抽象代数/线性代数

读者需要对线性代数有一定的了解。例如，以下陈述

给定向量空间 $V$ 和 $W$，基底分别为 $B$ 和 $C$，维数分别为 $n$ 和 $m$，则线性映射 $f\,:\,V\to W$ 对应于一个唯一的 $m\times n$ 矩阵，该矩阵取决于基底的选择。

应该熟悉。不可能在一节中总结线性代数的相关主题，因此建议读者阅读线性代数书籍。

无论如何，线性代数的核心是研究线性函数，即具有性质 $f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)$ 的函数，其中希腊字母表示标量，罗马字母表示向量。

有限生成向量空间理论的核心是以下内容

每个有限维向量空间$V$都与$\mathbb {F} ^{n}$同构，其中$\mathbb {F}$是某个域，$n\in \mathbb {N}$是某个自然数，称为$V$的维数。指定这样的同构等同于为$V$选择一个基。因此，任何维数为$n$和$m$的向量空间之间的线性映射$f\,:\,V\to W$，在给定基$\phi$和$\psi$的情况下，会诱导一个唯一的线性映射$[f]_{\phi }^{\psi }\,:\,\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$。这些映射正是$m\times n$矩阵，该矩阵称为$f$关于基$\phi ,\psi$的矩阵表示。

备注：将向量空间的基与$\mathbb {F} ^{n}$的同构进行识别，对读者来说可能是一个新的概念，但基本原理是一样的。向量空间的另一个术语是坐标空间，因为空间中的任何点都可以用某个特定基表示为域元素的序列。（所有基在某个非奇异线性变换下都是等价的。）与箭头、长矛或匕首等尖锐物体相关的名称，对于那些不希望拿起这种武器的爱好和平的人来说是令人厌恶的。坐标空间中一个点的方向或方向隐含在实数轴的正方向中（如果该域是实数），或者隐含在域的乘法群的极坐标表达式中设立的方向中。

一个具有基底 $\{e_{1},e_{2},...e_{n}\}$ 的坐标空间 V 的向量可以表示为 $v=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}=(x_{1},x_{2},...x_{n}).$，其中 e_i 除第 i 个位置为 1 外，其余位置均为 0。

作为代数结构，V 是一个阿贝尔群 (向量的加减)、一个标量域 F (x_i 的来源)、其乘法群 F *，以及一个群作用 F * x V → V 的结合体，给出

$(k,v)\mapsto \sum _{i=1}^{n}kx_{i}e_{i}=(kx_{1},kx_{2},...kx_{n}).$ 群作用是标量-向量乘法。

线性变换是从一个坐标空间 V 到另一个坐标空间 W 的映射，对应于一个矩阵 (a_{i j} )。假设 W 的基底是

$\{f_{i}\}_{i=1}^{n}\ {\text{and vectors}}\ \ w=\sum _{i=1}^{n}y_{i}f_{i}=(y_{1},y_{2},...y_{n}).$

那么矩阵 (a_{i j} ) 的元素由 y_j 依赖于 x_i 的变化率给出

$a_{ij}={\frac {\partial y_{j}}{\partial x_{i}}}=$ 常数。

一个常见的案例涉及 V = W 且 n 是一个较小的数字，例如 n = 2。当 F = {实数} = R 时，矩阵集表示为 M(2,R)。作为代数结构，M(2,R) 有两个二元运算，使其成为环：按分量加法和矩阵乘法。参见关于 2x2 实数矩阵 的章节，了解 M(2,R) 被分解为平面代数的铅笔。

更一般地，当 dim V = dim W = n 时，(a_{i j} ) 是一个方阵，是 M(n, F) 的元素，它是一个具有 + 和 x 二元运算的环。这些代数基准作为表示。特别地，当此类矩阵的行或列线性无关时，则存在一个矩阵 (b_{i j} ) 作为关于单位矩阵的乘法逆。可逆矩阵的子集称为一般线性群，GL(n, F)。该群及其子群承担着证明与其相关的物理对称性的责任。

该领域的先驱包括 w:索菲斯·李，他将连续群视为从 1 沿所有方向演变，遵循一个现在以他命名的“代数”。w:赫尔曼·外尔 在爱德华·施图迪的激励下，探索并命名了 GL(n, F) 及其子群，称它们为经典群。