A-level 数学/OCR/C3/更多三角函数和恒等式

反三角函数

您可以使用反三角函数找到与某个值对应的角度，通常列为 $\cos ^{-1},\sin ^{-1},\tan ^{-1}$ 在您的计算器上。反三角函数的范围有限，因为三角函数的输出范围有限。反正弦函数的范围为 -π/2 弧度 = y = π/2 弧度，反余弦函数的范围为 0 弧度 = y = π 弧度，反正切函数的范围为 -π/2 弧度 < y < π/2 弧度。以下是反三角函数的图形。注意，反正切函数在 y = -π/2 弧度和 y = π/2 弧度处有渐近线。

函数	反函数	写成	等同于	图形
余弦	$\arccos \theta \,$	$\cos ^{-1}\left(\theta \right)\,$	$x=\cos \ y\,$
正弦	$\arcsin \theta \,$	$\sin ^{-1}\left(\theta \right)\,$	$x=\sin \ y\,$
正切	$\arctan \theta \,$	$\tan ^{-1}\left(\theta \right)\,$	$x=\tan \ y\,$

示例

什么余弦值会产生 0.9396 的输出？

反余弦(0.9396) = 0.3490 弧度。

什么正弦值对应于 0.9510 的输出，并且介于 π 和 π/2 之间？

反正弦(0.9510) = 1.2566

π 弧度 - 1.2566 弧度 = 1.8850 弧度

倒数三角函数

函数的倒数为 1/函数，因此当您将倒数乘以函数时，您的结果为 1。由于分母中永远不能为零，因此当函数为零时，倒数函数将接近渐近线。这些是下面的蓝色线。另一个需要记住的关系是，原始函数的值越小，倒数函数的值就越大。

函数	写成	等同于	反	图形
正割	$\sec \theta \,$	${\frac {1}{\cos \left(\theta \right)}}$	$\arccos \left({\frac {1}{\theta }}\right)\,$
余割	$\operatorname {cosec} \theta \,$	${\frac {1}{\sin \left(\theta \right)}}$	$\arcsin \left({\frac {1}{\theta }}\right)\,$
余切	$\cot \theta \,$	${\frac {1}{\tan \left(\theta \right)}}={\frac {\cos \left(\theta \right)}{\sin \left(\theta \right)}}$	$\arctan \left({\frac {1}{\theta }}\right)\,$

三角恒等式

为了解决三角学问题，我们可以使用一些有用的恒等式。这些有用的恒等式可以通过不同的计算从一些简单的恒等式推导出来。以下是C3大纲中要求的恒等式。

勾股恒等式

在核心三中，引入了两个额外的勾股恒等式，用于三个倒数函数。这使我们能够解决涉及正割、余割或余切函数的问题。如果我们将核心 2 中的勾股恒等式分别除以 $\sin ^{2}$ 或 $\cos ^{2}$，就可以得到这两个恒等式。

$\sec ^{2}(x)=1+\tan ^{2}(x)\;$

$\operatorname {cosec} ^{2}(x)=1+\cot ^{2}(x)\;$

正割恒等式示例

以弧度求解 x：$2\tan ^{2}\left(x\right)+2\sec ^{2}\left(x\right)-\sec \left(x\right)=12$

使用勾股恒等式替换 $\tan ^{2}$。

$2\left(\sec ^{2}\left(x\right)-1\right)+2\sec ^{2}\left(x\right)-\sec \left(x\right)=12$

展开并把所有变量移到一边

$4\sec ^{2}\left(x\right)-\sec \left(x\right)-14=0$

分解因式

$\left(4\sec \left(x\right)+7\right)\left(\sec \left(x\right)-2\right)=0$

解出 sec(x).

$\sec \left(x\right)={\frac {-7}{4}}\ or\ 2$

解出 x

$\arccos {\frac {1}{2}}={\frac {\pi }{3}}rad$

$\arccos {\frac {-4}{7}}=2.179rad$

余割恒等式的示例

解出 x 的余切值 $\operatorname {cosec} ^{2}\left(x\right)+5\cot \left(x\right)+5=0$

用恒等式替换余割

$\left(\cot ^{2}\left(x\right)+1\right)+5\cot \left(x\right)+5=0$

展开

$\cot ^{2}\left(x\right)+5\cot \left(x\right)+6=0$

分解因式

$\left(\cot \left(x\right)+3\right)\left(\cot \left(x\right)+2\right)=0$

解出 cot(x)

$\cot \left(x\right)=-3\ or\ -2$

复合角的加减

复合角公式在各种情况下非常有用，它们可以推导出 15° 和 75° 角的精确值，也可以用于在其中一个角未知的情况下求出复合角的值。这些公式在 A-level 数学中后期非常重要。你需要知道的公式是

$\sin(A\pm B)=\sin(A)\cos(B)\pm \cos(A)\sin(B)\,$

$\cos(A\pm B)=\cos(A)\cos(B)\mp \sin(A)\sin(B)\,$

$\tan(A\pm B)={\frac {\tan(A)\pm \tan(B)}{1\mp \tan(A)\tan(B)}}$

注意：符号 $\mp$ 表示如果加角度（A+B），则在恒等式中减，反之亦然。它出现在余弦恒等式和正切恒等式的分母中。

示例一：cos(15°) 的值

求 cos(15°) 的精确值。

我们可以将 cos(15°) 分解为一个复合角。

cos(15°) = cos(45°-30°)

现在使用恒等式

$\cos(45^{\circ }-30^{\circ })=\cos(45^{\circ })\cos(30^{\circ })+\sin(45^{\circ })\sin(30^{\circ })$

由于我们在核心 2 中学习过这些值，因此我们得到

$\cos \left(15\right)={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {1}{2}}$

$\cos \left(15\right)={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$

示例二：sin(A+B) 的值

当 $\sin \left(A\right)={\frac {1}{2}}$ 且 $\cos \left(B\right)={\frac {3}{8}}$ 时，求 sin(A+B) 的值。

想象你有两个三角形，并使用毕达哥拉斯公式找到剩余的边。

$1^{2}+x^{2}=2^{2}\,$ $x={\sqrt {3}}$

$3^{2}+x^{2}=8^{2}\,$ $x={\sqrt {55}}$

我们现在可以写出另外两个值。

$\cos \left(A\right)={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

$\sin \left(B\right)={\frac {\sqrt {55}}{8}}$

现在我们可以使用恒等式来解决

$\sin \left(A+B\right)={\frac {1}{2}}\times {\frac {3}{8}}+{\frac {\sqrt {55}}{8}}\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}$

$\sin \left(A+B\right)={\frac {3+{\sqrt {165}}}{16}}$

倍角公式

当 b = a 时，从复合角公式得到倍角公式。余弦的倍角公式是一个很好的提醒，当你有 cos(a+b) 时，你需要在恒等式中减去，否则你将得到 cos(2a) = 1。另外，你需要知道三个恒等式。

$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\,$

$\cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)\,$

$\tan(2x)={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}$

示例

当 sin(x) = .92 时，cos(2x) 的值是多少？求出对应于 2x 的角度，用弧度表示你的答案。

使用余弦恒等式，我们得到

$\cos(2x)=1-2\sin ^{2}(x)=1-2\times .92^{2}=1-1.6928=-.6928\,$

使用反余弦，我们得到

$\arccos(-.6928)\approx 2.33616rad$

三角函数的线性组合

线性组合在分析波浪方面非常重要，使用弧度，我们可以确定 r 是波浪的振幅，α 是波浪的相位。如果要求你给出 α 的值，请给出近似的数值答案。三角函数线性组合的公式为

$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

$a\sin x+b\cos x=r\cdot \sin(x+\alpha )\,$

其中

$\alpha =\arcsin {\frac {b}{r}}$

$a\sin x+b\cos x=r\cdot \cos(x-\alpha )\,$

其中

$\alpha =\arccos {\frac {b}{r}}$

示例

将函数 $4\sin(x)-5\cos(x)$ 用 cos(x) 表示。求当 $4\sin(x)-5\cos(x)=3$ 时，在 0° < x <360° 范围内，x 的值。

. 从方程中提取 R

$R={\sqrt {-5^{2}+4^{2}}}={\sqrt {41}}$

${\sqrt {41}}\left(\sin(x)\times {\frac {4}{\sqrt {41}}}+\cos(x)\times {\frac {-5}{\sqrt {41}}}\right)$

求解 α

$\arccos \left({\frac {-5}{\sqrt {41}}}\right)\approx 141.34^{\circ }$

用 cos(x) 表示函数

${\sqrt {41}}\cdot \cos(x-141.34^{\circ })$

现在我们需要求解当函数等于 3 时的 x 值

${\sqrt {41}}\cdot \cos(x-141.34^{\circ })=3$

$\cos(x-141.34^{\circ })={\frac {3}{\sqrt {41}}}$

$\arccos \left(\cos(x-141.34^{\circ })\right)=\arccos \left({\frac {3}{\sqrt {41}}}\right)$

$x-141.34^{\circ }=-62.06^{\circ },62.06^{\circ },297.94^{\circ }$

$x=79.28^{\circ },203.4^{\circ },439.34^{\circ }$

在 0° < x <360° 范围内，我们得到

$x=79.28^{\circ },203.4^{\circ }$

这是 C3（核心数学 3）模块的一部分，属于 A-level 数学 教材。