4a(x^{2}+b)}{3}}$的主元

两边乘以$3$	$3y=4a(x^{2}+b)$
两边除以$4a$	${\frac {3y}{4a}}=x^{2}+b$
两边减去$b$	${\frac {3y}{4a}}-b=x^{2}$
两边开平方	$\pm {\sqrt {{\frac {3y}{4a}}-b}}=x$

解一元二次方程

二次方程是指变量的幂为2的方程，与一次方程不同，它最多有两个**根**。根是指使方程成立的变量值，要完全解出一个方程，必须找到所有的根。对于一个二次方程，你可以对其进行因式分解，然后很容易找到使方程成立的值。上面的例子是一个比较简单的案例。通常你会得到一个更复杂的方程，例如$2x^{2}+5x+3=0$。如果方程不是以$ax^{2}+bx+c=0$的形式给出，则将其重新整理成此形式。对$2x^{2}+5x+3=0$进行因式分解所需的步骤如下。

将$2$乘以$3$（$x^{2}$的系数乘以常数项）。	$2\times 3=6$
找到两个数，它们的和为$5$（$x$的系数），积为$6$（上一步的结果）。	$2\times 3=6$$2\times 3=6$，$2+3=5$
将$5x$拆分为$2x+3x$（根据上一步的结果）。	$2x^{2}+2x+3x+3=0$
简化	$2x(x+1)+3(x+1)=0$
进一步简化	$(2x+3)(x+1)=0$

所以 $(2x+3)(x+1)=0$ 是 $2x^{2}+5x+3=0$ 的因式分解形式。现在您可以利用任何数字乘以 $0$ 都等于 $0$ 的事实来求解方程的根。使其中一个括号等于 $0$ 的数字就是方程的根。在这个例子中，根是 $-1.5$ 和 $-1$。

也可以使用求根公式或配方法来解一元二次方程。

联立方程

联立方程组用于同时求解两个或多个变量。基本的联立方程组由两个线性表达式组成，可以通过三种不同的方法求解：消元法、代入法或作图法。

消元法

消元法的基本原理是对一个或多个表达式进行操作，以便消去其中一个变量，然后求解正确的解。

一个例子如下

$2x+3y=10$		(1)		(将该方程标为(1))
$2x+6y=6$		(2)		(将该方程标为(2))

由此可见，将方程(1)乘以2，然后从(2)中减去这个新方程，$y$ 变量将被消去。

(1) $\times 2\rightarrow 4x+6y=20$ (1a) (将该方程标为(1a))

现在从(1a)中减去(2)

	$4x+6y=20$		(1a)
$-$	$2x+6y=6$		(2)
$=$	$2x+0y=14$

现在我们有了 $2x=14$，我们可以求解 $x$，在本例中是 $7$。

$x=7$.

将新求得的$x$代入(1)

$2\times 7+3y=10$

$14+3y=10$

我们发现$y=-4/3$

因此，这两个方程（1）和（2）的解为

$x=7$

$y=-4/3$

代入法

代入法依赖于能够重新排列表达式以分离单个变量，形式为变量 = 表达式。根据此结果，然后可以用此新表达式替换变量本身，并计算解。

一个例子如下

$2x+3y=12$		(1)		(将该方程标为(1))
$x+y=6$		(2)		(将该方程标为(2))

从这个表达式可以看出，(2) 是最简单的表达式，因此将是更好的重排选择。

取(2)，将其重新排列为$x=6-y$。(2a)

将(2a)代入(1)，我们得到

$2(6-y)+3y=12$

求解此方程，我们得到$y=0$

同样，我们可以将此结果代入原始方程之一以求解$x$。在这种情况下$x=6$。

请注意，对于其中一个方程为非线性方程的情况，必须在线性方程中分离一个变量并将其代入非线性方程。然后，可以使用上述方法之一求解二次方程。

另一种代入形式是，如果两个方程中都有类似的表达式，例如在本例中

$2x+3y=10$		(1)		(将该方程标为(1))
$2x+6y=6$		(2)		(将该方程标为(2))

这里，$2x$在两个方程中都出现，所以

$2x=10-3y$		(1)
$2x=6-6y$		(2)

并且由于$2x=2x$，您可以执行

$10-3y=6-6y$

$6y-3y=6-10$

$3y=-4$

$y=-4/3$

现在你已经得到了$y$，求解$x$ 的方法与上面相同。

图解法

通过绘制两个方程的直线图，你可以通过观察直线交点来求解。如果交点是 (a,b)，那么解就是$x=a$ 和 $y=b$。

用联立方程解决问题

通常，你会遇到一些需要你用一对联立方程来表达的问题。你需要识别此类问题，并在求解之前正确地写出它们。大多数问题都与这些示例相似，但有一些区别。

示例 1

在一家唱片店，2 张专辑和 1 张单曲的价格为 10 英镑。1 张专辑和 2 张单曲的价格为 8 英镑。求专辑和单曲的价格。

设专辑为$a$，单曲为$s$，则这两个方程为

$2a+s=10$

$a+2s=8$

你现在可以解方程并找到每个的价格。

示例 2

汤姆有 10 英镑的预算用于购买派对食物。他可以买 5 包薯片和 8 瓶饮料，或者他可以买 10 包薯片和 6 瓶饮料。

设一包薯片为$c$，一瓶饮料为$d$，则这两个方程为

$5c+8d=10$

$10c+6d=10$

现在你可以解方程来找到每件物品的价格。

示例 3

在一家糖果店，一颗跳跳糖比一只软糖贵 5 便士。8 只软糖和 9 颗跳跳糖的价格为 1.64 英镑。

设一颗跳跳糖为$g$，一只软糖为$b$，则这两个方程为

$b+5=g$

$8b+9g=164$

现在可以使用上述方法之一来解决这个问题。

二次方程

二次函数是一个多项式，其次数为2，形式为$f(x)=ax^{2}+bx+c$。

图像

二次函数的图像可以用$y=ax^{2}+bx+c$的形式表示。右侧显示了$y=2x^{2}+8x+2$的图像，可以看到它具有所有二次函数都具有的特征“桶状”形状，称为抛物线。可以通过逐点绘制曲线找到图像的对称轴和顶点（最大值或最小值点），并且可以通过因式分解二次函数来找到根。

但是，这些性质可以更容易地从其配方法形式推导出来。

$y=2(x+2)^{2}-6$.

配方法

配方法是将二次函数从$ax^{2}+bx+c$的形式转换为等价形式$a(x+d)^{2}+e$的过程，其中$a$、$d$和$e$是常数。例如，二次函数$2x^{2}+8x+2$将变为$2(x+2)^{2}-6$。

将二次函数转换为配方法形式可以轻松找到许多东西，例如二次函数的根和二次函数的顶点，甚至不需要草图。

以下是配方法的步骤。不用担心，它比看起来更容易。

步骤	操作	示例	一般情况
1.	确保二次函数采用常规形式：$ax^{2}+bx+c$。	$2x^{2}+8x+2$	$ax^{2}+bx+c$
2.	除非$a=1$，“提出/提取a”，即，将整个二次函数除以$a$并将其放在括号外面。 注意：如果二次方程是方程的一部分，你可以将等式两边都除以$a$，例如$2x^{2}+8x+2=0$ 就会简单地变成$x^{2}+4x+1=0$。	$2\left(x^{2}+4x+1\right)$	$a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)$
3.	用$\left(x+{\frac {k}{2}}\right)^{2}$替换$x^{2}+kx$部分。 重要的是要意识到$\left(x+{\frac {k}{2}}\right)^{2}=x^{2}+kx+{\frac {k^{2}}{4}}$，它与之前的值接近但并不相等。这将在下一步中得到纠正。为了避免写出实际上不相等的东西，一旦你习惯了这种方法，最好在你的工作中同时执行这两个步骤。	$2\left((x+2)^{2}+1\right)$	$a\left(\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}\right)$
4.	通过插入一个合适的数字的减法来纠正上一步中引入的错误。这个合适的数字可以通过两种方式找到 通过展开上一步中插入的项并将其与原始项进行比较；或 通过记住错误总是${\frac {k^{2}}{4}}$。 这一步被称为“配方法”，也因此得名。	$(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4$ 比 $x^{2}+4x+1$ 大 3，所以插入 $-3$：$2\left((x+2)^{2}-3\right)$；或者 ${\frac {4^{2}}{4}}=4$ 所以误差为 4：$2\left((x+2)^{2}-4+1\right)$$=2\left((x+2)^{2}-3\right)$	$a\left(\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)$
5.	如果步骤 2 是必要的，则通过展开外括号稍微简化结果。	$2(x+2)^{2}-6$	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$
6.	检查您得到的结果是否可以展开回您开始时的表达式。 注意：您可能对自己的能力足够自信，可以跳过此步骤。	$2\left(x^{2}+4x+4\right)-6$ $=2x^{2}+8x+8-6$ $=2x^{2}+8x+2$	$a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$ $=ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$ $=ax^{2}+bx+c$

因此，$y=2x^{2}+8x+2$ 配方后的形式为 $2(x+2)^{2}-6$。 $-6$ 告诉我们曲线的最低点位于 $y=-6$，而 $x+2$ 告诉我们对称轴位于 $x+2=0$ 或 $x=-2$。 因此，顶点位于 $(-2,-6)$，如果你观察图形，你会发现情况确实如此。

从图形中可以看出，$y=2x^{2}+8x+2$ 在 $-4$ 和 $-3$ 之间有一个根，在 $-1$ 和 $0$ 之间还有另一个根，它与 $y$ 轴相交。 但是如何找到精确的值呢？使用配方后的形式，可以很容易地重新排列以找到 $x=0$

步骤	操作	示例	一般情况
1.	要解形如 $ax^{2}+bx+c=0$ 的方程，首先使用上述方法配方。	$2(x+2)^{2}-6=0$	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=0$
2.	将 $(x+k)^{2}$ 项分离出来。	$2(x+2)^{2}=6$ $(x+2)^{2}=3$	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a}}-c$ $\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}$
3.	对等式两边开平方，包括一个 $\pm$，因为括号内的值可能为负或正。	$x+2=\pm {\sqrt {3}}$	$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}$ 然后进行一些简化 $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}}}$ $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$ $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\sqrt {4a^{2}}}}$ $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$
4.	分离 $x$。	$x=\pm {\sqrt {3}}-2$ $x={\sqrt {3}}-2$ 或 $-{\sqrt {3}}-2$ $x\approx -0.268$ 或 $-3.73$	$x=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}-{\frac {b}{2a}}$ $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

此特定示例中 $x$ 的值在预期范围内，如图形所示。

二次方程公式

二次方程公式是从配方法的一般情况推导出来的。

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

它可用于通过直接将数字代入公式来求解二次方程的根。例如，对于 $y=2x^{2}+8x+2$

$x={\frac {-8\pm {\sqrt {64-16}}}{4}}=-2\pm {\sqrt {3}}$

所以 $x=-2+{\sqrt {3}}$ 和 $x=-2-{\sqrt {3}}$。

判别式

注意，二次方程包含 $b^{2}-4ac$ 在平方根符号内。这部分称为**判别式**，可以单独考虑以确定方程的根的个数。

• 如果 $b^{2}-4ac<0$，则您将无法找到平方根，因为您不知道如何对负数进行开方。到目前为止，您遇到的数字类型称为实数，因此据说二次方程**没有实数根**。
• 如果 $b^{2}-4ac=0$，则更改平方根前面的 $\pm$ 符号没有任何区别，因为无论哪种方式它都是零。因此，您将获得相同的根两次，因此据说二次方程**有一个重复根**。

• 如果$b^{2}-4ac>0$，那么$\pm$ 将意味着你会得到两个答案，因此你可以说二次方程有两个不同的（即不同的）根。

不等式

不等式是一个表达式，用于比较点、线或曲线的相对大小。与等式不同，在等式中，等号两侧始终相等，不等式的一侧可以大于或等于另一侧。

不等式的四个符号

有四个主要的符号

• $<$ 小于，
• $>$ 大于，
• $\leq$ 小于或等于，以及
• $\geq$ 大于或等于。

例如，$x<4$ 表示$x$ 小于 4，$x>4$ 表示$x$ 大于 4，$x\leq 4$ 表示$x$ 等于 4 或小于 4 的任何数，$x\geq 4$ 表示$x$ 等于 4 或大于 4 的任何数。

请注意，$x>y$ 和$y<x$ 本质上都是相同的陈述。

如果你对哪个符号表示小于和大于感到困惑，记住不等号总是指向较小的数字是有帮助的。

组合不等式

在某些情况下，两个不等式可以组合成一个。例如，门的高度据说在$x\geq 1.95$ 和$x<2.05$ 之间。通常写成$1.95\leq x<2.05$。请注意，不等号的方向相同。$2.05\geq x>1.95$ 也是完全可以接受的，但组合方向相反的不等式是不正确的，它们必须保留为两个独立的不等式。

解线性不等式

这些符号可以用来代替等号，方程式现在变成了不等式（因为两边并不总是相等）。

例如，我们可以用 $2x+4>6$ 代替 $2x+4=6$。

在这个例子中，$x$ 可以是任何使得这个不等式大于 6 的数字。在这种情况下，$x>1$，但$x\neq 1$。如果不等式是$2x+4\geq 6$，那么$x$ 可以取值为 1。

不等式可以像方程式一样进行运算和求解，尽管当您乘以或除以负数时，您必须采取额外的步骤。

乘以或除以负数

当乘以或除以负数时，必须改变不等号的方向。

例如，看不等式 $10>5$。这是正确的，因为 10 显然大于 5。现在，如果我们要将两边都乘以 -1，我们将得到

$-10>-5$.

这是不正确的，因为 -10 实际上小于 -5。通过反转不等号，我们现在有了正确的不等式

$-10<-5$.

解一元二次不等式

要解一元二次不等式，您可以像解一元二次方程一样因式分解它。

或者，您可以像绘制一元二次方程一样绘制其图形，然后对不等式覆盖的那一侧进行阴影。这里可能需要一张图片来演示该方法？

指数

你可能已经熟悉指数，例如 $x^{2}$ 只是 $x\times x$ 的简写形式，而 $x^{4}$ 同样地表示 $x\times x\times x\times x$。在 $x^{5}$ 中，$x$ 称为底数，$5$ 称为指数或幂。 $x^{4}$ 读作“x 的四次方”或完整地读作“x 的四次幂”。一些幂非常常用，因此有特殊的名称：$x^{2}$ 称为“x 的平方”，$x^{3}$ 称为“x 的立方”，而 $x^{-1}$（如果你还没有遇到过，你很快就会了解到）称为“x 的倒数”。

注意：“指数法则”有时也称为“指数定律”或“幂规则” [1]。更一般地，数学中的指数是符号的上标或下标。

指数运算

使用这种记法，你可能会注意到一些规律。

乘法

首先，$x^{3}\times x^{2}$ 等于 $\left(x\times x\times x\right)\times \left(x\times x\right)=x\times x\times x\times x\times x$，也就是 $x^{5}$。当然 $3+2=5$，所以你将指数加在一起。为了说明，这里有一个数字示例：$2^{3}\times 2^{5}=8\times 32=256=2^{8}$（和之前一样，$3+5=8$）。

除法

其次，${\frac {x^{4}}{x^{2}}}$ 等于 ${\frac {x\times x\times x\times x}{x\times x}}=x\times x=x^{2}$（当 $x\neq 0$）。这次 $4-2=2$，所以你减去了指数。

下面是一个用数字的例子：${\frac {10^{5}}{10^{2}}}={\frac {100000}{100}}=1000=10^{3}$，同样地 $5-2=3$。

底数的幂

第三，$\left(x^{2}\right)^{3}$ 等于 $\left(x\times x\right)\times \left(x\times x\right)\times \left(x\times x\right)=x\times x\times x\times x\times x\times x$，也就是 $x^{6}$。你可以看到 $2\times 3=6$，所以指数相乘了。下面是用数字的另一个例子：$\left(3^{2}\right)^{4}=9^{4}=6561=3^{8}$，并且 $2\times 4=8$。

多个底数

最后 $\left(xy\right)^{3}=xy\times xy\times xy=x\times y\times x\times y\times x\times y=x\times x\times x\times y\times y\times y$，这与 $x^{3}y^{3}$相同。以下是一个用数字举例： $\left(2\times 5\right)^{2}=\left(10\right)^{2}=100=4\times 25=2^{2}\times 5^{2}$。除法也有类似的情况： $\left({\frac {x}{y}}\right)^{2}={\frac {x}{y}}\times {\frac {x}{y}}={\frac {x\times x}{y\times y}}={\frac {x^{2}}{y^{2}}}$

指数法则

上面提到的规则被称为指数法则，可以写成

1. $x^{a}x^{b}=x^{a+b}$
2. ${\frac {x^{a}}{x^{b}}}=x^{a-b}$
3. $\left(x^{a}\right)^{b}=x^{ab}$
4. $\left(xy\right)^{n}=x^{n}y^{n}$
5. $\left({\frac {x}{y}}\right)^{n}={\frac {x^{n}}{y^{n}}}$

特殊指数

你可能已经意识到 ${x^{1}}=x$。这可以通过观察 $x^{3}=x\times x\times x$、$x^{2}=x\times x$的规律或通过计算 ${\frac {x^{3}}{x^{2}}}$（显然是 $x$，但也根据法则 2 等于 $x^{3-2}=x^{1}$）来观察。

到目前为止，我们所看到的所有例子都是指数为正整数的情况，但通过思考这些法则，可以考察其他情况。

零次幂

对于任何$x$（严格来说，任何$x\neq 0$，参见下面的注释），$x^{0}=1$ 这一点不太明显，但可以用类似的方法证明，例如${\frac {x^{4}}{x^{4}}}$ 等于 1，但根据法则 2，它也必须等于$x^{4-4}=x^{0}$。

负指数幂

下一步很自然地会问$x^{-1}$ 是多少。通过“反向”应用法则 2，我们可以得到$x^{-1}=x^{0-1}={\frac {x^{0}}{x^{1}}}={\frac {1}{x}}$。类似的论证可以用于任何其他负整数，例如$x^{-3}=x^{0-3}={\frac {x^{0}}{x^{3}}}={\frac {1}{x^{3}}}$。

分数指数幂

如果指数不是整数会怎样？假设你想找到$x^{\frac {1}{2}}$，你可以说${x^{\frac {1}{2}}}\times {x^{\frac {1}{2}}}=x^{1}$（根据幂的加法法则3），这意味着$x^{\frac {1}{2}}$必须是$\pm {\sqrt {x}}$。然而，通常只使用正根，因此$x^{\frac {1}{2}}$被定义为${\sqrt {x}}$。对于其他此类分数，您可以使用类似的论证，例如$\left(x^{\frac {1}{3}}\right)^{3}=x$，所以$x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}$。

总结

• $x^{1}=x$
• $x^{0}=1$
• $x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}$
• $x^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x}}$

有时你可能需要使用这些法则来理解某些东西的含义，例如$x^{\frac {2}{3}}=\left(x^{2}\right)^{\frac {1}{3}}$（使用法则3），以及$\left(x^{2}\right)^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x^{2}}}$（使用上面的定义）。记住一般规则$x^{\frac {a}{b}}={\sqrt[{b}]{x^{a}}}$很有用。

根式

在数学中，根式是指包含根号且解为无理数的表达式，无法精确表达——例如，√3 = 1.732050808...。

有时使用根号进行运算比使用近似的小数更有用。根号可以像代数表达式一样进行运算，有时可以消去根号（称为有理化表达式），而如果尝试使用近似值进行运算，则可能无法做到这一点。当要求给出精确值时，近似的小数答案是不够的，您将不得不对根式进行运算，以便以简化的根式形式给出最终答案。

根式的化简

因为根式可以像代数表达式一样进行运算，所以您可以轻松地展开各项并合并同类项。但是，在化简根式时，还有一些规则会很有用。

根式的基本规则

因为${\sqrt {x}}\times {\sqrt {x}}=x$，因此知道可以将其重新排列得到${\sqrt {x}}={\frac {x}{\sqrt {x}}}$ 和 ${\frac {1}{\sqrt {x}}}={\frac {\sqrt {x}}{x}}$ 很有用。

根式作为指数

因为${\sqrt[{n}]{x}}=x^{\frac {1}{n}}$，指数律也适用于任何n次根。最常用的情况是平方根的律4和律5

• $\left(xy\right)^{n}=x^{n}y^{n}$ 变为 ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}\times {\sqrt {y}}$
• $\left({\frac {x}{y}}\right)^{n}={\frac {x^{n}}{y^{n}}}$ 变为 ${\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$

第一个要点通常用于化简平方根，例如${\sqrt {200}}={\sqrt {100\times 2}}={\sqrt {100}}\times {\sqrt {2}}=10{\sqrt {2}}$。在考试中，您需要将所有平方根写成根号内数字最小的形式（即根号内的数字不应有任何平方因子）。

分母的有理化

简化包含根号的表达式的另一种技巧是有理化分母。这意味着去除分数分母中的根号。例如，对于分数${\frac {5}{\sqrt {3}}}$，可以将分子和分母都乘以${\sqrt {3}}$，得到${\frac {5{\sqrt {3}}}{3}}$。

如果分数的形式为${\frac {a}{b+{\sqrt {c}}}}$，则上一段中使用的策略只需要稍作修改即可。这次，你应该将分子和分母都乘以${b-{\sqrt {c}}}$。如果你熟悉平方差公式，那么接下来会发生什么你应该已经知道了。

${\frac {a}{b+{\sqrt {c}}}}\times {\frac {b-{\sqrt {c}}}{b-{\sqrt {c}}}}={\frac {ab-a{\sqrt {c}}}{b^{2}+b{\sqrt {c}}-b{\sqrt {c}}-{\sqrt {c}}^{2}}}={\frac {ab-a{\sqrt {c}}}{b^{2}-c}}$。如你所见，分母现在不包含任何根号。例如：${\frac {2}{{\sqrt {3}}-1}}\times {\frac {{\sqrt {3}}+1}{{\sqrt {3}}+1}}={\frac {2{\sqrt {3}}+2}{3-1}}={\sqrt {3}}+1$。

常见问题和错误

根号的拆分

一个常见的错误是将${\sqrt {x+y}}$拆分为${\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}$或将$\left(x+y\right)^{2}$拆分为$x^{2}+y^{2}$，通常是在将其移到等号的另一侧时。尝试几个例子很快就会让你相信这是不可能的。

• ${\sqrt {25}}$ ≠ ${\sqrt {9}}+{\sqrt {16}}$
• ${\sqrt {64}}$ ≠ ${\sqrt {32}}+{\sqrt {32}}$

等等

0 的 0 次方是多少？

简短的答案是，对于本课程，你不需要知道，可以安全地跳过本节。如果你仍然感兴趣，请继续阅读。

这个问题的出现是因为对于任何 x，x 的 0 次方等于 1，但你可能会认为对于任何 y，0 的 y 次方都等于 0，因为 0 乘以 0 乘以 0 ... 等于 0。事实证明，使用 1 的值在代数的各个部分非常有用（甚至可能是必要的），而将其设为零则毫无帮助。因此，几乎所有数学家要么说 0 的 0 次方等于 1，要么说它未定义（即，它不能赋予一个值）。可以在 http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/ 找到更专业的讨论。