A-level 数学/OCR/C1/指数和根式

本章标题中的“指数”指的是数字的幂。 因此，$x^{2}$ 是一个指数为 2 的数字。这通常不会被说成“x 的 2 次方”。 同样，根式也不是一个常用的标题。 有时你会被要求以根式形式给出答案；这意味着你应该给出答案，以常数、三角函数和平方根的形式，而不是计算出不精确的小数近似值。

指数

正如你在 GCSE 中所学到的，$x^{3}$ 是 $x\times x\times x$ 的简写。 同样，任何数字的 n 次方都是该数字自乘 n - 1 次。 为了描述更详细的信息，在表达式 $x^{3}$ 中，$x$ 被称为底数，而 3 被称为指数。

通过始终将表达式简化为其基本部分，可以得出关于在代数中如何处理幂的结论。

乘法

当你乘以指数时，你会将指数加在一起。

正如你所看到的，$x^{3}\times x^{2}=x^{3+2}=x^{5}$ 。（定律 1）

除法

正如预期的那样，除法是乘法的反操作。 当你除以指数时，你会从彼此中减去指数。

${\frac {x^{4}}{x^{2}}}={\frac {x\times x\times x\times x}{x\times x}}={\frac {\not \!x\times \not \!x\times x\times x}{\not \!x\times \not \!x}}=x\times x=x^{2}$

再次，这表明 ${\frac {x^{4}}{x^{2}}}=x^{4-2}=x^{2}$

负指数

在完成上述除法后，我们开始思考，当分母上的指数比分子上的指数更高时会发生什么。

使用可信的方法，将每个 x 分别表示出来，我们得到

${\frac {x^{2}}{x^{3}}}={\frac {\not \!x\times \not \!x}{\not \!x\times \not \!x\times x}}={\frac {1}{x}}$

使用刚刚演示的减去指数的方法

${\frac {x^{2}}{x^{3}}}=x^{2-3}=x^{-1}$

这意味着 x 的负数次方等于 1 除以 x 的该次方。 具体来说，${\frac {1}{x}}\;\left(x^{-1}\right)$ 被称为 x 的 **倒数**，更常见的是 x 的 **逆**。

底数乘以两个指数

当底数乘以两个指数时，您需要将指数相乘。

$\left(x^{2}\right)^{3}=\left(x\times x\right)\times \left(x\times x\right)\times \left(x\times x\right)=x\times x\times x\times x\times x\times x=x^{6}$.

正如您所见，$\left(x^{2}\right)^{3}=x^{2\times 3}=x^{6}$.

多个底数乘以相同的指数

当两个底数乘以相同的指数时，您可以将两个底数分别乘以该指数，然后将它们相乘。

例如： $\left(xy\right)^{3}=xy\times xy\times xy=x\times y\times x\times y\times x\times y=x\times x\times x\times y\times y\times y$ 等于 $x^{3}y^{3}\,$。 以下是用数字举例说明：$\left(2\times 5\right)^{2}=\left(10\right)^{2}=100=4\times 25=2^{2}\times 5^{2}$。 除法也有类似的情况：$\left({\frac {x}{y}}\right)^{2}={\frac {x}{y}}\times {\frac {x}{y}}={\frac {x\times x}{y\times y}}={\frac {x^{2}}{y^{2}}}$

分数指数

如果幂不是整数怎么办？假设你想找到 $x^{\frac {1}{2}}$，你可以说 ${x^{\frac {1}{2}}}\times {x^{\frac {1}{2}}}=x^{1}$（根据定律 3，幂的加法），这意味着 $x^{\frac {1}{2}}$ 必须是 $\pm {\sqrt {x}}$。但是，通常只使用正根，因此 $x^{\frac {1}{2}}$ 被定义为 ${\sqrt {x}}$。你可以对其他此类分数使用类似的论证，例如 $\left(x^{\frac {1}{3}}\right)^{3}=x$ 所以 $x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}$。在分子不为 1 的情况下，我们需要使用其他指数定律来证明平方定义，例如 $x^{\frac {2}{3}}=\left(x^{2}\right)^{\frac {1}{3}}$（使用定律 3），并且 $\left(x^{2}\right)^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x^{2}}}$（使用上面的定义）。记住一般规则很有用，即 $x^{\frac {a}{b}}={\sqrt[{b}]{x^{a}}}$。

0 次方和 1 次方

你可能已经意识到 ${x^{1}}=x\,$。你可以用 ${\frac {x^{n}}{x^{n-1}}}$ 来证明这一点，这很明显是 $x$，根据定律 2，即 $x^{n-\left(n-1\right)}=x^{1}=x$。
同样地，利用 $x^{0}\,$ 我们也可以证明它等于 1，${\frac {x^{n}}{x^{n}}}=1$，但根据定律 2，它也等于 $x^{n-n}=x^{0}$

指数定律

上面提到的规则被称为指数定律，可以写成

1. $x^{a}x^{b}=x^{a+b}\,$

2. ${\frac {x^{a}}{x^{b}}}=x^{a-b}$

3. $x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}$

4. $\left(x^{a}\right)^{b}=x^{ab}$

5. $\left(xy\right)^{n}=x^{n}y^{n}$

6. $\left({\frac {x}{y}}\right)^{n}={\frac {x^{n}}{y^{n}}}$

7. $x^{\frac {a}{b}}={\sqrt[{b}]{x^{a}}}$

8. $x^{0}=1\,$

9. $x^{1}=x\,$

10. $(x^{m})^{\frac {1}{m}}=x\,$

根式

在数学中，根式是指包含根号的表达式，其值为无理数，无法精确表示，例如 ${\sqrt {3}}=1.732050808...$。

有时使用根式比使用近似的小数值更有用。根式可以像代数表达式一样进行运算，有时可以消除根号（称为有理化表达式），如果尝试使用近似值，这可能是不可能的。当要求给出精确值时，近似的小数答案是不行的，您必须操作根式才能给出最终答案，以简化的根式形式表示。

根式的化简

因为根式可以像代数表达式一样进行运算，所以您可以很容易地将项乘开并添加相同的项。但是，还有一些规则在简化根式时会有用。

根式的基本规则

因为 ${\sqrt {x}}\times {\sqrt {x}}=x$，所以它可以被重新排列，得到 ${\sqrt {x}}={\frac {x}{\sqrt {x}}}$ 和 ${\frac {1}{\sqrt {x}}}={\frac {\sqrt {x}}{x}}$。

根式作为指数

因为 ${\sqrt[{n}]{x}}=x^{\frac {1}{n}}$，指数定律也适用于任何 n 次方根。最常用的例子是带有根式的定律 5 和 6

• $\left(xy\right)^{n}=x^{n}y^{n}$ 变为 ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}\times {\sqrt {y}}$
• $\left({\frac {x}{y}}\right)^{n}={\frac {x^{n}}{y^{n}}}$ 变为 ${\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$

第一个要点通常用来简化根式，例如 ${\sqrt {200}}={\sqrt {100\times 2}}={\sqrt {100}}\times {\sqrt {2}}=10{\sqrt {2}}$。在考试中，您需要将所有根式写成根号内数字最小的形式（即根号内的数字不应该有任何平方因子）。

注意： 此规则仅适用于非负数，尝试包含负数可能会得到荒谬的结果；$-1={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1$

分母有理化

简化涉及根式的表达式的另一种技巧是有理化分母。这意味着从分数中去除根式。对于像${\frac {5}{\sqrt {3}}}$这样的分数，分子和分母都可以乘以${\sqrt {3}}$得到${\frac {5{\sqrt {3}}}{3}}$。

如果分数的形式是${\frac {a}{b+{\sqrt {c}}}}$，则上一段中使用的策略在稍作修改后仍然有效。这次你应该将分子和分母乘以${b-{\sqrt {c}}}$。如果你熟悉两个平方差的标准展开式，你应该已经知道接下来会发生什么。

${\frac {a}{b+{\sqrt {c}}}}\times {\frac {b-{\sqrt {c}}}{b-{\sqrt {c}}}}={\frac {ab-a{\sqrt {c}}}{b^{2}+b{\sqrt {c}}-b{\sqrt {c}}-{\sqrt {c}}^{2}}}={\frac {ab-a{\sqrt {c}}}{b^{2}-c}}$.

如你所见，分母现在不包含任何根式。例如：${\frac {2}{{\sqrt {3}}-1}}\times {\frac {{\sqrt {3}}+1}{{\sqrt {3}}+1}}={\frac {2\left({\sqrt {3}}+1\right)}{3-1}}={\sqrt {3}}+1$

常见问题和错误

根式的拆分

一个常见的错误是将${\sqrt {x+y}}$拆分成${\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}$或将$\left(x+y\right)^{2}$拆分成$x^{2}+y^{2}$，通常是在将其移动到等式另一侧时。尝试几个例子会很快让你相信这是不可能的。

• ${\sqrt {64}}\ \neq {\sqrt {32}}+{\sqrt {32}}$
• ${\sqrt {25}}\ \neq {\sqrt {12}}+{\sqrt {13}}$

等等

$0^{0}$的值是多少？

简短的答案是，在本课程中你不需要知道，可以安全地跳过这一部分。如果你仍然感兴趣，请继续阅读。

这个问题的出现是因为对于任何$x$，$x^{0}=1$，然而你可能会期望对于任何$y$，$0^{y}=0$，因为$0\times 0\times 0\dots =0$。事实证明，使用 1 的值在代数的各个部分非常有用（甚至可能是必要的），而将其设置为 0 则毫无帮助。因此，几乎所有数学家都会说 $0^{0}$ 等于 1，或者说它是未定义的（也就是说，它无法被赋予值）。可以在http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/找到更技术性的讨论。

这是C1（核心数学 1）模块的一部分，属于A 级数学文本。