抽象代数/群论/正规子群和商群

在初步章节中，我们讨论了集合上的等价类。如果读者还没有掌握这个概念，建议他们在开始本节之前先掌握它。

正规子群

回顾上一节中核的定义。我们将展示它拥有的一个有趣的特征。具体来说，令 $ak\,,\,k\in \ker \,\phi \leq G$ 属于陪集 $a\ker \,\phi$ 。那么存在一个 $k^{\prime }\in \ker \,\phi$ 使得 $k^{\prime }a=ak$ 对所有 $a\in G$ 都成立。这很容易理解，因为核的陪集包含了 $G$ 中映射到特定元素的所有元素。核启发我们去寻找所谓的正规子群。

定义 1： 一个子群 $N\leq G$ 称为正规子群，如果对于所有 $g\in G$ 都有 $gNg^{-1}=N$ 。我们有时会写 $N\trianglelefteq G$ 来强调 $N$ 在 $G$ 中是正规的。

定理 2： 一个子群 $N\leq G$ 是正规子群当且仅当对于所有 $g\in G$ 都有 $gN=Ng$ 。

证明: 根据定义，一个子群是正规的，当且仅当 $gNg^{-1}=N$ ，因为共轭是一个双射。定理通过在右边乘以 $g$ 得出。 ∎

我们在引言中提到过，核是一个正规子群，因此我们最好证明一下！

定理 3： 设 $\phi \,:\,G\rightarrow G^{\prime }$ 是任何同态。那么 $\ker \phi \leq G$ 是正规的。

证明: 令 $k\in \ker \,\phi$ 且 $g\in G$ 。那么 $\phi (gkg^{-1})=\phi (g)e^{\prime }\phi (g)^{-1}=e^{\prime }$ ，所以 $gkg^{-1}\in \ker \phi$ ，证明了定理。 ∎

定理 4： 令 $G,G^{\prime }$ 是群， $\phi \,:\,G\rightarrow G^{\prime }$ 是一个群同态。如果 $H$ 是 $\mathrm {im} \,\phi$ 的正规子群，那么 $\phi ^{-1}(H)$ 是 $G$ 中的正规子群。

证明: 设 $g\in G$ 且 $h\in \phi ^{-1}(H)$ . 则 $\phi (ghg^{-1})=\phi (g)\phi (h)\phi (g)^{-1}\in H$ ，因为 $H$ 在 $\mathrm {im} \,\phi$ 中是正规子群，因此 $ghg^{-1}\in \phi ^{-1}(H)$ ，证明了定理。 ∎

定理 5: 设 $G,G^{\prime }$ 为群，且 $\phi \,:\,G\rightarrow G^{\prime }$ 为群同态。则如果 $H$ 是 $G$ 的正规子群，则 $\phi (H)$ 在 $\mathrm {im} \,\phi$ 中是正规子群。

证明：设 $g^{\prime }\in \mathrm {im} \,\phi$ 且 $h\in H$ 。那么，如果存在 $g\in G$ 使得 $\phi (g)=g^{\prime }$ ，我们有 $g^{\prime }\phi (h){g^{\prime }}^{-1}=\phi (g)\phi (h)\phi (g)^{-1}=\phi (ghg^{-1})=\phi (h^{\prime })\in \phi (H)$ ，其中存在 $h^{\prime }\in H$ ，因为 $H$ 是正规的。因此，对于所有 $g^{\prime }\in \mathrm {im} \,\phi$ 都有 $g^{\prime }\phi (H){g^{\prime }}^{-1}=\phi (H)$ ，因此 $H$ 在 $\mathrm {im} \,\phi$ 中是正规的。∎

推论 6： 设 $G,G^{\prime }$ 为群，且 $\phi \,:\,G\rightarrow G^{\prime }$ 为满射群同态。那么，如果 $H$ 是 $G$ 的一个正规子群，那么 $\phi (H)$ 是 $G^{\prime }$ 的正规子群。

证明：将定理 5 中的 $\mathrm {im} \,\phi$ 替换为 $G^{\prime }$ 。∎

注记 7： 如果 $H$ 是 $G$ 的一个正规子群，且 $K$ 是 $H$ 的一个正规子群，这不一定意味着 $K$ 是 $G$ 的正规子群。鼓励读者提供一个反例。

定理 8： 设 $G$ 为群，且 $H,K$ 为子群。那么

i) 如果

H

是正规子群，那么

HK=KH

是

G

的一个子群。

ii) 如果

H

和

K

都是正规子群，那么

HK=KH

是

G

的正规子群。

iii) 如果

H

和

K

都是正规子群，那么

H\cap K

是

G

的正规子群。

证明: i) 设 $H$ 为正规子群。首先，由于对于每个 $k\in K$ ，都存在 $h,h^{\prime }\in H$ 使得 $kh=h^{\prime }k$ ，所以 $KH=HK$ 。为了证明 $HK$ 是一个子群，设 $hk,h^{\prime }k^{\prime }\in HK$ 。那么 $h^{\prime }k^{\prime }(hk)^{-1}=h^{\prime }k^{\prime }k^{-1}h^{-1}=h^{\prime }h^{\prime \prime }k^{\prime }k^{-1}\in HK$ 对于某个 $h^{\prime \prime }\in H$ ，因为 $H$ 是正规子群，所以 $HK$ 是一个子群。

ii) 令 $g\in G$ 且 $hk\in HK$ 。由于 $H$ 和 $K$ 都是正规子群，因此存在 $h^{\prime }\in H\,,\,k^{\prime }\in K$ 使得 $ghkg^{-1}=ghg^{-1}k^{\prime }=gg^{-1}h^{\prime }k^{\prime }=h^{\prime }k^{\prime }\in HK$ 。由此可知 $gHKg^{-1}=HK$ ，因此 $HK$ 是正规子群。

iii) 令 $g\in G$ 且 $h\in H\cap K$ 。由于 H 是正规子群，因此 $ghg^{-1}\in H$ ，同理 $ghg^{-1}\in K$ 。因此 $ghg^{-1}\in H\cap K$ ，由此可知 $H\cap K$ 是正规子群。 ∎

正规子群的例子

在下文中，令 $G$ 为任何群。然后 $G$ 具有与其相关的以下正规子群。

i) 群

G

的中心，记作

Z(G)

，是与群中所有元素都可交换的元素构成的子群。

Z(G)=\{z\in G\mid (\forall g\in G)zg=gz\}

。很容易验证

Z(G)

是一个正规子群，留给读者证明。

ii) 群

G

的 *交换子群*，记为

G^{(1)}

或

[G,G]

，是由子集

\{[g,h]\mid g,h\in G\}

生成的子群，其中

[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh

对所有

g,h\in G

成立。对于

s\in G

，我们引入简写符号

sgs^{-1}=g^{s}

。那么我们有

s[g,h]s^{-1}=[g^{s},h^{s}]

，因此对于任何交换子乘积

[g_{1},h_{1}][g_{2},h_{2}]...[g_{n},h_{n}]

，其中所有元素都在

G

中，我们有

s[g_{1},h_{1}][g_{2},h_{2}]...[g_{n},h_{n}]s^{-1}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}][g_{2}^{s},h_{2}^{s}]...[g_{n}^{s},h_{n}^{s}]

，因此

G^{(1)}

是正规子群。

注 9: 我们可以迭代交换子群构造，并定义 $G^{(0)}=G$ 和 $G^{(n)}=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]$ 对所有 $n\in \mathbb {N}$ 。我们在本书的后续结果中不会使用交换子群，所以对我们来说它仅仅是一个奇特之处。

群上的等价关系

为什么正规子群很重要？在初步的章节中，我们讨论了等价关系和相关的等价类集合。如果 $G$ 是一个群，并且 $\sim$ 是一个等价关系，那么什么时候 $G/\sim$ 允许一个群结构？当然，我们必须在 $G/\sim$ 上指定乘法。我们现在就来做这件事。

定义 10: 令 $G$ 是一个群，并且 $\sim$ 是 $G$ 上的等价关系，我们在 $G/\sim$ 中的等价类上定义乘法，使得对所有 $a,b\in G$ ，

[a][b]=[ab]

这确实是唯一自然的方式。取两个等价类，选择代表，计算它们的乘积，并取其等价类。警觉的读者心中只会有一件事：这定义良好吗？对于一般的等价关系，答案是否定的。读者可以尝试举出一个例子。更有趣的是，什么时候它定义良好？根据上面的定义，我们显然需要投影映射 $\pi \,:\,G\rightarrow G/\sim$ 由 $a\mapsto [a]$ 定义，成为同态。事实上，我们可以将要求压缩为两个，这两个要求都与消去律有关。

定理 11： 设 $G$ 是一个群， $\sim$ 是 $G$ 上的等价关系。那么 $G/\sim$ 在自然乘法下是一个群，当且仅当对于所有 $a,b,g\in G$

a\sim b\,\Leftrightarrow ag\sim bg\wedge ga\sim gb

.

证明： 假设 $G/\sim$ 是一个群。由于 $a\sim b\,\Leftrightarrow [a]=[b]$ ，该性质来自 $G$ 中的消去律。现在假设该性质成立。那么它的乘法规则是定义良好的，并且必须验证 $G/\sim$ 是一个群。令 $a,b,c\in G$ ，那么结合律来自 $G$

([a][b])[c]=[ab][c]=[(ab)c]=[a(bc)]=[a][bc]=[a]([b][c])

.

$G/\sim$ 中的单位元是 $e\in G$ 的等价类， $[e]$

[e][a]=[ea]=[a]=[ae]=[a][e]

.

最后， $[a]$ 的逆是 $[a^{-1}]$

[g][g^{-1}]=[gg^{-1}]=[e]=[g^{-1}g]=[g^{-1}][g]

.

因此， $G/\sim$ 确实定义了一个群结构，证明了该定理。∎

我们将称等价关系 $\sim$ 与 $G$ 是 “兼容” 的，如果 $G/\sim$ 是一个群。那么， $G/\sim$ 被称为 $G$ 关于 $\sim$ 的 “商群”。另外，作为一个直接的结果，这也使 $\pi \,:\,G\rightarrow G/\sim$ 成为一个同态，但不仅仅是任何同态！它满足一个泛性质！

定理 12: 设 $\sim$ 是与 $G$ 兼容的等价关系，并且 $\phi \,:\,G\rightarrow H$ 是一个群同态，使得 $a\sim b\,\Rightarrow \,\phi (a)=\phi (b)$ 。那么存在一个唯一的同态 ${\tilde {\phi }}\,:\,G/\sim \rightarrow H$ 使得 $\phi ={\tilde {\phi }}\circ \pi$ 。

证明：在集合论的初步章节中，我们展示了集合的对应陈述，所以我们知道 ${\tilde {\phi }}$ 作为集合之间的函数存在。我们需要证明它是一个同态。这立即成立：由于 ${\tilde {\phi }}([a])=\phi (a)$ 由交换律得出，我们有 ${\tilde {\phi }}([a]){\tilde {\phi }}([b])=\phi (a)\phi (b)=\phi (ab)={\tilde {\phi }}([ab])={\tilde {\phi }}([a][b])$ 。正如前面所说， ${\tilde {\phi }}([a])=\phi (a)$ 表明唯一性，证明了定理。 ∎

引理 13：设 $\sim$ 是群 $G$ 上的等价关系，使得 $a\sim b\,\Leftrightarrow ga\sim gb$ 。那么 $H=[e]$ 是 $G$ 的子群，并且 $a\sim b\,\Leftrightarrow \,a^{-1}b\in H\,\Leftrightarrow \,aH=bH$ 。

证明：首先， $H$ 不是空的，因为 $e\in H$ 。令 $a,b\in H$ 。然后 $b\sim e\,\Leftrightarrow \,e\sim b^{-1}$ ，通过在左边乘以 $b^{-1}$ 可以得到。然后由于 $e\sim a$ ，我们有 $a^{-1}\sim e$ ，通过相同的论证可以得到。应用传递性得到 $a^{-1}\sim b^{-1}$ 。最后，在左边乘以 $a$ 得到 $e\sim ab^{-1}$ ，从而得到 $ab^{-1}\in H$ ，因此 $H=[e]$ 是一个子群。

假设 $a\sim b$ 对于 $a,b\in G$ 。然后 $[a]=[b]$ ，这意味着 $[a^{-1}b]=[e]$ 。因此 $a^{-1}b\in [e]$ 。现在假设 $a^{-1}b\in [e]$ 。那么 $[a^{-1}b]=[e]$ ，因此 $[a]=[b]$ ，最后得到 $a\sim b$ 。

假设 $a^{-1}b\in H$ 。由于 $H$ 是一个子群，所以有 $a^{-1}bH=H$ ，因此 $aH=bH$ 。最后，假设 $aH=bH$ 。那么 $a^{-1}bH=H$ 。特别地，由于 $e\in H$ ，这表明 $a^{-1}b\in H$ ，完成了证明。 ∎

使用右陪集和等价关系 $a\sim b\,\Leftrightarrow ag\sim bg$ 和 $a\sim b\,\Leftrightarrow \,ab^{-1}\in H\,\Leftrightarrow \,Ha=Hb$ 的镜像版本完全类似。陈述定理和写出证明留给读者作为练习。

我们已经展示了等价关系如何定义 $G$ 的一个子群。实际上，等价类都是这个子群的所有陪集。现在我们将反过来，展示一个子群如何定义 $G$ 上的等价关系。

引理 14: 令 $H$ 是群 $G$ 的一个子群。那么，

i)

a\sim _{L}b\,\Leftrightarrow \,a^{-1}b\in H\,\Leftrightarrow \,aH=bH

是一个等价关系，使得对于所有

g\in G

，都有

a\sim _{L}b\,\Leftrightarrow \,ga\sim _{L}gb

。

ii)

a\sim _{R}b\,\Leftrightarrow \,ab^{-1}\in H\,\Leftrightarrow \,Ha=Hb

是一个等价关系，使得对于所有

g\in G

，有

a\sim _{R}b\,\Leftrightarrow \,ag\sim _{R}bg

。

证明：我们将证明 i)。 ii) 的证明类似，留给读者作为练习。

在子群部分已经证明了 $\sim$ 是一个等价关系，以及 $a^{-1}b\in H\,\Leftrightarrow \,aH=bH$ 。假设 $a\sim _{L}b$ 。然后对于所有 $g\in G$ ，有 $(ga)^{-1}(gb)=a^{-1}g^{-1}gb=a^{-1}b\in H$ ，因此 $ga\sim _{L}gb$ 。现在假设 $ga\sim _{L}gb$ ，则 $a^{-1}b=a^{-1}g^{-1}gb=(ga)^{-1}(gb)\in H$ ，因此 $a\sim _{L}b$ ，完成证明。 ∎

定理 15：对于 G 上的每个等价关系 $\sim _{L}$ ，使得 $a\sim _{L}b\,\Leftrightarrow ga\sim _{L}gb$ ，存在 G 的唯一子群 $H$ ，使得 $G/\sim$ 正好是 $H$ 的左陪集。

证明：这直接来自引理 13 和引理 14。

同样，镜像语句是完全类似的。定理的陈述留给读者作为练习。

关于正规子群的商群

引理 16：设 $\sim _{L}$ 是由 $a\sim _{L}b:\Leftrightarrow aH=bH$ 给出的等价关系，其中 $H$ 是 G 的子群。那么我们知道 $\sim _{L}$ 兼容当且仅当 $H$ 是正规子群。

证明：假设 $\sim _{L}$ 是兼容的， $g\in G$ 且 $a\in H$ 。那么 $a\sim _{L}e$ ，兼容性给出我们 $gag^{-1}\sim _{L}gg^{-1}=e$ ，所以 $gag^{-1}\in H$ 。由于 $a$ 是任意的，我们得到 $gHg^{-1}=H$ 对于所有 $g\in G$ ，因此 $H$ 是正规的。现在假设 $H$ 是正规的。那么 $aH=bH\,\Leftrightarrow a^{-1}b\in H$ ， $Ha=Hb\,\Leftrightarrow ab^{-1}\in H$ 且 $aH=Ha$ 对于所有 $a,b\in G$ 。利用这一点，我们得到 $a\sim _{L}b\,\Leftrightarrow ab^{-1}=ab^{-1}bg(bg)^{-1}\sim _{L}e\,\Leftrightarrow ab^{-1}bg=ag\sim _{L}bg$ ，类似地对于右侧情况，所以 $\sim _{L}$ 与 $G$ 兼容。 ∎

定义 17： 当等价关系由指定一个正规子群 $H$ 给出时，关于此等价关系的商群表示为 $G/H$ 。然后我们称 $G/H$ 为 $G$ 关于 $H$ 的商群，或者 $G$ 模 $H$ 。注意，这与之前对该符号的定义相符。

在 $G/H$ 中的乘法如前所述，为 $(aH)(bH)=(ab)H$ ，单位元为 $H$ ，并且 $(aH)^{-1}=a^{-1}H$ 对于所有 $a,b\in G$ 成立。

定义 18： 令 $H$ 为 $G$ 的一个正规子群。然后我们定义投影同态 $\pi \,:\,G\rightarrow G/H$ 为 $\pi (a)=aH$ 对于所有 $a\in G$ 成立。

定理 19： 一个子群是正规子群当且仅当它是某个同态的核。

证明：我们已经证明了左边的蕴含关系。对于右边的蕴含关系，假设 $H$ 是正规子群。那么 $G/H$ 是一个群，我们有投影同态 $\pi \,:\,G\rightarrow G/H$ 如上定义。由于对于所有 $h\in H$ 我们有 $\pi (h)=hH=H$ ， $\ker \,\pi =H$ ，因此 $H$ 是一个同态的核。 ∎

定理 20： 令 $G,G^{\prime }$ 为群， $\phi \,:\,G\rightarrow G^{\prime }$ 为一个同态， $H$ 为 $G$ 的一个正规子群，使得 $H\subseteq \ker \,\phi$ 。那么存在一个唯一的同态 ${\tilde {\phi }}\,:\,G/H\rightarrow G^{\prime }$ 使得 ${\tilde {\phi }}\circ \pi =\phi$ 。

证明：这可以从定理 12 中通过令 $a\sim b\,\Leftrightarrow aH=bH$ 得到。 ∎

同构定理

定理 21（第一同构定理）： 设 $G,G^{\prime }$ 是群， $\phi \,:\,G\rightarrow G^{\prime }$ 是一个同态。那么 $G/\ker \,\phi \approx \mathrm {im} \,\phi$ .

证明：由定理 20 可知，存在一个唯一的同态 ${\tilde {\phi }}\,:\,G/\ker \,\phi \rightarrow G^{\prime }$ 使得 $\phi ={\tilde {\phi }}\circ \pi$ 。我们需要证明 ${\tilde {\phi }}$ 当限制到 $\mathrm {im} \,\phi$ 时是一个同构。这是显然的，因为根据引理 13， $\phi (a)=\phi (b)\,\Leftrightarrow a\ker \phi =b\ker \phi$ ，因此 ${\tilde {\phi }}$ 是单射的，并且对于任意的 $g^{\prime }\in \mathrm {im} \,\phi$ ，都存在一个 $g\in G$ 使得 $\phi (g)={\tilde {\phi }}(g\ker \,\phi )=g^{\prime }$ ，因此它是满射的，所以也是同构。 ∎

引理 22： 设 $G$ 是一个群， $H$ 是一个子群， $K$ 是 $G$ 的一个正规子群。那么 $H\cap K$ 是 $H$ 的一个正规子群。

证明：设 $h\in H$ 且 $k\in H\cap K$ 。则 $hkh^{-1}\in H$ ，因为 $h,k\in H$ 且 $H$ 是一个子群，并且 $hkh^{-1}\in K$ ，因为 $k\in K$ ， $h\in G$ 且 $K$ 在 $G$ 中是正规的。因此， $hkh^{-1}\in H\cap K$ ，并且 $H\cap K$ 在 $H$ 中是正规的。 ∎

定理 23（第二同构定理）： 设 $G$ 是一个群， $H$ 是一个子群， $K$ 是 $G$ 的一个正规子群。则 $HK/K\approx {\frac {H}{H\cap K}}$ 。

证明：定义 $\phi \,:\,H\rightarrow HK/K$ 为 $\phi (h)=hK$ ，对于所有 $h\in H$ 。 $\phi$ 是满射，因为 $HK$ 中的任何元素都可以写成 $hk$ ，其中 $h\in H$ 且 $k\in K$ ，所以 $\phi (h)=\pi (hk)=hkK=hK$ 。我们还有 $\ker \,\phi =\{h\in H\mid hK=K\}=\{h\in H\mid h\in K\}=H\cap K$ ，因此根据第一同构定理有 $HK/K\approx {\frac {H}{H\cap K}}$ 。 ∎

引理 24： 令 $G$ 为一个群，令 $H,K$ 为 $G$ 的正规子群，使得 $K\subseteq H\subseteq G$ 。那么 $H/K$ 是 $G/K$ 的一个正规子群。

证明: 令 $h\in H$ 且 $g\in G$ 。则 $ghg^{-1}=h^{\prime }$ 对于某个 $h^{\prime }\in H$ 成立，因为 $H$ 是正规的。因此 $(gK)(hK)(gK)^{-1}=(ghg^{-1})K=h^{\prime }K$ ，表明 $H/K$ 在 $G/K$ 中是正规的。∎

定理 25（第三同构定理） 令 $G$ 为一个群，令 $H,K$ 为 $G$ 的正规子群，使得 $K\subseteq H\subseteq G$ 。则 ${\frac {G/K}{H/K}}\approx G/H$ 。

证明: 令 $\phi \,:\,G/K\rightarrow G/H$ 由 $\phi (gK)=gH$ 给出。由于 $K\subseteq H$ ，它定义良好且满射，并且是一个同态。它的核由 $\ker \,\phi =\{gK\in G/K\mid gH=H\}=\{gK\in G/K\mid g\in H\}=H/K$ 给出，因此根据第一同构定理， ${\frac {G/K}{H/K}}\approx G/H$ 。 ∎

定理 26（对应定理）： 设 $G$ 是一个群， $K$ 是一个正规子群。现在设 $A=\{H\leq G\mid K\leq H\}$ 和 $B=\{H^{\prime }\mid H^{\prime }\leq G/K\}$ 。那么 $\pi \,:\,H\mapsto \pi (H)$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一个保持序的双射。

证明：我们需要证明单射性和满射性。对于单射性，注意到如果 $K\leq H$ ，那么 $\pi ^{-1}(\pi (H))=HK=H$ ，所以如果 $H_{1},H_{2}\in A$ 使得 $\pi (H_{1})=\pi (H_{2})$ ，那么 $H_{1}=\pi ^{-1}(\pi (H_{1}))=\pi ^{-1}(\pi (H_{2}))=H_{2}$ ，证明了单射性。对于满射性，设 $H^{\prime }\in B$ 。那么 $K\leq \pi ^{-1}(H^{\prime })\leq G$ ，使得 $\pi ^{-1}(H^{\prime })\in A$ ，且 $\pi (\pi ^{-1}(H^{\prime }))=H^{\prime }$ ，证明了满射性。最后，由于 $H_{1}\subseteq H_{2}$ 意味着 $\pi (H_{1})\subseteq \pi (H_{2})$ ，双射是保序的。 ∎

注 27： 同态定理有时被称为第四同构定理。

定理 28: 令 $H\in A$ 来自定理 26. 那么 $H$ 是正规子群当且仅当 $\pi (H)$ 在 $G/K$ 中是正规子群，此时 $G/H\approx {\frac {G/K}{\pi (H)}}$ .

证明: 由于 $\pi$ 是满射， $H$ 是正规子群意味着 $\pi (H)$ 是正规子群。假设 $\pi (H)$ 是正规子群。那么 $\pi ^{-1}(\pi (H))=H$ ，因此 $H$ 是正规子群，因为它是一个正规子群的原像。为了证明同构，令 $\phi \,:\,G\rightarrow {\frac {G/K}{\pi (H)}}$ 由投影的复合构成: $\phi \,:\,\pi _{\pi (H)}\circ \pi _{K}$ 。那么 $\ker \,\phi =\{g\in G\mid \phi (g)=\pi (H)\}=\{g\in G\mid \pi (g)\in \pi (H)\}=\pi ^{-1}(\pi (H))=H$ ，因此根据第一同构定理， $G/H\approx {\frac {G/K}{\pi (H)}}$ 。 ∎

推论 29： 令 $G$ 为一个群， $H$ 为一个正规子群。则对于任意 $K^{\prime }\leq G/H$ ，存在唯一子群 $K\leq G$ 使得 $H\leq K\leq G$ 且 $K=K^{\prime }H$ 。此外， $K$ 在 $G$ 中为正规子群当且仅当 $K^{\prime }$ 在 $G/H$ 中为正规子群。