A-level 数学/OCR/M2/抛射运动

抛射体是指在重力作用下运动的物体，也可能在水平方向运动。在 M2 中，我们只考虑在同一平面上运动的抛射体。

抛射体在发射时可以看作一个向量，可以表示为速度和角度，也可以表示为 x 和 y 平面上的初始速度，如这里所示.

由于物体只在一个平面上运动，如果我们假设没有空气阻力（这是 M2 中的标准假设），那么抛射体的水平运动将保持不变，而垂直运动将只受物体质量（重力）的影响。这导致了下面的两个方程式。

$\ x_{v}=ucos(\theta )\!$
$\ y_{v}=usin(\theta )-gt\!$

以下是抛射体位移的方程式。可以通过从 M1 中的运动方程推导出这些方程，也可以对速度方程关于 t 进行积分，如下所示：$\ x_{v}={\frac {d(x_{s})}{dt)}}\equiv \int x_{v}dt=x_{s}+c\!$

$\ x_{s}=ucos(\theta )t\!$
$\ y_{s}=usin(\theta )t-{\tfrac {1}{2}}gt^{2}\!$

使用这四个方程，并应用一些对称性，我们可以解决许多新问题。

• 当 $\ y_{s}=0\!$ 时，抛射体刚被发射，或者与发射点（或平坦地面，着陆点）处于同一直线上。要计算射程和飞行时间，我们使用此事实并重新排列

$\ y_{s}=usin(\theta )t-{\tfrac {1}{2}}gt^{2}\!$

$\ 0=t(usin(\theta )-{\tfrac {1}{2}}gt)\!$

$\ t=0\ and\ t={\frac {2usin(\theta )}{g}}\!$

此时 x_s 就是射程，

$\ x_{s}=ucos(\theta )\ *\ {\frac {2usin(\theta )}{g}}\!$

C3 恒等式

$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\,$

$\ x_{\triangle }={\frac {u^{2}sin(2\theta )}{g}}\!$

• 当 $\ y_{v}=0,y_{s}=maximum\!$ 时，由于我们的垂直速度被物体重量向下加速，使用 M1 知识（h 为最大高度）

$\ v^{2}=u^{2}+2as\!$

$\ 0^{2}=(usin(\theta ))^{2}+2(-g)h\!$

$\ 0=u^{2}sin^{2}(\theta )-2gh\!$

$\ 2gh=u^{2}sin^{2}(\theta )\!$

$\ h_{\triangle }={\frac {u^{2}sin^{2}(\theta )}{2g}}\!$