A-level 数学/MEI/C1/代数

代数是数学的一个分支，它处理数量之间的关系。在一个等式中，两边相等，在一个不等式中，一边通常大于另一边。

一个等式由两个表达式通过等号 ($=$) 连接。等号左侧的所有内容都等于等号右侧的所有内容，例如 $2+3=4+1$。一些方程包含一个变量，通常用 $x$ 表示，尽管可以使用任何字母。一个包含变量的方程只有在该变量取某些值时才成立。例如 $2+x=5$ 只有在 $x=3$ 时才成立。当方程成立时变量所具有的值称为方程的解。因此 $x=3$ 是方程 $2+x=5$ 的解。

代数语言

在你开始代数运算之前，你需要熟悉几个术语。

变量

变量是一个量，其值通常未知。通常，变量被赋予符号 $x$，尽管可以使用任何字母。

常数

常数通常是一个已知量，不包含变量。稍后你会遇到未知常数，它们通常用符号 $c$ 表示。

指数

通常，索引是指写在符号上方的上标。索引通常用于表示某个值被幂乘，例如 $x^{3}$（读作x的三次方），它等同于 $x\times x\times x$。

表达式

表达式是由一组符号组成的数学语句。 $2+2$ 就是一个表达式的例子。

项

项是指表达式中任何由一个加号 $+$ 或减号 $-$ 分隔的变量、常数或变量和常数的乘积。在表达式 $3x+4xy-2y$ 中，各个项分别为 $3x$、$4xy$ 和 $2y$。

系数

系数是指项中乘以变量部分的常数部分。例如，在 $2x^{3}$ 中，$x^{3}$ 的系数是 $2$。

方程式

方程式是一个数学语句，表明两个事物相等。两个表达式之间有一个等号 ($=$)。 $2+2=4$ 是一个方程式的例子， $3+x=7$ 也是。

恒等式

恒等式是一个带有未知数的方程，对于该未知数的所有值都成立。恒等式符号 (≡) 用于代替等号。例如，$x-x=0$ 始终正确，无论$x$ 的值为多少。当您想强调这是一个恒等式，而不仅仅是一个方程时，通常会写$x-x$ ≡ $0$。

函数

函数将一个输入值关联到一个输出值。$x$ 的函数通常记为 $f(x)$。 $f(x)=x^{2}$ 是函数的一个例子。然后就可以写 $f(3)=3^{2}=9$，一旦函数被定义。 $f(x)={\sqrt {x}}$ 不是函数，因为每个输入都有两个输出值（正数和负数）。

表达式操作

有时，表达式会比实际需要更复杂，可以用更容易理解的形式表示它们。这些技能对于 A-level 课程的其余部分至关重要，尽管您很可能已经在 GCSE 中学习过它们。

合并同类项

合并同类项时，只需将所有 $x$ 项加在一起，所有 $y$ 项加在一起，以及所有 $z$ 项加在一起。对于任何其他表示变量的字母也适用。

例如，$2x+4y+8z-3x-7y-2z+4x$ 变为

$2x-3x+4x=3x$

$4y-7y=-3y$

$8z-2z=6z$

因此，通过将所有答案相加，$2x+4y+8z-3x-7y-2z+4x$ 简化为 $3x-3y+6z$。

乘法

不同变量的乘法，例如 $a\times b$ 变为 $ab$。单个变量变成 指数，所以 $x\times x$ 是 $x^{2}$。

与加减法一样，将同类项放在一起。例如

$2x^{2}z\times 3yz^{2}\times 4xy^{3}$ 变为

$2\times 3\times 4\times x^{2}\times x\times y\times y^{3}\times z\times z^{2}$

最终可以简化为

$24{x^{3}}{y^{4}}{z^{3}}$

括号展开

以下例子说明了括号展开的技巧。

$(8x+5y)(3x-6y)$

$=(8x+5y)3x-(8x+5y)6y=8x(3x-6y)+5y(3x-6y)$ 使用 FOIL

F=> 每个括号中的第一项 8x . 3x =24x^2 O=> 外项（第一个括号中的第一项乘以第二个括号中的第二项） 8x . -6y = -48xy I=> 内项（第一个括号中的第二项乘以第二个括号中的第一项） 5y . 3x =15xy L=> 每个括号中的最后一项 5y . -6y = -30 y^2

将各项放在一起（通常只有中间两项） 24x^2 -48xy +15xy -30y^2 答案 24x^2-33xy-30y^2

因式分解

有时，表达式可以被改写成其因子的乘积。将表达式除以所有项共有的因子。这本质上是括号展开的逆运算，因为大多数情况下，共同因子被放在括号外面。例如

要分解因式 $10x+15y$，你必须先找到 $10x$ 和 $15y$ 的公因数。 $5$ 很容易被发现是一个因数。现在你把整个表达式除以 $5$，得到 $2x+3y$。把 $2x+3y$ 放入括号中，然后把 $5$ 放在括号外。分解因式后的表达式现在是 $5(2x+3y)$，你可以把表达式乘开，以确保你得到原来的表达式。

另一个表达式，$x^{2}-xy^{2}+3xz$ 有一个公因数 $x$。这个表达式的分解因式形式是 $x(x-y^{2}+3z)$。

分数

在处理分数时，规则是使所有分母相等，然后将表达式写成一个分数。你需要同时乘以分子和分母相同的量，以保持分数的意义不变。

例如，对于 ${\frac {3x}{2}}+{\frac {2y}{5}}-{\frac {z}{10}}$，公分母是 $10$。

同时乘以 $5$：${\frac {15x}{10}}$

同时乘以 $2$：${\frac {4y}{10}}$

保持不变：${\frac {z}{10}}$

你现在有 ${\frac {15x}{10}}+{\frac {4y}{10}}-{\frac {z}{10}}$，它变成 ${\frac {15x+4y-z}{10}}$。

解方程

通常，为了解方程，你必须将其重新排列，使未知项位于等号的一侧。通过将$2+x=5$ 改写为$x=5-2$，$x$ 已被设置为方程的**主元**。现在通过简化方程，你可以发现解是$x=3$。

改变方程的主元

你通常会得到比上面例子更复杂的方程。要将一个项从等号的一侧移到另一侧，你必须在等号的两侧做相同的事情。例如，要将$x$ 设置为$y={\frac {4a(x^{2}+b)}{3}}$ 的主元

两边同时乘以$3$	$3y=4a(x^{2}+b)$
两边同时除以$4a$	${\frac {3y}{4a}}=x^{2}+b$
两边同时减去$b$	${\frac {3y}{4a}}-b=x^{2}$
两边同时开方	$\pm {\sqrt {{\frac {3y}{4a}}-b}}=x$

解一元二次方程

二次方程式是指变量被提升到 2 次方的方程式，与线性方程式不同，它最多有 2 个根。根是使方程式成立的变量值之一，要完全解方程式，必须找到所有根。对于二次方程式，可以对其进行因式分解，然后轻松找到使方程式成立的值。以上示例是一个比较简单的例子。通常你会得到一个更复杂的方程式，例如 $2x^{2}+5x+3=0$。如果方程式还没有 $ax^{2}+bx+c=0$ 形式，将其重新排列成这种形式。对 $2x^{2}+5x+3=0$ 进行因式分解所需的步骤如下。

将 $2$ 乘以 $3$ ($x^{2}$ 的系数乘以常数项)。	$2\times 3=6$
找到两个加起来等于 $5$ ($x$ 的系数) 且乘起来等于 $6$ (前一步的答案)。	$2\times 3=6$$2\times 3=6$，$2+3=5$
将 $5x$ 分解成 $2x+3x$ (来自前一步的结果)。	$2x^{2}+2x+3x+3=0$
简化	$2x(x+1)+3(x+1)=0$
进一步简化	$(2x+3)(x+1)=0$

所以 $(2x+3)(x+1)=0$ 是 $2x^{2}+5x+3=0$ 的因式分解形式。现在你可以利用任何数乘以 $0$ 等于 $0$ 的事实来求解该方程的根。使得其中一个括号等于 $0$ 的数字是该方程的根。在这个例子中，根是 $-1.5$ 和 $-1$.

也可以使用 二次公式 或通过 配方 来求解二次方程。

联立方程

联立方程组用于同时求解两个或多个变量。基本联立方程组包含两个线性表达式，可以通过三种不同的方法求解：消元法、代入法或作图法。

消元法

消元法的基本原理是通过对一个或多个表达式进行操作，消除其中一个变量，然后求解正确解。

举个例子

$2x+3y=10$		(1)		(将该方程编号为 (1))
$2x+6y=6$		(2)		(将该方程编号为 (2))

由此可见，将方程 (1) 乘以 2，然后从 (2) 中减去这个新方程，$y$ 变量将被消除。

(1) $\times 2\rightarrow 4x+6y=20$ (1a) (将该方程编号为 (1a))

现在从 (1a) 中减去 (2)

	$4x+6y=20$		(1a)
$-$	$2x+6y=6$		(2)
$=$	$2x+0y=14$

现在我们有 $2x=14$，我们可以求解 $x$，在本例中为 $7$.

$x=7$.

将新找到的$x$代入(1)

$2\times 7+3y=10$

$14+3y=10$

我们可以发现$y=-4/3$

所以，方程(1)和(2)的解是

$x=7$

$y=-4/3$

代入法

代入法依赖于能够重新排列表达式以隔离单个变量，形式为变量=表达式。从这个结果中，这个新的表达式可以被代入变量本身，然后计算解。

举个例子

$2x+3y=12$		(1)		(将该方程编号为 (1))
$x+y=6$		(2)		(将该方程编号为 (2))

从这个表达式中，我们可以看到(2)是最简单的表达式，因此将是更好的选择来重新排列。

取(2)，并将其重新排列为$x=6-y$。(2a)

将(2a)代入(1)我们得到

$2(6-y)+3y=12$

解这个方程，我们得到$y=0$

同样，我们可以将这个结果代入原始方程之一以求解$x$。在本例中，$x=6$。

请注意，对于其中一个方程是非线性的情况，您必须在线性方程中隔离一个变量，并将其代入非线性方程。然后你可以用上面的一种方法来解这个二次方程。

另一种形式的代入是，如果两个方程中都有类似的表达式，比如在本例中

$2x+3y=10$		(1)		(将该方程编号为 (1))
$2x+6y=6$		(2)		(将该方程编号为 (2))

这里，$2x$在两个方程中都存在，所以

$2x=10-3y$		(1)
$2x=6-6y$		(2)

并且，由于$2x=2x$，你可以做

$10-3y=6-6y$

$6y-3y=6-10$

$3y=-4$

$y=-4/3$

现在你已经得到了 $y$，找到 $x$ 与上面的步骤相同。

图形方法

通过绘制两个方程的直线，你可以通过观察直线的交点来解方程。如果交点为 (a,b)，则解为 $x=a$ 和 $y=b$。

用联立方程解题

通常，你会得到一些问题，你需要将它们写成一对联立方程。你需要识别这些问题，并在求解之前将它们正确地写出来。大多数问题都类似于这些例子，只是有一些差异。

示例 1

在一家唱片店，2 张专辑和 1 张单曲的价格为 10 英镑。1 张专辑和 2 张单曲的价格为 8 英镑。求出一张专辑和一张单曲的价格。

假设一张专辑为 $a$，一张单曲为 $s$，则两个方程为

$2a+s=10$

$a+2s=8$

你现在可以解方程，找到每件商品的价格。

示例 2

汤姆有 10 英镑的预算用于购买派对食品。他可以买 5 包薯片和 8 瓶饮料，或者他可以买 10 包薯片和 6 瓶饮料。

假设一包薯片为 $c$，一瓶饮料为 $d$，则两个方程为

$5c+8d=10$

$10c+6d=10$

现在你可以解方程，找到每件商品的价格。

示例 3

在一家糖果店，一颗跳跳糖比一颗软糖贵 5 便士。8 颗软糖和 9 颗跳跳糖的价格为 1.64 英镑。

假设一颗跳跳糖为 $g$，一颗软糖为 $b$，则两个方程为

$b+5=g$

$8b+9g=164$

现在可以使用上述方法之一来解决该问题。

二次方程

二次函数是多项式，其次数为 2，形式为$f(x)=ax^{2}+bx+c$。

图形

二次函数图形是指可以写成$y=ax^{2}+bx+c$形式的图形。$y=2x^{2}+8x+2$的图形如右图所示，您可以看到它具有所有二次函数都具有的相同特征的“桶”形，称为抛物线。对称轴和图形的顶点（最高点或最低点）可以通过逐点绘制曲线来找到，而根可以通过因式分解二次函数来找到。

但是，这些属性更容易从其配方形式推断出来

$y=2(x+2)^{2}-6$.

配方

配方是将二次函数从$ax^{2}+bx+c$形式转换为等效形式$a(x+d)^{2}+e$的过程，其中$a$、$d$和$e$是常数。例如，二次函数$2x^{2}+8x+2$将变为$2(x+2)^{2}-6$。

将二次函数转换为配方形式，可以轻松找到一些东西，例如二次函数的根和二次函数的顶点，甚至不需要绘制草图。

以下是配方的步骤。别担心，它看起来比实际操作起来更难。

步骤	操作	示例	一般情况
1.	确保二次函数处于常规形式：$ax^{2}+bx+c$。	$2x^{2}+8x+2$	$ax^{2}+bx+c$
2.	除非 $a=1$，"提出系数 a"，即用 $a$ 除整个二次方程并将其放在括号外。 注意：如果二次方程是方程的一部分，你可以用 $a$ 除方程的两边，例如 $2x^{2}+8x+2=0$ 只需变成 $x^{2}+4x+1=0$。	$2\left(x^{2}+4x+1\right)$	$a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)$
3.	用 $\left(x+{\frac {k}{2}}\right)^{2}$ 替换 $x^{2}+kx$ 部分。 重要的是要意识到 $\left(x+{\frac {k}{2}}\right)^{2}=x^{2}+kx+{\frac {k^{2}}{4}}$ 它很接近之前的内容，但并不相等。这将在下一步中进行修正。为了避免写下实际上不相等的东西，最好在你习惯了这种方法之后，在你计算过程中一次性完成这两个步骤。	$2\left((x+2)^{2}+1\right)$	$a\left(\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}\right)$
4.	通过插入一个合适的数字的减法来修正上一步中引入的错误。这个合适的数字可以通过两种方式找到 通过扩展上一步中插入的项并将它与原始项进行比较；或者 通过记住这个错误总是 ${\frac {k^{2}}{4}}$。 这一步被称为"配方法"，这也是该方法名称的由来。	$(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4$ 比 $x^{2}+4x+1$ 大 3，所以插入 $-3$：$2\left((x+2)^{2}-3\right)$；或者 ${\frac {4^{2}}{4}}=4$ 所以误差为 4: $2\left((x+2)^{2}-4+1\right)$$=2\left((x+2)^{2}-3\right)$	$a\left(\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)$
5.	如果步骤 2 是必要的，那么通过展开外部括号来简化结果。	$2(x+2)^{2}-6$	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$
6.	检查你所得到的结果是否能展开回你开始时的表达式。 注意：你可能已经足够自信可以跳过此步骤。	$2\left(x^{2}+4x+4\right)-6$ $=2x^{2}+8x+8-6$ $=2x^{2}+8x+2$	$a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$ $=ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$ $=ax^{2}+bx+c$

所以，$y=2x^{2}+8x+2$ 的完全平方形式是 $2(x+2)^{2}-6$。 $-6$ 告诉我们曲线的最低点在 $y=-6$，而 $x+2$ 告诉我们对称轴在 $x+2=0$ 或 $x=-2$。因此，顶点在 $(-2,-6)$，如果你看图表，你会发现情况就是这样。

从图表中可以看出，$y=2x^{2}+8x+2$ 在 $-4$ 和 $-3$ 之间有一个根，在 $-1$ 和 $0$ 之间还有另一个根，它与 $y$ 轴相交。但是，你如何找到确切的值？使用完全平方形式，可以很容易地重新排列它来找到 $x=0$

步骤	操作	示例	一般情况
1.	要解形式为 $ax^{2}+bx+c=0$ 的方程，首先使用上述方法完成平方。	$2(x+2)^{2}-6=0$	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=0$
2.	隔离 $(x+k)^{2}$ 项。	$2(x+2)^{2}=6$ $(x+2)^{2}=3$	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a}}-c$ $\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}$
3.	对等式两边开平方，包括一个$\pm$，因为括号内的值可能为负或正。	$x+2=\pm {\sqrt {3}}$	$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}$ 然后进行一些简化 $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}}}$ $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$ $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\sqrt {4a^{2}}}}$ $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$
4.	将$x$孤立出来。	$x=\pm {\sqrt {3}}-2$ $x={\sqrt {3}}-2$ 或 $-{\sqrt {3}}-2$ $x\approx -0.268$ 或 $-3.73$	$x=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}-{\frac {b}{2a}}$ $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

在这个特定示例中，$x$ 的值在预期范围内，如图形所示。

一元二次方程公式

一元二次方程公式是由配方法的一般情况推导出来的

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

它可以用来通过直接代入数字来求解一元二次方程的根。例如，对于 $y=2x^{2}+8x+2$

$x={\frac {-8\pm {\sqrt {64-16}}}{4}}=-2\pm {\sqrt {3}}$

所以 $x=-2+{\sqrt {3}}$ 和 $x=-2-{\sqrt {3}}$.

判别式

注意，一元二次方程包含 $b^{2}-4ac$ 在平方根符号内。这个部分被称为 **判别式**，可以独立考虑以确定方程的根数。

• 如果 $b^{2}-4ac<0$，那么你将无法找到平方根，因为你不知道如何对负数开平方。你到目前为止遇到的数字类型被称为实数，所以据说这个一元二次方程 **没有实根**。
• 如果 $b^{2}-4ac=0$，那么改变平方根前的 $\pm$ 符号不会有任何区别，因为它无论如何都是零。因此，你会得到两次相同的根，所以据说这个一元二次方程 **有一个重复根**。
• 如果 $b^{2}-4ac>0$，那么 $\pm$ 将意味着你得到两个答案，所以你可以说这个一元二次方程 **有两个不同的**（即不同的）**根**。

不等式

不等式是用来比较点、线或曲线的相对大小的表达式。与 等式 不同，等式的两边总是相等的，不等式的两边可以一边大于或等于另一边。

不等式的四个符号

主要有四个基本符号

• $<$ 小于，
• $>$ 大于，
• $\leq$ 小于或等于，以及
• $\geq$ 大于或等于。

例如，$x<4$ 表示 $x$ 小于 4，$x>4$ 表示 $x$ 大于 4，$x\leq 4$ 表示 $x$ 等于 4 或任何小于 4 的数字，而 $x\geq 4$ 表示 $x$ 等于 4 或任何大于 4 的数字。

请注意 $x>y$ 和 $y<x$ 本质上是同一个语句。

如果你搞混了哪个符号代表小于和大于，记住不等号总是指向较小的数字会有所帮助。

组合不等式

在某些情况下，两个不等式可以合并为一个。例如，据说门的高度介于 $x\geq 1.95$ 和 $x<2.05$ 之间。通常写成 $1.95\leq x<2.05$。请注意，不等号的方向相同。 $2.05\geq x>1.95$ 是完全可以接受的，但组合方向相反的不等式是不正确的，它们必须保留为两个单独的不等式。

求解线性不等式

这些符号可以代替等号使用，现在方程变成不等式（因为两边并不总是相等）。

例如，不是 $2x+4=6$，我们可以有 $2x+4>6$。

在这个例子中，$x$ 可以是任何使这个不等式大于 6 的数字。在这种情况下，$x>1$，但 $x\neq 1$。如果不等式是 $2x+4\geq 6$，那么 $x$ 可以取值为 1。

不等式可以像方程式一样进行操作和求解，但当你乘以或除以负数时，你需要采取额外的步骤。

乘以或除以负数

当你乘以或除以负数时，你必须改变不等号的方向。

例如，看一看不等式 $10>5$。这是正确的，因为 10 显然大于 5。现在，如果我们要将两边都乘以 -1，我们会得到

$-10>-5$.

这是错误的，因为 -10 实际上小于 -5。通过反转不等号，我们现在得到了正确的不等式

$-10<-5$.

求解二次不等式

要解二次不等式，你可以因式分解它，就像解二次方程式一样。

或者，你可以像绘制二次方程式一样绘制它的图形，然后阴影覆盖不等式的那一边。也许在这里添加一个图像，来演示这个方法？

指数

你可能已经熟悉指数，例如 $x^{2}$ 只是 $x\times x$ 的简写，而 $x^{4}$ 同样是 $x\times x\times x\times x$。在 $x^{5}$ 中，$x$ 称为底数，$5$ 称为幂或指数。 $x^{4}$ 读作 "x 的四次方" 或完整地说 "x 的四次幂"。一些幂非常有用，因此有特殊的名称：$x^{2}$ 称为 "x 的平方"，$x^{3}$ 称为 "x 的立方"，而 $x^{-1}$（如果你还没有遇到过，你很快就会了解）称为 "x 的倒数"。

注意："指数定律"有时也称为 "指数法则" 或 "幂规则" [1]。更一般地说，数学中的 指数 是符号的 上标 或 下标。

指数运算

使用这种表示法，你可能会注意到一些模式。

乘法

首先，$x^{3}\times x^{2}$ 是 $\left(x\times x\times x\right)\times \left(x\times x\right)=x\times x\times x\times x\times x$，也就是 $x^{5}$。当然 $3+2=5$，所以你将幂加在一起。为了澄清，这里有一个用数字的例子：$2^{3}\times 2^{5}=8\times 32=256=2^{8}$（和之前一样，$3+5=8$）

除法

其次，${\frac {x^{4}}{x^{2}}}$ 等于 ${\frac {x\times x\times x\times x}{x\times x}}=x\times x=x^{2}$ （当 $x\neq 0$ 时）。这次，$4-2=2$，因此你减去了幂次。

这里有一个数字的例子：${\frac {10^{5}}{10^{2}}}={\frac {100000}{100}}=1000=10^{3}$，同样地，$5-2=3$。

底数的双重幂次

第三，$\left(x^{2}\right)^{3}$ 等于 $\left(x\times x\right)\times \left(x\times x\right)\times \left(x\times x\right)=x\times x\times x\times x\times x\times x$，即 $x^{6}$。你可以看到 $2\times 3=6$，因此幂次被乘了。这里还有一个数字的例子：$\left(3^{2}\right)^{4}=9^{4}=6561=3^{8}$，而 $2\times 4=8$。

多个底数

最后， $\left(xy\right)^{3}=xy\times xy\times xy=x\times y\times x\times y\times x\times y=x\times x\times x\times y\times y\times y$，与 $x^{3}y^{3}$ 相同。这里有一个用数字的例子：$\left(2\times 5\right)^{2}=\left(10\right)^{2}=100=4\times 25=2^{2}\times 5^{2}$。除法也有类似的情况：$\left({\frac {x}{y}}\right)^{2}={\frac {x}{y}}\times {\frac {x}{y}}={\frac {x\times x}{y\times y}}={\frac {x^{2}}{y^{2}}}$

指数定律

上面提到的规则被称为指数定律，可以写成

1. $x^{a}x^{b}=x^{a+b}$
2. ${\frac {x^{a}}{x^{b}}}=x^{a-b}$
3. $\left(x^{a}\right)^{b}=x^{ab}$
4. $\left(xy\right)^{n}=x^{n}y^{n}$
5. $\left({\frac {x}{y}}\right)^{n}={\frac {x^{n}}{y^{n}}}$

特殊指数

你可能已经意识到 ${x^{1}}=x$。通过观察 $x^{3}=x\times x\times x$、$x^{2}=x\times x$ 的规律，或者通过计算 ${\frac {x^{3}}{x^{2}}}$，它显然是 $x$，但根据定律 2 它也等于 $x^{3-2}=x^{1}$。

到目前为止，我们所看到的例子都是幂为正整数的情况，但是通过思考这些定律，我们可以研究其他情况。

零次幂

对于任何 $x$（严格来说，对于任何 $x\neq 0$，见下面的 注释），$x^{0}=1$ 这一点并不那么显而易见，但这可以用类似的方式证明，例如 ${\frac {x^{4}}{x^{4}}}$ 等于 1，但也必须等于 $x^{4-4}=x^{0}$，根据定律 2。

负次幂

下一个合乎逻辑的步骤是问 $x^{-1}$ 是什么。根据定律 2 的逆向应用，$x^{-1}=x^{0-1}={\frac {x^{0}}{x^{1}}}={\frac {1}{x}}$。类似的论证可以用于任何其他负整数，例如 $x^{-3}=x^{0-3}={\frac {x^{0}}{x^{3}}}={\frac {1}{x^{3}}}$。

分数次幂

如果幂不是整数怎么办？假设你想找到$x^{\frac {1}{2}}$，你可以说${x^{\frac {1}{2}}}\times {x^{\frac {1}{2}}}=x^{1}$（根据定律 3，幂的加法），这意味着$x^{\frac {1}{2}}$必须是$\pm {\sqrt {x}}$。然而，习惯上只使用正根，所以$x^{\frac {1}{2}}$被定义为${\sqrt {x}}$。你可以对其他类似分数使用类似的论点，例如$\left(x^{\frac {1}{3}}\right)^{3}=x$，所以$x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}$。

总结

• $x^{1}=x$
• $x^{0}=1$
• $x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}$
• $x^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x}}$

有时你可能需要使用这些定律来理解某些事物的含义，例如$x^{\frac {2}{3}}=\left(x^{2}\right)^{\frac {1}{3}}$（使用定律 3），以及$\left(x^{2}\right)^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x^{2}}}$（使用上面的定义）。记住一般规则很有用，即$x^{\frac {a}{b}}={\sqrt[{b}]{x^{a}}}$。

根式

在数学中，根式是指包含根号的表达式，其解为无理数，无法精确表示 - 例如，√3 = 1.732050808... 。

有时在平方根中运算比使用近似十进制值更有用。平方根可以像代数表达式一样进行运算，有时可以消除平方根（称为有理化表达式），如果尝试使用近似值，这可能是不可能的。当被要求给出精确值时，近似的十进制答案是不行的，你需要对根式进行运算，以便在简化的根式形式下给出最终答案。

根式的简化

由于根式可以像代数表达式一样进行运算，你可以轻松地展开各项并添加相同的项。然而，还有一些规则在简化根式时会很有用。

根式的基本规则

因为 ${\sqrt {x}}\times {\sqrt {x}}=x$，所以我们可以将它改写成 ${\sqrt {x}}={\frac {x}{\sqrt {x}}}$ 和 ${\frac {1}{\sqrt {x}}}={\frac {\sqrt {x}}{x}}$。

根式作为指数

因为 ${\sqrt[{n}]{x}}=x^{\frac {1}{n}}$，指数定律也适用于任何 n 次根。最常使用的情况是定律 4 和 5，对于平方根

• $\left(xy\right)^{n}=x^{n}y^{n}$ 变为 ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}\times {\sqrt {y}}$
• $\left({\frac {x}{y}}\right)^{n}={\frac {x^{n}}{y^{n}}}$ 变为 ${\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$

第一个点经常用来简化平方根，例如 ${\sqrt {200}}={\sqrt {100\times 2}}={\sqrt {100}}\times {\sqrt {2}}=10{\sqrt {2}}$。在考试中，您需要将所有平方根写成根号内数字最小的形式（即根号内的数字不应该包含任何平方因子）。

有理化分母

另一种简化包含平方根表达式的技术是有理化分母。这意味着要消除分数分母中的平方根。对于像 ${\frac {5}{\sqrt {3}}}$ 这样的分数，分子和分母都可以乘以 ${\sqrt {3}}$，得到 ${\frac {5{\sqrt {3}}}{3}}$。

如果分数的形式是 ${\frac {a}{b+{\sqrt {c}}}}$，则上一段中使用的策略需要稍作修改才能奏效。这次应该用 ${b-{\sqrt {c}}}$ 乘以分子和分母。如果您熟悉标准的平方差展开式，您应该已经知道接下来会发生什么

${\frac {a}{b+{\sqrt {c}}}}\times {\frac {b-{\sqrt {c}}}{b-{\sqrt {c}}}}={\frac {ab-a{\sqrt {c}}}{b^{2}+b{\sqrt {c}}-b{\sqrt {c}}-{\sqrt {c}}^{2}}}={\frac {ab-a{\sqrt {c}}}{b^{2}-c}}$. 如你所见，分母现在不再包含任何平方根。例如： ${\frac {2}{{\sqrt {3}}-1}}\times {\frac {{\sqrt {3}}+1}{{\sqrt {3}}+1}}={\frac {2{\sqrt {3}}+2}{3-1}}={\sqrt {3}}+1$

常见问题和错误

拆分根式

一个常见的错误是将 ${\sqrt {x+y}}$ 拆分成 ${\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}$ 或 $\left(x+y\right)^{2}$ 拆分成 $x^{2}+y^{2}$，通常在将其移到等号的另一边时这样做。尝试几个例子，你很快就会发现这是不可能的

• ${\sqrt {25}}$ ≠ ${\sqrt {9}}+{\sqrt {16}}$
• ${\sqrt {64}}$ ≠ ${\sqrt {32}}+{\sqrt {32}}$

等等

$0^{0}$ 的值是多少？

简短的答案是，对于本课程来说，你不需要知道，你可以安全地跳过这一部分。如果你仍然感兴趣，那就继续读下去吧

之所以产生这个问题是因为对于任何 $x$，都有 $x^{0}=1$，然而你可能会预期对于任何 $y$，都有 $0^{y}=0$，因为 $0\times 0\times 0\dots =0$。事实证明，在代数的各个部分使用 1 的值非常有用（甚至可能是必要的），而将其设为零则毫无帮助。因此，几乎所有数学家都会说 $0^{0}$ 等于 1 或它没有定义（即它不能被赋予一个值）。更详细的讨论可以在 http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/ 找到。