抽象代数/范畴论

范畴论是研究范畴的学科，范畴是对象的集合和态射（或箭头），从一个对象到另一个对象。它概括了代数中的许多常见概念，例如不同类型的乘积、核的概念等等。请参阅范畴论以获取更多信息。

定义与符号

定义 1: 一个（局部小）范畴 ${\mathcal {C}}$ 由以下部分组成

一个对象的集合 $\mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$.

一个态射的集合 $\mathrm {Arr} ({\mathcal {C}})$.

对于任何 $X,Y\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$，$\mathrm {Hom} (X,Y)$ 是 $\mathrm {Arr} ({\mathcal {C}})$ 中从 $X$ 到 $Y$ 的态射子集，其中每个 $\mathrm {Hom} (X,Y)$ 都需要是一个集合（因此称为局部小）。

它们满足以下公理

存在合成的概念。如果 $X,Y,Z\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$，$f\in \mathrm {Hom} (X,Y)$ 以及 $g\in \mathrm {Hom} (Y,Z)$，那么 $f$ 和 $g$ 被称为可合成对。它们的合成是一个态射 $g\circ f\in \mathrm {Hom} (X,Z)$.

组合是结合的。 $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$ 只要组合被定义。

对于任何对象 $X$，存在一个恒等态射 $\mathrm {id} _{X}\in \mathrm {Hom} (X,X)$ 使得如果 $Y,Z$ 是对象， $f\in \mathrm {Hom} (Y,X)$ 以及 $g\in \mathrm {Hom} (X,Z)$，那么 $\mathrm {id} _{X}\circ f=f$ 以及 $g\circ \mathrm {id} _{X}=g$。

注意我们既不要求 $\mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$ 也不要求 $\mathrm {Arr} ({\mathcal {C}})$ 是集合；如果它们实际上都是集合，那么我们称我们的范畴为小范畴。

定义 2： 一个态射 $f$ 与它相关的两个函数 $\mathrm {dom}$ 和 $\mathrm {cod}$，分别称为定义域和陪域，使得 $f\in \mathrm {Hom} (X,Y)$ 当且仅当 $\mathrm {dom} \,f=X$ 且 $\mathrm {cod} \,f=Y$。因此，两个态射 $f,g$ 可复合当且仅当 $\mathrm {cod} \,f=\mathrm {dom} \,g$。

备注 3： 除非可能造成混淆，我们通常不会指定给定态射属于哪个 Hom 集。同样，除非涉及多个范畴，我们通常不会写 $X\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$，而只写“$X$ 是一个对象”。我们可能写 $X{\stackrel {f}{\longrightarrow }}Y$ 或 $f:X\to Y$ 来隐式地表示 $f$ 所属的 Hom 集。我们也可以省略复合符号，直接写 $gf$ 来表示 $g\circ f$。

基本性质

引理 4： 令 $X$ 是一个范畴的对象。$X$ 的恒等态射是唯一的。

证明：假设 $i$ 和 $j$ 是 $X$ 的恒等态射。则 $i=i\circ j=j$.

例 5： 我们介绍一些最简单的范畴

i) $0$ 是空范畴，没有对象也没有态射。

ii) $1$ 是只包含一个对象及其恒等态射的范畴。这是平凡范畴。

iii) $2$ 是一个包含两个对象，$X$ 和 $Y$，它们各自的恒等态射，以及单个态射 $f\in \mathrm {Hom} (X,Y)$ 的范畴。

iv) 我们也可以有一个类似于 $2$ 的范畴，但我们有两个态射 $f,g\in \mathrm {Hom} (X,Y)$，其中 $f\neq g$。那么 $f$ 和 $g$ 被称为平行态射。

v) $3$ 是一个包含三个对象，$X,Y,Z$ 的范畴。我们有 $f\in \mathrm {Hom} (X,Y)$，$g\in \mathrm {Hom} (Y,Z)$ 和 $h=gf\in \mathrm {Hom} (X,Z)$.

初始对象和终结对象

定义 在一个范畴中，一个对象 $I$ 被称为初始对象或共终对象，如果对于任何对象 $X$ 都存在唯一的态射 $f:I\to X$

引理 如果 $I$ 和 $J$ 是初始对象，那么它们是同构的。

证明：设 $i:I\to J$ 和 $j:J\to I$ 是 $I$ 和 $J$ 之间的唯一态射。由于 $I$ 和 $J$ 由于其初始性具有唯一的自同态，此态射必须是恒等态射。因此，$i\circ j$ 和 $j\circ i$ 分别是各自的恒等态射，使得 $I$ 和 $J$ 同构。

定义 在一个范畴中，一个对象 $F$ 被称为最终对象或共始对象，如果对于任何对象 $X$ 都存在唯一的态射 $f:X\to F$

引理 如果 $T$ 和 $S$ 是最终对象，那么它们是同构的。

证明：在对偶范畴中，将最终对象的同构转化为初始对象的同构。

一些范畴的例子

• $\mathbf {Set}$: 该范畴的对象是集合，态射是集合之间的映射。
• $\mathbf {FinSet}$: 该范畴的对象是有限集合，态射是有限集合之间的映射。
• 该类别其对象是 $\mathbb {\mathbb {R} } ^{n}$ 的开子集，其态射是它们之间的连续（可微、光滑）映射。
• 该类别其对象是光滑（可微、拓扑）流形，其态射是光滑（可微、连续）映射。
• 设 $k$ 为域。然后我们可以定义 $k-\mathbf {Vect}$：该类别其对象是在 $k$ 上的向量空间，其态射是 $k$ 上的向量空间之间的线性映射。
• $\mathbf {Group}$：该类别其对象是群，其态射是群之间的同态。

在迄今为止给出的所有例子中，对象都是集合，态射是它们之间的集合映射。情况并不总是如此。在一些类别中这是不可能的，在另一些类别中，该类别不是以这种方式自然出现的。例如

• 设 ${\mathcal {G}}$ 为任意类别。那么它的对偶类别 ${\mathcal {G}}^{op}$ 是一个具有相同对象的类别，所有箭头都反转了。更正式地说，${\mathcal {G}}^{op}$ 中从对象 $X$ 到 $Y$ 的态射是 ${\mathcal {G}}$ 中从 $Y$ 到 $X$ 的态射。
• 设 $M$ 为任意幺半群。然后我们可以定义一个只有一个对象的类别，其从该对象到自身的态射由 $M$ 中的元素给出，其合成由 $M$ 中的乘法给出。
• 设 $G$ 为任意群。则我们可以定义一个只有一个对象的范畴，该对象到自身的态射由 $G$ 的元素给出，其合成由 $G$ 中的乘法给出。
• 设 ${\mathcal {C}}$ 为任意小范畴，设 ${\mathcal {D}}$ 为任意范畴。则我们可以定义一个范畴 ${\mathcal {D}}^{\mathcal {C}}$，其对象是从 ${\mathcal {C}}$ 到 ${\mathcal {D}}$ 的函子，其态射是从 ${\mathcal {C}}$ 到 ${\mathcal {D}}$ 的函子之间的自然变换。
• $\mathbf {Cat}$：对象是小范畴，态射是两个小范畴之间的函子的范畴。