抽象代数/群论/群

在本节中，我们将开始使用我们在关于二元运算的章节中所做的定义。在接下来的几节中，我们将研究一种叫做群的特定二元结构。然而，我们首先需要一些关于不太严格的二元结构的初步工作。

幺半群

定义 1： 一个幺半群是一个二元结构 $(M,*)$ 满足以下性质

(i) $(a*b)*c=a*(b*c)$ 对于所有 $a,b,c\in M$。这被称为结合律。

(ii) 存在一个单位元 $e\in M$ 使得 $a*e=a=e*a$ 对于所有 $a\in M$。

现在我们已经有了公理，我们面临着一个迫切的问题；我们的第一个定理将会是什么？由于前几个定理彼此之间没有依赖关系，我们只需要做出一个任意的选择。我们选择以下定理

定理 2： $M$ 的单位元是唯一的。

证明: 假设 $e$ 和 $e^{\prime }$ 都是 $M$ 的单位元。那么它们都满足上面定义中的条件 (ii)。特别是，$e=e*e^{\prime }=e^{\prime }$，证毕。 ∎

这个定理将在我们定义群时被证明是至关重要的。

定理 3： 如果 $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ 是 $M$ 的元素，对于某个 $n\in \mathbb {N}$，那么乘积 $a_{1}*a_{2}*\cdots *a_{n}$ 是唯一的。

证明：我们可以通过归纳法来证明。当 $n=1$ 和 $n=2$ 时，结论显然成立。假设对于所有 $n<k$，结论成立。当 $n=k$ 时，乘积 $a_{1}*\cdots *a_{k}$，插入括号后，可以被“划分”成 $(a_{1}*\cdots *a_{i})*(a_{i+1}*\cdots *a_{k})$。乘积的两个部分都包含小于 $k$ 个元素，因此是明确的。同样的，如果我们考虑另一种“划分”，$(a_{1}*\cdots *a_{j})*(a_{j+1}*\cdots *a_{k})$，其中 $j>i$，结论也是成立的。因此，我们可以明确地计算出乘积 $(a_{1}*\cdots *a_{i})$，$(a_{i+1}*\cdots *a_{j})$ 和 $(a_{j+1}*\cdots *a_{k})$，并将这两个“划分”改写成 $b_{1}*(b_{2}*b_{3})$ 和 $(b_{1}*b_{2})*b_{3}$。根据幺半群的定义，这两个是相等的。 ∎

关于幺半群的介绍就到这里了。接下来我们将讨论群。

群

定义 4：一个群是一个幺半群 $(G,*)$，它还满足以下性质

(iii) 对于每个 $a\in G$，存在一个元素 $a^{\prime }\in G$ 使得 $a*a^{\prime }=a^{\prime }*a=e$。

这样的元素 $a^{\prime }$ 被称为 $a$ 的逆元。当群上的运算被理解时，我们将方便地将 $(G,*)$ 称为 $G$。此外，当我们只处理一个群时，或者当运算被理解时，我们将逐渐停止使用符号 $*$ 表示乘法，而是用并置表示乘积，$a*b\equiv ab$。

注 5: 注意这个定义如何依赖于定理 2 才能定义良好。因此，在至少证明单位元唯一性之前，我们无法陈述这个定义。或者，我们可以在定义中包含一个特殊的单位元的定义。最终，这两种方法在逻辑上是等价的。

还要注意，为了证明一个幺半群是一个群，只需证明每个元素都具有左逆元或右逆元。令 $a\in G$，令 $b$ 是 $a$ 的右逆元，令 $c$ 是 $b$ 的右逆元。那么，$a=a(bc)=(ab)c=c$。因此，任何右逆元也是左逆元，或者 $ab=ba$。对于左逆元可以进行类似的论证。

定理 6: 任何元素的逆元是唯一的。

证明: 设 $g\in G$，并设 $g^{\prime }$ 和 $g^{\prime \prime }$ 是 $g$ 的逆元。那么，$g^{\prime }=g^{\prime }*e=g^{\prime }*g*g^{\prime \prime }=e*g^{\prime \prime }=g^{\prime \prime }$。 ∎

因此，我们可以说一个元素的逆，并用 $a^{-1}$ 表示这个元素。我们也观察到这个有趣的性质

推论 7: $(a^{-1})^{-1}=a$。

证明: 由于 $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$，所以结果是直接得出的。

接下来的几个定理可能看起来很明显，但为了使问题更加严格，我们允许自己陈述和证明看似微不足道的语句。

定理 8: 设 $G$ 是一个群，并且 $a,b\in G$。那么，$(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$。

证明: 结果可以通过直接计算得到: $(a*b)*(b^{-1}*a^{-1})=a*b*b^{-1}*a^{-1}=a*e*a^{-1}=a*a^{-1}=e$。 ∎

定理 9: 设 $a,b,c\in G$. 那么，$a*b=a*c$ 当且仅当 $b=c$. 同样，$a*c=b*c$ 当且仅当 $a=b$.

证明: 我们将证明第一个断言。第二个断言与之相同。假设 $a*b=a*c$. 然后，在左边乘以 $a^{-1}$ 得到 $b=c$. 其次，假设 $b=c$. 然后，在左边乘以 $a$ 得到 $a*b=a*c$. ∎

定理 10: 方程 $a*x=b$ 在 $G$ 中对任何 $a,b\in G$ 都有唯一解。

证明: 我们必须证明解的存在性和唯一性。对于存在性，观察到 $x=a^{-1}*b$ 是 $G$ 中的一个解。对于唯一性，在左边乘以 $a^{-1}$ 两边，以证明这是唯一的解。 ∎

符号： 令 $G$ 为一个群，且 $a\in G$。我们经常会遇到这样的情况，我们有一个乘积 $\underbrace {a*a*\cdots *a} _{\mathrm {n\,terms} }$。对于这些情况，我们引入简写符号 $a^{n}=\underbrace {a*a*\cdots *a} _{\mathrm {n\,terms} }$ 如果 $n$ 为正数，且 $a^{n}=\underbrace {a^{-1}*a^{-1}*\cdots *a^{-1}} _{\mathrm {|n|\,terms} }$ 如果 $n$ 为负数。根据这些规则，很容易证明 $g^{n}*g^{m}=g^{n+m}$ 以及 $(a^{n})^{-1}=a^{-n}$ 和 $a^{0}=e$ 对所有 $a\in G$ 成立。

定义 11：(i) 群 $G$ 的阶，记为 $|G|$ 或 $o(G)$，是 $G$ 中元素的个数，如果 $G$ 是有限群。否则 $|G|$ 被称为无穷大。

(ii) 元素 $g\in G$ 的阶，类似地表示为 $|g|$ 或 $o(g)$，被定义为最小的正整数 $n$，使得 $g^{n}=e$（如果这样的整数存在）。否则，$|g|$ 被称为无穷大。

定理 12：设 $G$ 是一个群，并且 $a,b\in G$。那么，$|ab|=|ba|$。

证明：设 $ab$ 的阶为 $n$。那么，$(ab)^{n}=abab...ab=e$，$n$ 是使此等式成立的最小正整数。现在，在左边乘以 $b$，在右边乘以 $a$，得到 $(ba)^{n+1}=ba$，这意味着 $(ba)^{n}=e$。因此，我们已经证明 $|ba|\leq |ab|$。类似地，反方向的论证表明 $|ab|\leq |ba|$。因此，我们必须有 $|ab|=|ba|$，从而证明了定理。 ∎

推论 13： 设 $G$ 是一个群，其中 $a,b\in G$。那么，$|aba^{-1}|=|b|$。

证明：根据定理 12，我们有 $|aba^{-1}|=|ba^{-1}a|=|be|=|b|$。 ∎

定理 14： 一个群中不等于单位元的元素的阶为 2 当且仅当它等于它自身的逆。

证明：设 $g$ 在群 $G$ 中的阶为 2。那么，$g^{2}=gg=e$，因此根据定义，$g^{-1}=g$。现在，假设 $g^{-1}=g$ 且 $g\neq e$。那么，$e=gg^{-1}=gg=g^{2}$。由于 $g\neq e$，2 是满足此性质的最小正整数，因此 $g$ 的阶为 2。 ∎

定义 15： 设 $G$ 是一个群，使得对于所有 $a,b\in G$，$ab=ba$。那么，$G$ 被称为可交换的或阿贝尔的。

当我们处理阿贝尔群时，有时会使用所谓的加法记号，将我们的二元运算写成 $+$，并将 $a^{n}$ 替换为 $na$。在这种情况下，我们只需要跟踪 $n$ 是一个整数，而 $a$ 是一个群元素。我们也将谈论元素的 *和* 而不是它们的积。

阿贝尔群在很多方面比一般的群更“好”。它们也允许比普通群更多的结构。我们将在后面讨论群之间保持结构的映射时，更多地了解这一点。

定义 16：令 $G$ 是一个群。一个子集 $S\subseteq G$ 被称为 $G$ 的 *生成集*，如果 $G$ 中的每个元素都可以用 $S$ 中的元素来表示。我们写 $G=\langle S\rangle =\{s_{1}^{e_{1}}\ldots s_{m}^{e_{m}}\mid s_{i}\in S,e_{i}\in \{1,-1\}\}$。

现在，我们已经有了定义，并且有一套小型的定理，让我们来看看三个（实际上是两个半）重要的群族。

乘法表

我们现在将展示一种方便的方式来表示群结构，或者更确切地说，是集合上的乘法规则。这种概念不仅限于群，而是可以用于具有任意数量运算的任何结构。例如，我们给出了 *克莱因四元群* $K_{4}$ 的群乘法表。乘法表结构是这样的：$g*h$ 由 "$(g,h)$-位置" 中的元素表示，即 $g$-行与 $h$-列的交点处。

${\begin{array}{c|cccc}*&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&e&a\\c&c&b&a&e\end{array}}$

下一组是关于模 4 加法的整数群，称为 $\mathbb {Z} _{4}$. 我们将在稍后详细了解这个群。

${\begin{array}{c|cccc}+&0&1&2&3\\\hline 0&0&1&2&3\\1&1&2&3&0\\2&2&3&0&1\\3&3&0&1&2\end{array}}$

我们可以清楚地看到 $K_{4}$ 和 $\mathbb {Z} _{4}$ 是“不同”的群。没有办法重新标记元素使得乘法表一致。群的“相等”概念我们还没有精确定义。我们将在关于群同态的部分回到这个问题。

读者可能已经注意到，群表中的每一行都恰好包含群中的每个元素一次。事实上，假设一个元素 $k\in G$ 在 $G$ 的乘法表中某一行出现了两次。那么将存在 $g,h,h^{\prime }\in G$ 使得 $gh=gh^{\prime }$，这意味着 $h=h^{\prime }$，与 $k$ 出现两次的假设矛盾。我们将此表述为定理

定理 17: 令 $G$ 是一个群，$a\in G$。那么 $aG=\{a*g\mid g\in G\}=G$。

利用这一点，读者可以使用乘法表找到所有阶为 3 的群。他/她会发现只有一种可能性。

问题

问题 1: 证明 $M_{n}(\mathbb {R} )$，即所有 $n\times n$ 实数矩阵的集合，在矩阵加法运算下构成一个群。

问题 2: 设 $V,W$ 是向量空间，$\mathrm {Hom} (V,W)$ 是从 $V$ 到 $W$ 的线性映射的集合。证明 $\mathrm {Hom} (V,W)$ 通过定义 $(f+g)(v)=f(v)+g(v)$，构成一个阿贝尔群。

问题 3: 设 $\mathbb {Q} _{8}$ 由元素 $i,j,k,m$ 生成，其中 $i^{2}=j^{2}=k^{2}=m$，$m^{2}=e$ 且 $ij=mji=k$。证明 $\mathbb {Q} _{8}$ 构成一个群。上述条件中是否有冗余条件？当单位元 e 写成 1 且 m = −1 时，$\mathbb {Q} _{8}$ 被称为 *四元数群*。 $i,\ j,\ k$ 是虚数单位。使用 1 和其中一个作为数平面的基，可以得到复数平面。

问题 4： 令 $S$ 为任意非空集合，并考虑集合 $G^{S}$。证明 $G^{S}$ 具有自然群结构。

答案

$G^{S}$ 是函数 $f\,:\,S\rightarrow G$ 的集合。令 $f_{1},f_{2}\in G^{S}$，并定义二元运算 $(f_{1}*f_{2})(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)$，对于所有 $x\in S$。那么 $G^{S}$ 是一个群，单位元为 $0$，使得 $0(x)=e$ 对于所有 $x\in X$，且逆元为 $f^{-1}(x)=f(x)^{-1}$，对于所有 $f\in G^{S},x\in X$。∎

问题 5： 令 $G$ 为一个群，具有两个不同的元素 $a$ 和 $b$，它们的阶数均为 2。证明 $G$ 具有第三个阶数为 2 的元素。

答案

我们首先考虑$ab=ba$的情况。那么$(ab)^{2}=abab=aabb=e$，并且$ab$不同于$e,a$和$b$。如果$ab\neq ba$，那么$(aba^{-1})^{2}=abaa^{-1}ba^{-1}=abba^{-1}=e$，并且$aba^{-1}$不同于$e,a$和$b$。 ∎

问题 6: 令$G$为一个群，其中只有一个元素$f$的阶为 2。证明$\prod _{g\in G}g=f$。

答案

由于两个元素的乘积通常取决于我们相乘的顺序，所以所述的乘积不一定是定义良好的。然而，在本例中，它却行得通。

由于 $G$ 中的每个元素都在这个乘积中出现一次，所以对于每个元素 $g\in G$ 来说，$g$ 的逆元一定在这个乘积中某个地方出现。也就是说，除非 $|g|=2$，在这种情况下，根据定理 14，$g$ 是它自己的逆元。现在，将推论 13 应用于这个乘积，表明它的阶数与 $G$ 中所有阶数为 2 的元素的乘积的阶数相同。但是只有一个这样的元素，$f$，因此这个乘积的阶数为 2。由于 $G$ 中唯一阶数为 2 的元素是 $f$，因此等式成立。 ∎