A-level 物理学（高级物理）/向量

什么是向量？

物理量有两类：标量和向量。标量很简单：它们是像速度、距离或时间这样的量。它们有大小，但没有方向。向量量由两部分组成：一个标量和一个方向。例如，物体的速度由物体的速度和它移动的方向组成。速度是标量；加上方向就变成了速度，即向量。类似地，给距离加上方向，它就变成了位移，例如“东南方向2英里”。距离是标量，而位移是向量。

标量和向量都很有用。例如，如果我在房间里跑了几圈，最终回到起点，我可能跑了50米的距离。我的位移是0 - 零向量。零向量是唯一没有方向的向量。如果我想计算我做了多少功，我应该使用距离。如果我想知道我在哪里，我应该使用位移。

正如我们将看到的，向量的方向分量可以用几种不同的方式表示。“东南方向2英里”与“方位角135°方向2英里”或“东1.4英里，北-1.4英里”相同。向量的标量分量称为向量的**模**。

向量表示法

您需要能够理解以下向量的代数表示

符号	含义
${\overrightarrow {ab}}$	从点a到点b的向量。
a	名为“a”的向量。这在打印的代数中使用。
a	名为“a”的向量。这在手写代数中使用。
$\|{\overrightarrow {ab}}\|$ 或 \|a\| 或 \|a\|	向量的模。

向量分量

有时，用其他两个向量来表示一个向量会很有用。这两个向量通常指向向上和向右，并且与笛卡尔坐标系类似。因此，例如，“向西3.4 ms⁻²的加速度”变成了“0 ms⁻²的垂直加速度和-3.4 ms⁻²的水平加速度”。然而，这是一个非常简单的例子。

考虑右侧的图。向量a由垂直分量j和水平分量i组成。a的模为|a|。|i|和|j|可以使用|a|、i和a之间的角度θ以及一些基本的三角函数来计算。我们知道

$\cos {\theta }={\frac {|\mathbf {i} |}{|\mathbf {a} |}}$ 和 $\sin {\theta }={\frac {|\mathbf {j} |}{|\mathbf {a} |}}$

因此

|i| = |a| cos θ 和 |j| = |a| sin θ。

这将在考试的公式手册中给出。

向量加法

您还需要知道如何将向量加在一起。这使我们能够回答诸如“如果我向西北方向行驶5英里，然后向东行驶6英里，我在哪里？”或“如果我向北方向加速3 ms^-2，然后向东南方向加速1 ms^-2，我的总加速度是多少？”之类的问题。向量可以“首尾相接”地相加；也就是说，合向量等于“沿”第一个向量“运动”，然后沿第二个向量“运动”。

左侧的图示说明了这一点。当向量a和b相加时，会产生合向量a + b，连接第一个向量的尾部到最后一个向量的头部，向量首尾相接。在实践中，将两个向量加在一起最简单的方法是计算（如果您尚不知道）垂直和水平分量，并将它们全部加在一起以获得两个总的垂直和水平分量。然后，您可以使用勾股定理计算合向量的模，并使用更多基本的三角函数计算其方向。

在代数中

$\sum {|\mathbf {a} |_{n}}={\sqrt {(\sum {|\mathbf {i} |_{n}})^{2}+(\sum {|\mathbf {j} |_{n}})^{2}}}$ 以及 $\theta =\arctan {\frac {\sum {|\mathbf {j} |_{n}}}{\sum {|\mathbf {i} |_{n}}}}$ 。

其中，a₁ ... a_n 是需要相加的向量，i₁ ... i_n 是它们的水平分量，j₁ ... j_n 是它们的垂直分量，θ 是θ=0 线与合向量Σa_n 之间的夹角，如右侧图表所示。

抛物线的预测

如果使用图表表示向量（使箭头的长度与它们所代表的向量的模成比例，并使方向相等），则可以图形化地预测物体（例如球）将遵循的轨迹。请使用以下步骤

绘制一个向量来表示球的速度（以ms⁻¹为单位）。由于这是1秒内移动的米数，并且此过程的每个步骤都持续1秒，因此该向量表示球的速度和位移，即

$\Delta \mathbf {v} ={\frac {\Delta \mathbf {s} }{\Delta t}}={\frac {\Delta \mathbf {s} }{1}}=\Delta \mathbf {s}$

复制此向量，并将它的尾部连接到第一个向量的头部。如果不存在重力，则此新向量表示球在下一秒内将具有的速度和位移。
绘制另一个向量来表示由于地球上的重力（9.81 ms⁻²）引起的速率变化。它应该指向下方，并且与其他向量具有相同的比例。这表示球的速度由于重力而发生变化（速度是一个向量，因此球的运动速度和角度都会发生变化）。
如上所示将这些向量加在一起，得到一个新的向量。此新向量表示球在第二秒内的速度和位移。
重复此过程，直到球撞到某个物体（如有疑问，请绘制地面）。

问题

1. 以下哪些是向量？

20 cm
9.81 ms⁻² 朝向地心
5 km 偏东南方向
500 ms⁻¹，方位角285.3°

2. 位移向量a 是两个其他向量的合向量，分别为北向5米和东南向10米。a 等于多少（作为位移和方位角）？

3. 如果我以10 ms⁻¹ 的速度沿方位角030°方向行驶，那么我向北和向东行驶的速度是多少？

4. 书写向量的另一种方法是使用列向量，如下所示

$\mathbf {a} ={\binom {x}{y}}$ ,

其中x和y分别为向量的垂直和水平分量。用x和y表示|a|以及a 和 ${\tbinom {1}{0}}$ 之间的夹角。

5. 对球的轨迹进行建模的更准确方法是将空气阻力作为恒力F 包括在内。这将如何实现？

解答