抽象代数/群论/群作用于集合

群作用本身很有趣，它也是代数中一个有用的工具，它将使我们能够证明西洛定理，反过来，它将给我们提供一个工具集来更详细地描述某些群。

基础

定义 1.8.1:

令 $X$ 为一个任意集合，令 $G$ 为一个群。一个函数

$f:G\times X\to X$

被称为 $G$ 对 $X$ 的群作用，当且仅当 ($\iota$ 表示 $G$ 的单位元)

1. $\forall x\in X:f(\iota ,x)=x$ 并且
2. $\forall \sigma ,\tau \in G,x\in X:f(\sigma ,f(\tau ,x))=f(\sigma \tau ,x)$.

当一个特定的群作用在一个上下文中给出时，我们遵循普遍的惯例，简单地写成 $\sigma x$ 来表示 $f(\sigma ,x)$。在这个记号中，群作用的要求转化为

1. $\forall x\in X:\iota x=x$ 并且
2. $\forall \sigma ,\tau \in G,x\in X:\sigma (\tau x)=(\sigma \tau )x$.

对于 $G$ 对 $X$ 的群作用和同态 $G\to S_{X}$ 之间存在一一对应关系。

定义 1.8.2:

设 $G$ 为一个群，$X$ 为一个集合。给定一个同态 $\varphi :G\to S_{X}$，我们可以定义一个对应的群作用：

$\sigma x:=\varphi (\sigma )(x)$.

如果我们给定一个群作用 $G\times X\to X$，那么

$\varphi (\sigma ):=x\mapsto \sigma x$

是一个同态。这样定义的同态 $G\to S_{X}$ 和群作用 $G\times X\to X$ 之间的对应关系是双射的。

证明:

1.

实际上，如果 $\varphi :G\to S_{X}$ 是一个同态，那么

$\iota x=\varphi (\iota )(x)={\text{Id}}(x)=x$ 并且

$\sigma (\tau x)=\varphi (\sigma )(\varphi (\tau )(x))=(\varphi (\sigma )\circ \varphi (\tau ))(x)=(\sigma \tau )(x)$.

2.

$\varphi (\sigma )$ 对所有 $\sigma \in G$ 都是双射的，因为

$\varphi (\sigma )(x)=\varphi (\sigma )(y)\Leftrightarrow \sigma x=\sigma y\Leftrightarrow \sigma ^{-1}\sigma x=\sigma ^{-1}\sigma y$.

设 $\tau \in G$。 那么

$\varphi (\sigma \tau )=x\mapsto (\sigma \tau )x=x\mapsto \sigma (\tau (x))=(x\mapsto \sigma x)\circ (x\mapsto \tau x)=\varphi (\sigma )\circ \varphi (\tau )$.

3.

我们注意到这里讨论的构造是互逆的；事实上，如果我们将一个同态 $\varphi :G\to S_{X}$ 变换成一个作用，通过

$\sigma x:=\varphi (\sigma )(x)$

然后将这个作用转换成一个同态，通过

$\psi :G\to S_{X},\psi (\sigma ):=x\mapsto \sigma x$,

我们注意到 $\psi =\phi$ 因为 $\psi (\sigma )=x\mapsto \sigma x=x\mapsto \varphi (\sigma )(x)=\varphi (\sigma )$.

另一方面，如果我们从一个群作用 $G\times X\to X$ 开始，将其转换为一个同态

$\varphi (\sigma ):=x\mapsto \sigma x$

然后将这个同态再转换回群作用

$\sigma x:=\varphi (\sigma )(x)$,

那么我们最终得到的将与最初的群作用相同，因为 $\varphi (\sigma )(x)=\sigma x$.$\Box$

例子 1.8.3:

1. $S_{n}$ 作用于 $\mathbb {R} ^{n}$ 通过 $\sigma (x_{1},\ldots ,x_{n})=(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})$.
2. $GL_{n}(\mathbb {R} )$ 通过矩阵乘法作用于 $\mathbb {R} ^{n}$：$Ax:=Ax$，其中第一个并列表示群作用定义，第二个表示矩阵乘法。

作用类型

定义 1.8.4:

群作用 $G\times X\to X$ 被称为

1. 忠实 当且仅当 $(\forall x\in X:\sigma x=\tau x)\Rightarrow \sigma =\tau$ ('对 $x$ 的所有元素恒等意味着对 $G$ 的恒等')
2. 自由 当且仅当 $(\exists x\in X:\sigma x=\tau x)\Rightarrow \sigma =\tau$ ('不同的群元素将一个 $x$ 映射到 $X$ 的不同元素')，以及
3. 传递 当且仅当对于所有 $x,y\in X$ 存在 $\sigma \in G$ 使得 $y=\sigma x$。

如果我们注意到一个作用是忠实的当且仅当对于两个不同的 $\sigma \neq \tau \in G$ 存在 $x\in X$ 使得 $\sigma x\neq \tau x$，并且它是自由的当且仅当元素 $\sigma x,\sigma \in G$ 对所有 $x\in X$ 都不同，那么在现实生活中就可以发现一些微妙的类比。

定理 1.8.5:

非空集合上的自由运算式忠实的。

证明: $(\forall x\in X:\sigma x=\tau x)\Rightarrow (\exists x\in X:\sigma x=\tau x)\Rightarrow \sigma =\tau$.$\Box$

现在我们尝试刻画这三个定义，即我们试图找到与每个定义等价的条件。

定理 1.8.6:

群作用 $G\times X\to X$ 是忠实的，当且仅当诱导同态 $\varphi :G\to S_{X}$ 是单射的。

证明:

首先，给定一个忠实作用 $G\times X\to X$。假设 $\varphi (\sigma )=\varphi (\tau )$。那么对于所有 $x\in X$ $\sigma x=\varphi (\sigma )(x)=\varphi (\tau )(x)=\tau x$，因此 $\sigma =\tau$。现在让 $\varphi$ 是单射的。那么 ${\displaystyle }$.

一个重要的推论如下

推论 1.8.7（凯莱）:

每个群都与对称群的某个子群同构。

证明:

群通过左乘作用在自己身上是忠实的。因此，根据前面的定理，存在一个单同态 $G\to S_{G}$.$\Box$

为了刻画另外两个定义，我们需要更多术语。

轨道和稳定子

定义 1.8.8:

让 $G\times X\to X$ 是一个群作用，并让 $x\in X$。那么

• $G(x):=\{\sigma x|\sigma \in G\}$ 称为 $x$ 的轨道，并且
• $G_{x}:=\{\sigma \in G|\sigma x=x\}$ 称为 $x$ 的稳定子。更一般地，对于子集 $Y\subseteq X$，我们定义 $G_{Y}:=\{\sigma \in G|\forall y\in Y:\sigma y\in Y\}$ 作为 $Y$ 的稳定子。

使用这个术语，我们得到了自由运算的一个新特征。

定理 1.8.9:

运算 $G\times X\to X$ 是自由的当且仅当对每个 $x\in X$，$G_{x}$ 是平凡的。

证明：令运算为自由的，并令 $x\in X$。然后

$\sigma \in G_{x}\Leftrightarrow \sigma x=x=\iota x$.

由于运算是自由的，$\sigma =\iota$。

假设对于每个 $x\in X$，$G_{x}$ 是平凡的，并令 $y\in X$ 使得 $\sigma y=\tau y$。后者等价于 $\tau ^{-1}\sigma y=y$。因此 $\tau ^{-1}\sigma \in G_{y}=\{\iota \}$。$\Box$

我们还对使用轨道进行的传递操作进行了新的表征

定理 1.8.10:

操作 $G\times X\to X$ 是传递的当且仅当对于所有 $x\in X$ $G(x)=X$.

证明:

假设对于所有 $x\in X$ $G(x)=X$，并令 $y,z\in X$。由于 $G(y)=X\ni z$，因此传递性成立。

假设传递性，并令 $x\in X$。然后对于所有 $y\in X$，存在 $\sigma \in G$ 使得 $\sigma x=y$，因此 $y\in G(x)$.$\Box$

关于稳定器，我们有以下两个定理

定理 1.8.11:

令 $G\times X\to X$ 是一个群作用，并且 $x\in X$。则 $G_{x}\leq G$.

证明:

首先，$\iota \in G_{x}$。令$\sigma ,\tau \in G_{x}$。那么$(\sigma \tau )x=\sigma (\tau x)=\sigma x=x$，因此$\sigma \tau \in G_{x}$。此外$\sigma ^{-1}x=\sigma ^{-1}\sigma x=x$，因此$\sigma ^{-1}\in G_{x}$。$\Box$

定理 1.8.12:

令$Y\subseteq X$。如果我们写成$\sigma Y:=\{\sigma y|y\in Y\}$，对于每个$\sigma \in G$，那么

$G_{\sigma Y}=\sigma G_{Y}\sigma ^{-1}$.

证明:

${\begin{aligned}\tau \in G_{\sigma Y}&\Leftrightarrow \tau \sigma Y=\sigma Y\\&\Leftrightarrow \sigma ^{-1}\tau \sigma Y=Y\\&\Leftrightarrow \sigma ^{-1}\tau \sigma Y\in G_{Y}\\&\Leftrightarrow \tau \in \sigma G_{Y}\sigma ^{-1}\end{aligned}}$$\Box$

基数公式

以下定理将推导出 $G_{x}$、$|G|$、$(G:G_{x})$ 或 $X$ 的基数公式。

定理 1.8.13:

令一个作用 $G\times X\to X$ 给定。关系 $x\sim y:\Leftrightarrow \exists \sigma \in G:\sigma x=y$ 是一个等价关系，其等价类由该作用的轨道给出。此外，对于每个 $x\in X$，函数

$\{\sigma G_{x}|\sigma \in G\}\to G(x),\sigma G_{x}\mapsto \sigma x$

是一个定义明确的双射函数。

证明:

1.

• 自反性：$\iota x=\iota$
• 对称性：$\sigma x=y\Leftrightarrow x=\sigma ^{-1}y$
• 传递性：$\sigma x=y\wedge \tau y=z\Rightarrow (\tau \sigma )x=z$.

2.

令 $[x]$ 为 $x$ 的等价类。那么

$y\in [x]\Leftrightarrow \exists \sigma \in G:\sigma x=y\Leftrightarrow y\in G(x)$.

3.

令 $\sigma G_{x}=\tau G_{x}$。由于 $G_{x}\leq G$，$\tau ^{-1}\sigma \in G_{x}$。因此，$\tau ^{-1}\sigma x=x\Leftrightarrow \tau x=\sigma x$。因此，定义良好。满射性由定义得出。令 $\sigma x=\tau x$。则 $\tau ^{-1}\sigma x=x$，因此 $\tau ^{-1}\sigma G_{x}=G_{x}$。因此，单射性。$\Box$

推论 1.8.14（轨道-稳定子定理）:

令作用 $G\times X\to X$ 给定，并令 $x\in X$。则

$|G(x)|=(G:G_{x})$，或等价地 $|G(x)|\cdot |G_{x}|=|G|$.

证明：根据前一个定理，函数 $\{\sigma G_{x}|\sigma \in G\}\to G(x),\sigma G_{x}\mapsto \sigma x$ 是一个双射。因此，$(G:g_{x})=|G(x)|$。此外，根据拉格朗日定理 $(G:G_{x})={\frac {|G|}{|G_{x}|}}$。$\Box$

推论 1.8.15（轨道方程）:

给定一个作用 $G\times X\to X$，设 $G(x_{1}),\ldots ,G(x_{n})$ 是所有轨道的完整且唯一的列表。那么

$|X|=\sum _{j=1}^{n}\left|G\left(x_{j}\right)\right|=\sum _{j=1}^{n}(G:G_{x_{j}})$.

证明：第一个等式直接由定理 1.8.13 中关系的等价类对 $X$ 进行划分得到，第二个等式由推论 1.8.14 得到。$\Box$

推论 1.8.16:

给定一个作用 $G\times X\to X$，设 $Z=\{x\in X|\forall \sigma \in G:\sigma x=x\}$，设 $G(x_{1}),\ldots ,G(x_{m})$ 是所有非平凡轨道的完整且唯一的列表（如果 $x\in X$ 的轨道满足 $G(x)=\{x\}$，则称该轨道为平凡轨道）。那么

$|X|=|Z|+\sum _{j=1}^{m}\left|G\left(x_{j}\right)\right|$.

证明：这由前一个推论和 $|Z|$ 等于所有平凡轨道的基数之和得到。$\Box$

以下引理，俗称伯恩赛德引理，实际上是柯西提出的。

推论 1.8.17（柯西引理）:

令作用 $G\times X\to X$ 给定，其中 $G,X$ 是有限的。对于每个 $\sigma \in G$，我们记 ${\displaystyle }$.

类方程

定义 1.8.18:

令群 $G$ 通过共轭作用于自身，即 $\sigma x:=\sigma x\sigma ^{-1}$ 对于所有 $\sigma ,x\in G$。对于每个 $x\in G$，$x$ 的中心化子定义为集合

${\mathcal {C}}_{G}(x):=G_{x}$.

使用我们上面开发的工具，我们现在可以为 $G$ 的基数建立一个公式。为了做到这一点，我们需要一个初步的引理。

引理 1.8.19:

令 $G$ 通过共轭作用于自身，并令 $x\in G$。则 $x$ 的轨道是平凡的当且仅当 $x\in Z(G)$.

证明: $x\in Z(G)\Leftrightarrow \forall \sigma \in G:\sigma x\sigma ^{-1}=x\Leftrightarrow G(x)=\{x\}$.$\Box$

推论 1.8.20（类方程）:

令 $G$ 是一个群，通过共轭作用于自身，并令 $G(x_{1}),\ldots ,G(x_{m})$ 是该作用的非平凡轨道的完整且唯一的列表。那么

$|G|=|Z(G)|+\sum _{j=1}^{m}(G:{\mathcal {C}}_{G}(x_{j}))$.

证明：由引理 1.8.19 和推论 1.8.16 可得。$\Box$

特殊主题

等变函数

一个集合加上作用在其上的群，构成了一个代数结构。因此，我们可以为这些结构定义某种态射。

定义 1.8.21:

设群 $G$ 作用于集合 $X$ 和 $Y$。函数 $f:X\to Y$ 被称为等变当且仅当

$\forall \sigma \in G,x\in X:\sigma f(x)=f(\sigma x)$.

引理 1.8.22:

p-群

我们现在将研究以下内容

定义 1.8.24:

设 $p$ 为素数。如果 $G$ 是一个群，使得 $|G|=p^{k}$ 对某个 $k\in \mathbb {N}$ 成立，则 $G$ 被称为$p$-群。

推论 23：设 $G$ 为 $p$-群，作用于集合 $S$。则 $|S|\equiv |Z|\ \mathrm {mod} \ p$.

证明：因为 $G$ 是一个 $p$-群，$p$ 整除 $|G*a|$，对于每一个 $a\in A$，其中 $A$ 如引理 21 中定义。因此 $\sum _{a\in A}|G*a|\equiv 0\ \mathrm {mod} \ p$。 ∎

群表示

线性群作用在向量空间上尤其有趣。这些具有特殊的名称，并构成群论中的一个独立子领域，称为群表示论。我们在这里只略微涉及它。

定义 24： 令 $G$ 是一个群，$V$ 是一个在域 $F$ 上的向量空间。那么 $G$ 在 $V$ 上的表示是一个映射 $\Phi \,:\,G\times V\rightarrow V$，使得

i) $\Phi (g)\,:\,V\rightarrow V$ 由 $\Psi (g)(v)=\Psi (g,v)$ 给出，$v\in V$，在线性上是关于 $v$ 在 $F$ 上的。

ii) $\Phi (e,v)=v$

iii) 对于所有 $g_{1},g_{2}\in G$，$v\in V$，$\Phi \left(g_{1},\Phi (g_{2},v)\right)=\Phi (g_{1}g_{2},v)$。

V 被称为表示空间，$V$ 的维度（如果它有限）被称为表示的维度或度数。

注 25: 等价地，$G$ 在 $V$ 上的表示是一个同态 $\phi \,:\,G\rightarrow GL(V,F)$。表示可以通过列出 $V$ 和 $\phi$ 来给出，$(V,\phi )$。

由于表示是群作用的一种特殊类型，我们为作用引入的所有概念都适用于表示。

定义 26: 如果 $\phi \,:\,G\rightarrow GL(V,F)$ 是单射，则称群 $G$ 在向量空间 $V$ 上的表示称为忠实或有效。