抽象代数/群论/循环群

• 由 g 生成的 循环群 是

• $\langle g\rangle =\lbrace g^{n}\;|\;n\in \mathbb {Z} \rbrace$

• 其中 $g^{n}={\begin{cases}\underbrace {g\ast g\cdots \ast g} _{n},&n\in \mathbb {Z} ,n\geq 0\\\underbrace {g^{-1}\ast g^{-1}\cdots \ast g^{-1}} _{-n},&n\in \mathbb {Z} ,n<0\end{cases}}$

• 归纳法表明：$g^{m+n}=g^{m}\ast g^{n}{\text{ and }}g^{mn}=[g^{m}]^{n}$

定理

设 C_m 是阶为 m 的循环群，由 g 生成，其中 $\ast$

设 $(\mathbb {Z} /m,+)$ 是模 m 的整数加法群

C_m 与 $(\mathbb {Z} /m,+)$ 同构

引理

设 n 是使得 gⁿ = e 的最小正整数

$g^{i}=g^{j}\leftrightarrow i=j~{\text{mod}}~n$

引理证明

设 i > j。设 i - j = sn + r，其中 0 ≤ r < n，s、r、n 都是整数。

1. $g^{i}=g^{j}\;$
2. $e=g^{i-j}=g^{sn+r}=[g^{n}]^{s}\ast g^{r}=[e]^{s}\ast g^{r}=g^{r}$	因为 i - j = sn + r，并且 gn = e
3. $g^{r}=e$
4. $r=0$	因为 n 是使得 gn = e 成立的最小正整数 并且 0 ≤ r < n
5. $i-j=sn$	0. 和 7.
6. $i=j~{\text{mod}}~n$

证明

0. 定义   ${\begin{aligned}f\colon C_{m}&\to \mathbb {Z} /m\\g^{i}&\mapsto i~{\text{mod}}~m\end{aligned}}$

引理表明 f 是定义良好的（对每个输入只有一个输出）。

f 是同态

$f(g^{i})+f(g^{j})=i+j~{\text{mod}}~m=f(g^{i+j})=f(g^{i}\ast g^{j})$

f 根据引理是单射的

f 是满射的，因为 $\mathbb {Z} /m$ 和 $C_{m}$ 都有 m 个元素，并且 f 是单射的

循环群

在上一节关于子群的讨论中，我们看到如果 $G$ 是一个群，并且 $g\in G$，那么 $g$ 的幂的集合，$\langle g\rangle =\{g^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}$ 构成了 $G$ 的一个子群，称为由 $g$ 生成的循环子群。在本节中，我们将推广这个概念，并在此过程中获得一个结构丰富的重要的群族。

定义 1： 令 $G$ 是一个具有元素 $g\in G$ 的群，使得 $\langle g\rangle =G$。那么 $G$ 被称为循环群，而 $g$ 被称为 $G$ 的生成元。或者，$g$ 被称为生成 $G$。如果存在一个整数 $n$ 使得 $g^{n}=e$，而 $n$ 是最小的正整数，那么 $G$ 被记作 $C_{n}$，阶为 $n$ 的循环群。如果不存在这样的整数，那么 $G$ 被记作 $C_{\infty }$，无限循环群。

无限循环群也可以记作 $F_{\{g\}}$，自由群，只有一个生成元。这预示着后面章节的内容，现在可以暂时忽略。

定理 2： 任何循环群都是阿贝尔群。

证明: 令 $G$ 是一个循环群，其生成元为 $g$。则如果 $h,k\in G$，那么 $h=g^{n}$ 以及 $k=g^{m}$，其中 $n,m\in \mathbb {Z}$。为了证明交换性，观察到 $hk=g^{n}g^{m}=g^{n+m}=g^{m+n}=g^{m}g^{n}=kh$，因此得证。 ∎

定理 3: 循环群的任何子群都是循环群。

Proof: Let $G$ be a cyclic group with generator $g$, and let $H\leq G$. Since $G=\langle g\rangle$, in particular every element of $H$ equals $g^{n}$ for some $n\in \mathbb {Z}$. We claim that if $a$ the lowest positive integer such that $g^{a}\in H$, then $H=\langle g^{a}\rangle$. To see this, let $g^{n}\in H$. Then $n=qa+r$ and $0\leq r<a$ for unique $q,r\in \mathbb {Z}$. Since $H$ is a subgroup and $g^{a}\in H$, we must have $g^{n}(g^{a})^{-q}=g^{qa+r}g^{-qa}=g^{r}\in H$. Now, assume that $r>0$. Then $g^{r}\in H$ contradicts our assumption that $a$ is the least positive integer such that $g^{a}\in H$. Therefore, $r=0$. Consequently, $g^{n}\in H$ only if $n=qa$, and $H=\langle g^{a}\rangle$ and is cyclic, as was to be shown. ∎

正如敏锐的读者已经注意到，前面的证明中使用了数论中常见的带余除法的概念。我们对循环群的处理将与数论中的概念密切相关。这并非巧合，正如接下来的一些陈述所表明的那样。事实上，本节的另一个标题可以是 "模运算和整数理想"。理想的概念可能对读者来说还不熟悉，请耐心等待关于环的章节。

定理 4: 令 $\mathbb {Z} _{n}=\{0,1,2,...,n-1\}$，其中加法运算定义为模 $n$。也就是说 $a+b\equiv r\,\mathrm {mod} \,n$，其中 $a+b=qn+r$。我们用 $a+_{n}b=r$ 表示该运算。然后 $(\mathbb {Z} _{n},+_{n})$ 是一个循环群。

证明：我们首先需要证明 $(\mathbb {Z} _{n},+_{n})$ 是一个群，然后找到一个生成元。我们验证群公理。结合律是从整数继承而来的。元素 $0\in Z_{n}$ 是关于 $+_{n}$ 的单位元。元素 $a\in Z_{n}$ 的逆元是一个元素 $b$ 使得 $a+_{n}b=0$。因此 $b+a|n$。那么，$b\equiv n-a\equiv -a\,\mathrm {mod} \,n$，因此 $b=n-a=-a$，并且 $(\mathbb {Z} _{n},+_{n})$ 是一个群。现在，由于 $a=a\cdot 1=\underbrace {1+...+1} _{a\,\mathrm {terms} }$，$1$ 生成 $\mathbb {Z} _{n}$，因此 $(\mathbb {Z} _{n},+_{n})$ 是循环群。 ∎

除非另有明确说明，$\mathbb {Z} _{n}$ 始终指的是循环群 $(\mathbb {Z} _{n},+_{n})$。由于 $\mathbb {Z} _{n}$ 生成器的论证对于任何整数 $a$ 都成立，这表明 $\mathbb {Z}$ 也是循环群，其生成器为 $1$。

定理 5： 元素 $a\in \mathbb {Z} _{n}$ 是生成器当且仅当 $\gcd(a,n)=1$。

证明：我们需要数论中的以下定理：如果 $m,n$ 是整数，则存在整数 $r,s$ 使得 $rm+sn=1$，当且仅当 $\gcd(m,n)=1$。我们在这里不做证明。可以在数论部分找到证明。

对于右边的蕴含关系，假设$\langle a\rangle =\mathbb {Z} _{n}$。那么对于所有$b\in \mathbb {Z} _{n}$，$b\equiv pa\,\mathrm {mod} \,n$ 对于某个整数$p$。特别地，存在一个整数$s$ 使得$sa\equiv 1\,\mathrm {mod} \,n$。这意味着存在另一个整数$r$ 使得$sa-rn=1$。根据数论中的上述定理，我们有$\gcd(a,n)=1$。对于左边的蕴含关系，假设$\gcd(a,n)=1$。那么存在整数$s,r$ 使得$sa-rn=1\,\Rightarrow \,sa\equiv 1\,\mathrm {mod} \,n$，这意味着$sa=1$ 在$\mathbb {Z} _{n}$ 中。由于$1$ 生成了$\mathbb {Z} _{n}$，因此$a$ 也是一个生成元，证明了该定理。∎

我们可以通过观察循环群中元素的阶来稍微推广定理 5。

定理 6：设 $H=\langle g\rangle \leq \mathbb {Z} _{n}$。那么，$|H|=|a|={\frac {n}{\gcd(a,n)}}$。

证明：回想一下，$a\in \mathbb {Z} _{n}$的阶定义为最小的正整数 $r$，使得 $ra=0$ 在 $\mathbb {Z} _{n}$ 中成立。由于 $\langle g\rangle$ 是循环群，存在整数 $s$ 使得 $ra=sn$ 最小且为正数。这是最小公倍数的定义；$\mathrm {lcm} (a,n)=ra=|a|a$。回想一下数论中的结论 $\mathrm {lcm} (a,n)\cdot \gcd(a,n)=an$。因此，$|a|={\frac {\mathrm {lcm} (a,n)}{a}}={\frac {an}{a\cdot \gcd(a,n)}}={\frac {n}{\gcd(a,n)}}$，证毕。∎

定理 7：$\mathbb {Z}$ 的每个子群都有如下形式 $n\mathbb {Z} =\{na\mid a\in \mathbb {Z} \}$。

证明: 任何 $\mathbb {Z}$ 的子群是循环的，这是由定理 3 推出的。因此，令 $n$ 生成 $H\leq \mathbb {Z}$。然后我们可以立即看到 $H=n\mathbb {Z}$。 ∎

定理 8: 令 $a,b\in \mathbb {Z}$ 为固定值，令 $H=\{ra+sb|r,s\in \mathbb {Z} \}$。那么 $H$ 是 $\mathbb {Z}$ 的一个子群，由 $\gcd(a,b)$ 生成。

证明：首先需要证明 $H$ 是一个子群。这是直接的，因为 $(ra+sb)-(r^{\prime }a+s^{\prime }b)=(r-r^{\prime })a+(s-s^{\prime })b\in H$。从定理 3 的证明中，我们看到 $\mathbb {Z}$ 的任何子群都是由其最小的正元素生成的。数论定理指出，最小的正整数 $d$ 使得 $d=ra+sb$ 对固定整数 $a,b$ 和 $r,s\in \mathbb {Z}$ 等于 $a$ 和 $b$ 的最大公约数，即 $\gcd(a,b)$。因此，$\gcd(a,b)$ 生成 $H$。 ∎

定理 9： 设 $n\mathbb {Z}$ 和 $m\mathbb {Z}$ 是 $\mathbb {Z}$ 的子群。那么 $n\mathbb {Z} \cap m\mathbb {Z}$ 是由 $\mathrm {lcm} (n,m)$ 生成的子群。

证明：$n\mathbb {Z} \cap m\mathbb {Z}$ 是一个子群是显而易见的，因为 $n\mathbb {Z}$ 和 $m\mathbb {Z}$ 都是子群。为了找到 $n\mathbb {Z} \cap m\mathbb {Z}$ 的生成元，我们必须找到它的最小正元素。也就是说，最小的正整数 $p$，使得 $p$ 既是 $n$ 的倍数，也是 $m$ 的倍数。这就是 $n$ 和 $m$ 的最小公倍数的定义，即 $\mathrm {lcm} (n,m)$，结论成立。 ∎

现在应该很清楚 $C_{n}$ 和 $\mathbb {Z} _{n}$，以及 $C_{\infty }$ 和 $\mathbb {Z}$ 是相同的群。这将在后面的章节中得到精确的解释，但可以通过将 $C_{n}$ 或 $C_{\infty }$ 的任何生成元用 $1$ 来表示来直观地理解。

在拥有更多工具后，我们将对循环群有更多讨论。