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请在讨论页面上讨论是否应该进行合并。

一个群是一个具有多个特殊性质的集合。群在研究数学的许多不同领域非常有用。群论是对群、其结构和性质的研究。我们在数学中遇到的许多集合，当我们将其与一个运算联系起来时，都具有一定的结构。例如，当我们将整数与乘法或加法联系起来时，整数具有很多性质。通过以群的形式概括这些性质，我们获得了一个强大的工具，可以用来描述所有服从群律的数学对象的许多性质。

一个群是一个集合，比如 $G$ ，以及一个二元运算，我们称之为 $*$ ，满足以下性质

对 $*$ 的封闭性：如果 $a$ 、 $b$ 属于 $G$ ，那么 $a*b$ 也属于 $G$ 。这意味着，如果我们有两个来自 $G$ 的元素，而 $a*b$ 不属于 $G$ ，那么 $G$ 不能是群。
$*$ 的结合律：如果 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是 $G$ 的元素， $(a*b)*c=a*(b*c)$ ，就像加法和乘法一样，但自然数的减法不满足结合律。
存在单位元：在 $G$ 中存在一个元素，我们将其记为 $e$ ，使得对于任何 $a$ 属于 $G$ ，有 $e*a=a*e=a$ 。我们称 $e$ 为单位元，有时也记为 $I$ ， $1$ ，或 $E$ 。
存在逆元：对于任何 $a$ 属于 $G$ ，存在一个元素 $q$ 属于 $G$ ，使得 $q*a=a*q=e$ 。我们通常将 $q$ 记为 $a^{-1}$ 。

任何满足这四个性质的二元运算集合就是一个群。从技术上讲，群是一个集合以及一个运算，可以写成一个有序对 $(G,*)$ ，尽管通常的做法是将群视为集合 $G$ 。但是需要注意的是，给定集合在不同的运算下可以形成不同的群。

注意单位元是唯一的，因为如果 e 和 e' 是单位元，那么 e=ee'=e'。

术语

如果运算是一种加法，我们将该群称为 *加法群*。在这种情况下，标准做法是用 $+$ 表示该运算，用 $0$ 表示单位元，用 $-a$ 表示 $G$ 中 $a$ 的逆元。如果运算是一种乘法，我们将该群称为 *乘法群*。在这种情况下，我们经常使用 $*$ 或一个点表示运算，并简写为 $ab$ 来表示 $a*b$ 。我们经常用 $e$ 或 $1$ 表示单位元，用 $a^{-1}$ 表示 $G$ 中 $a$ 的逆元。

请注意，在我们上面的群公理中，我们并没有假设 *交换律*（这意味着如果我们有任意两个元素 $x$ 和 $y$ ，那么 $x*y=y*x$ ），这是我们在对实数进行代数运算时习惯拥有的性质。这种性质在某些群中成立，而在另一些群中则不成立；如果它对某个特定群成立，我们将该群称为 *阿贝尔群*，以纪念数学家尼尔斯·阿贝尔。按照惯例，只有当群是阿贝尔群时才会谈论加法群（这是因为有很多非交换乘法（例如矩阵乘法）的常见例子，但没有加法的例子）。

我们称集合 $G$ 中元素的个数（即 $G$ 的基数）为群的 *阶*，我们记作 $|G|$ （也可以记作 $O(G)$ 甚至 $\#G$ ，但我们主要使用 $|G|$ ）。群可以具有 *有限* 阶或 *无限* 阶，我们分别称之为有限群和无限群。此外，元素 a 在 G 中的阶是指第一个使得 $a^{n}$ 为单位元的自然数 n。如果不存在这样的 n，则认为它的阶为无限，并且 a 的所有幂都是不同的。

示例

让我们看看一些简单的有限群，看看这些规则是如何应用的，然后再看看一些无限群的例子。

(Z₂,+)

Z₂={0,1}（参见群表）是整数除以 2 后得到的余数集合。只有两种可能的余数，0 和 1。所以在 Z₂ 中，我们有两个元素 {0,1}。这个集合被称为 *模 2 的整数集合*。请注意，一个整数等于它模 2 的余数。例如，9 模 2 等于 1，因为当您将 9 除以 2 时，您最终得到的余数为 1。我们用 "+" 表示模 2 加法运算，定义为整数的普通加法。那么 (Z₂,+) 是一个群吗？

让我们逐一检查要求。

封闭性：可以通过遍历所有可能的情况来快速验证：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0。*因此封闭性成立*。
结合律：a+(b+c)=(a+b)+c（通过遍历所有可能的情况进行证明并不困难，您应该自己验证）。*结合律成立*。
单位元：0+0=0，1+0=1，0+1=1，所以 0 是单位元。*因此存在单位元，事实上它是 0*。
逆元：1+1=2=0 模 2，所以 1 是 1 的逆元。0+0=0，所以 0 是 0 的逆元。由于 0 和 1 是唯一的元素，因此每个元素都有逆元。*因此存在逆元*。

我们已经证明了群的每个性质都满足。所以 (Z₂,+) 是一个群。此外，每个元素都是它自己的逆元，并且单位元是 0。

同理可以证明 Z_m={0,1,...m-1}，即整数除以 m 后得到的余数集合，也是一个群。运算为模 m 加法。

( (Z₅)^*, × )

在 (Z₅)^* 中，（参见群表）这意味着 Z₅ 去掉 0 后，我们有 {1,2,3,4}。这些只是 Z₅ 中具有乘法逆元的元素（参见数论）。令 × 表示模 5 的普通乘法。

同样，让我们逐一检查要求。

封闭性：可以通过观察快速验证：例如，3×4=12=2 模 5。剩下的情况也很容易验证。*因此封闭性成立*。
结合律：a×(b×c)=(a×b)×c（同样，通过情况进行证明并不困难）。*结合律成立*。
单位元：1×1=1，1×2=2，1×3=3，1×4=4。所以 1 是乘法运算的单位元。*因此存在单位元*。
逆元：1×1=1，所以 1 是 1 的逆元。2×3=6=1 模 5，所以 2 和 3 互为逆元。而 4×4=16=1 模 5，所以 4 是它自己的逆元。*因此存在逆元*。

因此 ((Z₅)^*, ×) 是一个群。

注意

Z₅={0,1,2,3,4} 是模 5 的 *加法* 群，(Z₅)^*={1,2,3,4} 是模 5 的 *乘法* 群。乘法群只是加法群去掉了 0。原因是，要形成一个群，我们需要每个元素都有逆元。但 0 没有乘法逆元（也就是说，不存在整数 a 使得 0×a=a×0=1），因此我们把它排除在外，形成乘法群。

(Z, +)

整数在加法运算 + 下构成一个群。同样，为了证明这一点，我们只需要检查上面的四个群公理是否满足即可。

封闭性：我们需要的是，如果 a 和 b 是整数，那么 a+b 也是整数。但这根据定义是正确的。*封闭性成立*。
结合律：我们需要的是，如果 a、b 和 c 是整数，那么 (a+b)+c=a+(b+c)。但是，我们知道这在普通加法中是正确的。*因此结合律成立*。
单位元：0 是单位元，因为 0+a=a+0=a，对于任何整数 a 都是如此。*因此存在单位元*。
逆元：a 的逆元是 -a，因为 -a+a=a+-a=0，对于任何整数 a 都是如此。*因此存在逆元*。

所以 (Z,+) 是一个群。

(Q, ×)

Q 是所有有理数的集合；即可以表示为两个整数的比率的数， $a/b$ .

(Q, ×) *不是* 一个群。封闭性、结合律和单位元公理都成立，但由于 0 ∈ Q，0 的逆元必须是 1/0，而这没有意义；0 没有逆元，所以 (Q, ×) 不是一个群。如果我们从 Q 中去掉 0，我们就能得到一个群。

然而，它 *是* 一种称为 *幺半群* 的对象，这基本上是一个“没有逆元的群”。还有几种其他类型的类似对象（例如，“类群”和“半群”），它们满足一些群性质，但不满足其他性质。在本节中，我们不会讨论它们。

置换

群可以不仅仅是数字的抽象概念。让我们考虑一下*排列*：排列是对一些符号的重新排列，使得这些符号处于不同的顺序。因此，例如，(a, b, c) 的一个排列可以是 (b, c, a)。我们已经重新排列了 (a, b, c)，所以 a 是最后的。暂时，让我们用箭头来写 (a, b, c) 的排列，因此上面的排列可以写成 (a, b, c) → (b, c, a)。我们甚至可以给这个排列起一个名字，所以，我们可以说 (a, b, c) → (b, c, a) 是一个排列 p。

具有三个元素的排列集合构成一个群。如果我们将 * 作为我们的运算，那么让 x*y 表示 “对三个元素的顺序进行 y，然后再进行 x”。

例如，如果我们让

x 表示 (a, b, c) → (c, b, a)，并且

y 表示 (a, b, c) → (a, c, b)，那么我们有

x*y 首先将 (a, b, c) 变成 (a, c, b)（记住我们先进行 y），

然后将其变成 (b, c, a)。

注意：我们先进行 y 而不是 x 的原因可能看起来很奇怪，但这是因为这种运算基于函数的组合。

闭包：所有三个符号的重新排列也是重新排列；像 (a,b,c) → (a,a,b) 这样的情况不可能发生。
结合律：这可以通过检查来验证。
单位元： (a,b,c) → (a,b,c)。
逆元：这可以通过检查来验证。如果我们对某些东西进行排列，我们显然可以撤销我们的操作以获得我们开始时的状态。如果我们翻转前两个元素，我们可以再次翻转它们来撤销我们的操作。

所有对 n 个对象（即 {1,...,n}）进行排列的群是一个重要的群。它被称为对称群，记为 S_n，其阶为 n!（n 的阶乘）。我们可以将其扩展到任何集合 S 的排列 - 在这种情况下，我们写成 Sym(S)。

注意：这是一个很好的例子，说明一个群不是阿贝尔群。从上面的例子中可以看到

x*y(a,b,c)=(a,c,b)

而

y*x(a,b,c)=(c,a,b)

。（尝试自己验证这一点。）这通常是大多数排列的真实情况。

子群

在数学中的其他概念中，通常存在类似俄罗斯套娃的结构。

如果我们打开套娃，通常里面会有一个相同但更小的套娃。如果我们打开那个套娃，里面又会有一个更小的套娃，以此类推。

这种类似俄罗斯套娃的行为遍布诸如向量空间、域等事物。在某些向量空间内部，可能存在另一个更小的向量空间，以此类推。我们在群中也拥有这种属性。在群内部可能存在其他更小的群。

定义

子群是一个群的子集，它本身也是一个群。为了证明一个子群是一个群，我们只需要检查以下几点：

闭包
单位元的存在
逆元的存在

我们不需要检查结合律，因为这是由更大的群“给定”的。如果群是有限的，那么我们不需要检查第三条，因为如果子群中一个元素的阶为 n，那么 $a^{n-1}$ 是它的逆元。

很明显，只包含单位元 ({e}, *) 的集合始终是一个子群。在上面 Z₂ 的例子中，({0}, +) 是一个子群。只包含单位元的子群被称为平凡子群。

例如，在加法下偶数构成在加法下整数的一个子群。但是，奇数不构成子群（因为 1+1=2，它不是奇数，所以违反了闭包，并且 0 不是奇数，所以它们没有单位元）。

习题

根据上述规则，回答以下问题（偶数题的答案在后面）。

Z₂ 在加法下是否是 Z 的子群？
(Z₂, ×) 是一个群吗？（× 表示模 2 乘法）。(Z₂^*, ×) 呢？
找出 Z₃ 的所有子群
找出 (Z, +) 的一个子群
证明三个元素的排列是结合的，并且有逆元。（提示：写出所有有效的排列）
找到三个元素排列的一个非平凡子群。
Z₂ 在模 5 加法下是否是 Z₅ 的子群？
令 S 是群 G 的一个子集。我们定义由 S 生成的集合，记为 <S>，为所有有限乘积 x₀x₁x₂...x_n 的集合，其中对于每个 i，0<i>n，x_i 或 x_i⁻¹ ∈ S。证明 <S> 是 G 的子群。

术语和公式的“语法”可能令人困惑。尝试将以下群公式从“加法”符号转换为“乘法”符号。假设 a,b,c∈G，但不假设群是阿贝尔群，即使我们使用的是加法符号！

a + b - c
2b + c
a + b - a
a - a = 0
如果 a + b = 0，则 b = -a

现在尝试将这些“乘法”公式转换为“函数组合”语法。理想情况下，您可以将 ab 翻译成 a ° b 或 a(b(x))。

a × b × c⁻¹ = 1
aba⁻¹ ∈ H

答案

2. Z₂ 不是，因为 0 没有乘法逆元。Z₂^* 是。

4. 偶数是在 (Z, +) 下的一个子群

6. {(a,b,c)→(a,b,c), (a,b,c)→(c,b,a)}

8. 我们需要检查三个属性来确保 H=<S> 是一个子群。

闭包：由于 H 中的元素是 S 中元素或其逆元乘以彼此的有限序列，对于 H 中的两个元素，我们可以取 S 的两个序列并将它们连接起来以得到另一个 S 中元素的序列，这将产生另一个 H 中的元素。
单位元：由于对于 S 中的任何元素 x，x 和 x^-1 都在 H 中，根据闭包，x * x^-1 = 1（单位元）也在 H 中。
逆元：这在 H 的定义中给出。

然后 H 是 G 的子群。

10. b² × c 或 b²c

12. a × a^-1 = 1 or aa^-1 = 1 or even a ÷ a = 1. 注意“单位元”元素的名称是如何改变的。

14. a ° b °C^-1 = I，其中 I 是恒等函数 I(x) ≡ x，对于所有 x。 or
a(b(c^-1(x))) = x

没有答案的问题

以下是一些证明题，供您尝试。这里没有答案，因为可能有多种方法来回答以下问题。

考虑一个有限群 G。证明对于所有 x ∈ G，存在一个整数 n 使得 xⁿ=e。满足此条件的最小正整数称为元素 x 的阶；我们在此用 |x| 表示阶。
设 a ∈ G。证明如果 a*b =e，则 b*a = e。也就是说，任何右逆都是左逆。
证明单位元是唯一的。
证明元素的逆元是唯一的。
设 a ∈ G。证明 (a⁻¹)⁻¹ = a。
(困难) 设 G 是一个有限阿贝尔群。证明存在 x₀,x₁,x₂,...,x_k 使得 x₀^a₀x₁^a₁x₂^a₂...x_k^a_k 唯一地生成 G 的元素，其中 0 ≤ a_m ≤ |x_m| 对于 0 ≤ m ≤ k。

陪集

陪集与子群的概念有关。假设我们有一个群 G 的子群 H。如果我们取一个元素 g ∈ G，并形成集合 {g*h|h ∈ H}，我们就得到了 H 的左陪集，我们写成 gH。由于交换律没有保证，我们也有 H 的右陪集，它是 {h*g|h ∈ H}，写成 Hg。

示例

让我们看一下 (Z4,+), 其中 + 表示模 4 加法。Z4 包含 {0,1,2,3}，并且，Z4 的一个子群是 {0, 2}。

现在，根据我们的定义，我们可以找到 Z4 的左陪集。我们有 {g+h|h ∈ H}，其中 g 是 G 中的某个元素。

首先，我们取 0 ∈ G。那么我们遇到的第一个陪集是 {0+h|h ∈ H}={0, 2}。

取 1 ∈ G，所以 {1+h|h ∈ H}，我们得到 {1, 3}。

取 2 ∈ G，我们得到 {2, 0}={0, 2}。

最后，取 3 ∈ G，我们再次得到最后的陪集 {1, 3}。

示例

在 (Z12,+) ("时钟算术") 中，有几个子群可供选择，因此有许多陪集集合需要检查。我们的群 G 是 Z12 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}；让我们看一下 H6、H4、H3 和 H2。

查找 Z12 子群的陪集

H6 的陪集
H6 =	{	0	,	6	}
1 →	{	1	,	7	}
2 →	{	2	,	8	}
3 →	{	3	,	9	}
4 →	{	4	,	10	}
5 →	{	5	,	11	}

H4 的陪集
H4 =	{	0	,	4	,	8	}
1 →	{	1	,	5	,	9	}
2 →	{	2	,	6	,	10	}
3 →	{	3	,	7	,	11	}

H3 的陪集
H3 =	{	0	,	3	,	6	,	9	}
1 →	{	1	,	4	,	7	,	10	}
2 →	{	2	,	5	,	8	,	11	}

H2 的陪集
H2 =	{	0	,	2	,	4	,	6	,	8	,	10	}
1 →	{	1	,	3	,	5	,	7	,	9	,	11	}

定义：子群 H 的指数是它在 G 中具有的陪集数量。有时写成 [G:H]

属性

从上面我们可以推断出什么？我们可以看到，如果 G 是群，H 是子群，

陪集划分 G；G 中的每个元素都属于一个且仅属于一个陪集。换句话说，陪集要么相同，要么 不相交。这意味着我们得到的陪集要么必须相等（如上所述，{0, 2}、{2, 0} = {0, 2} 都是同一个集合），要么它们没有共同元素（如上所述，{1, 3} 和 {0, 2} 没有共同元素）。
x 和 y 在同一个陪集 iff x⁻¹y ∈ H - 因为这是一个等价关系，所以我们有上面的划分事实。
gH 的大小等于 H 的大小，因为 h → gh 是一个双射，如果两个集合之间存在双射，那么这些集合的大小必须相同。

拉格朗日定理和陪集

陪集用于证明一个有趣的结论，称为 拉格朗日定理，它告诉我们子群的大小如何与较大群的大小相关。为了使用我们的俄罗斯套娃类比，它告诉我们里面所有玩偶会小到什么程度。

首先，拉格朗日定理告诉我们

如果 G 是一个群，H 是一个子群，那么 |G|=[G:H]|H|。

因此，我们可以使用拉格朗日定理在群是有限的情况下获得群具有的陪集数量。

如果 G 是一个群，H 是一个子群，那么有 |G|/|H| 个陪集。

我们将 H 在 G 中的陪集数量写成 (G:H)。

为什么这是真的？请记住，群的陪集会将其划分；群中的每个元素都属于一个且仅属于一个陪集 - 如果我们取所有陪集的并集，我们就会得到原始群。显然，所有陪集中的元素数量将是相同的；回想一下我们的定义，{g*h|h∈H} 会给我们一个陪集，我们将 H 的所有元素乘以 g。

因此，如果我们在一个陪集中有 |H| 个元素，并且我们有 n 个陪集（并且由于我们不能有陪集的一部分）|H| 必须整除 |G|。

特殊群

在您学习群论时，您可能会反复遇到许多群。实际上，它们可能是相当特殊的群，在本节中，我们将讨论其中的一些群。

正规子群、半直积和商群

考虑群 (Z, +) 和 Z 的子集，该子集由 n 的倍数组成，它是 (Z,+) 的一个子群，我们可以写成 (n Z, +)。这两个群都是阿贝尔群，因为通常的加法是可交换的。如果考虑这个群及其陪集，我们就会得到模 n 的整数群 Z/n Z - 这只是 Z_n。

更一般地，对于任何阿贝尔群 G 和子群 H，我们可以构建上面这样的群，我们称之为 G 对 H 的商群，如下所示。如果我们定义 G 的两个元素是等价的，如果它们的差值在 H 中，即它们属于同一个陪集。由于陪集将群 G 分割，所以它显然是一个等价关系。

现在让我们定义 G 的两个子集 H 和 K 的半直积 HK，简单地是所有元素 hk，其中 h 在 H 中，k 在 K 中。我们使用以下结果来建立 HK 是一个群的事实。

定理：设 H 和 K 是 G 的子群。HK 是一个子群当且仅当 HK=KH，并且 HK 是 H 和 K 并集生成的群。

证明：由于 HK 是一个子群，其逆元的群 $(HK)^{-1}$ 必须相同。由于 $HK=(HK)^{-1}=K^{-1}H^{-1}=KH$ ，因为 H 和 K 都是群。因此，HK=KH。反之，假设 HK=KH。那么逆元的集合 $(HK)^{-1}=K^{-1}H^{-1}=KH=HK$ ，所以它包含所有逆元。此外，它是封闭的，因为 (HK)(HK)=H(KH)K=(HH)(KK)=HK。子群 HK 必须包含 H 和 K，因此它是其并集生成的群。

现在考虑陪集 gH 和 g'H。两个陪集 gH 和 g'H 的乘积是否与 (gg')H 相同？并不总是这样，但可以证明在满足一个条件的情况下，情况确实如此。

定理：设 H 是 G 的一个子群。那么，两个陪集 (gH)(g'H) 的乘积与陪集 (gg')H 相同当且仅当 $aHa^{-1}=H$ 对 G 中的所有 a 成立。

证明：假设 $aHa^{-1}=H$ 对 G 中的所有 a 成立。那么 (gH)(g'H)= $(gg'(g'^{-1}Hg'H)=gg'HH=gg'H$ 。反之，假设 (gH)(g'H)=(gg')H。那么 $aHa^{-1}$ 必须是 $aHa^{-1}H$ 的子集，因为 H 包含单位元。当然，这与 $aa^{-1}H$ =H 相同，这意味着 $aHa^{-1}$ 是 H 的子集。这也意味着 H 是 $a^{-1}Ha$ 的子集，用 $a^{-1}$ 代替 a，我们得到 H 是 $aHa^{-1}$ 的子集，这意味着 $aHa^{-1}$ 与 H 相同。

如果 g 是 G 的任意元素，H 是任意子群，则以下语句等价，如果它们成立，则 H 被称为正规子群。

gHg⁻¹=H
gHg⁻¹⊂H
gH = Hg
每个左陪集都是右陪集。
每个右陪集都是左陪集。

注意，阿贝尔群的任何子群都是正规子群。这很容易看出来 - 取 gH 和 Hg（同样，H 是 G 的一个子群）。如果我们写 H={h₀=e, h₁, ..., h_n}，那么 gH = {gh₀=e, gh₁, ..., gh_n}，但是，由于 G 是阿贝尔群，我们可以写 {h₀g=e, h₁g, ..., h_ng}，它恰好是 Hg。

请注意，3. 并不意味着 g 与 H 中的每个元素都可交换，而只是与集合 H 可交换。

现在我们可以构造商群。设 H 是 G 的一个正规子群。然后取 H 的左陪集（或右陪集，结果相同）。然后定义

(aH)(bH)=(ab)H。

请注意，这是定义良好的，因为这个群运算本质上是集合乘积，因此，如果 a' 和 b' 在 aH 和 bH 中，那么 a'H 和 b'H 是相同的陪集，所以 (a'b')H=(a'H)(b'H) 与 aH 和 bH 的乘积相同。

现在我们证明在该运算下陪集集合是一个群。首先，它显然是封闭的，因为正如我们之前证明的那样，两个陪集的乘积本身就是一个陪集。该集合中的结合性遵循群中的结合性，因为 (aH)(bH)=(ab)H。单位元是 1H=H，即子群 H 本身。aH 的逆是 $a^{-1}H$ .

这个 H 在 G 中的陪集群被称为商群，记作 G/H。

示例

考虑三个元素上的置换群。为简单起见，将 (2,3,1) 用于置换 (1,2,3)→(2,3,1)。然后，如果我们取 N 为正规子群 { (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) }，该群与 S₃ 的每个元素都可交换。考虑 S₃ 中的每个元素 s

s = (1,2,3): sN = N = Ns
s = (1,3,2): sN = { (1,3,2)(1,2,3), (1,3,2)(2,3,1), (1,3,2)(3,1,2) } = { (1,3,2), (2,1,3), (3,2,1) } = { (1,3,2), (3,2,1), (2,1,3) } = { (1,2,3)(1,3,2), (2,3,1)(1,3,2), (3,1,2)(1,3,2) } = Ns。
对于其他元素 s ∈ S，sN 给出上述两个陪集之一。你可以自己检查一下。

请注意，(1,3,2) 不与 N 的两个元素交换，但它确实与子群 N 本身交换。

循环群

让我们看看群 (Z₅, +)。这是一个加法群。让我们看一下 Z₅ 中的一个特定元素：2。

观察，在 Z₅ 中

2 = 2（当然）

2+2 = 4

2+2+2 = 6 = 1

2+2+2+2 = 8 = 3

2+2+2+2+2 = 10 = 0

在将 2 不断加到自身后，我们看到这样已经生成了整个集合 Z₅！因此，我们称这个元素为一个 生成元（可能存在一个元素无法生成整个集合的情况，但原始群的子集可以做到，在这种情况下，我们称该集合为一个 生成集）。

如前所述，无论群运算加法还是乘法，我们将对某个元素 a 进行 n 次群运算的应用写为 aⁿ，因此，如果我们想在 Z₅ 中表示 2+2+2+2，我们通常只写 2⁴。

具有一个元素生成群的性质的群被称为 循环群。

示例

(Z,+)

在加法下的整数群 (Z,+) 中，每个元素 x 都可以写成 $x=1^{n}=1+1+...+1$ 的形式，其中 n = x。这意味着 1 是该群的生成元。

属性

值得注意的一个有趣的性质是，所有循环群都是阿贝尔群，因为对于任何 x = g^a, y = g^b ∈ G

x\cdot y=g^{a}\cdot g^{b}=g^{a+b}=g^{b+a}=g^{b}\cdot g^{a}=y\cdot x

.

练习

验证 1、3 和 4 也是 (Z₅, +) 的生成元。
设 G 的阶为 n，并设它由 a 生成。然后证明以下等价
1. $a^{x}$ 的阶为 n。
2. n 和 x 互质。
3. 存在一个数 y 使得 xy 与 1 模 n 同余。

对称群

我们之前已经接触过对称群，所以让我们回顾一下：n 个元素的对称群是所有 n 个对象的置换的群。我们也可以谈论集合 J 的对称群，其中置换是 J 的元素的置换。

如果我们指的是 n 个元素的对称群，我们写 S_n，如果是集合 J，我们写 Sym(J)。

S_n 的阶是 n!。因此，随着 n 的增加，S_n 中的元素数量增长得非常快。

交错群

对称群的一个特例是交错群。

现在，让我们先假设对于任何有限的对象序列，任何奇数个换位的组合都不会给出恒等置换。我们稍后会回到这个语句的证明。

首先，如果我们对一些对象进行了一些置换，并且我们希望将它恢复到对象的恒等置换（恢复顺序），我们可以不断交换两个对象，直到所有对象都恢复顺序。如果我们必须交换这些对象奇数次，我们称该置换为 奇置换，同样，如果我们必须交换偶数次，我们称该置换为 偶置换。

仅包含偶置换的群也是一个群，我们称它为 n 个元素的 交错群，我们记为 A_n

二面体群

阶为 2n 的二面体群是具有生成元 R 和 F 的群，使得

$R^{n}$ =I, $F^{2}$ =I, $RF=FR^{-}$ ，其中 I 表示单位元。

这里，我们可以将 R 视为旋转，将 F 视为反射。直观地，我们可以将二面体群理解为正多边形所有对称性的集合。

群同态

到目前为止，我们只考虑了如何观察一个集合与其关联的运算之间的关系，即群本身是如何运作的。但是，我们如何检查两个群之间的关系呢？

我们通过考虑从一个群中获取元素并将其映射到另一个群中的特殊函数来查看群之间的关系。我们将这些函数称为一个特殊的名称，同态，它们有不同的类型

同态
- 单同态是单射或一对一同态。
- 满同态是满射或映上的同态。
- 同构是双射同态。
- 自同态是从一个群到自身的同态。
- 自同构是从一个群到自身的同构。

（同构和自同构是同态的特殊情况）

检查同态允许我们对群之间的关系进行重要分析。例如，如果两个群之间存在同构，那么这两个群本质上是相同的。事实上，子群与原始群之间的关系可以通过单射同态来表征（见下文）。

所有这些同态都具有一个重要且基本的性质：据说它们“尊重群结构”。我们将在下面看到这意味着什么。

同态

如果我们有两个群 (G₁, *) 和 (G₂, o)，一个同态是从 G₁ 到 G₂ 的一个映射或函数 f，其中 x 和 y 是 G₁ 中的元素，使得

f(x * y) = f(x) o f(y).

重要的是要认识到映射没有限制。这种映射的行为与函数完全相同：它可以是单射——同态将 G₁ 中的所有元素映射到 G₂ 的唯一元素（在这种情况下，同态有时被称为单同态），或者它可以是满射——同态将 G₁ 中的一些（或全部）元素映射到 G₂ 中的所有元素（在这种情况下，同态有时被称为满同态），甚至两者兼而有之，在这种情况下它是一个同构。

就像抽象代数的其他领域（如线性代数（其中线性变换只是同态）一样，在群论中我们也有核的概念。同态是一个群中某些元素到另一个群的映射。这种同态的核是映射到另一个群的单位元的所有群元素的集合。

因此，如果我们有最平凡的同态，即映射整个群到 ({0},+) 的同态，那么核将是整个群。在频谱的另一端，同构的核只包含单位元。事实上，它的逆命题也是正确的。

一个例子

你已经遇到过三个元素上的排列群，我们有这个群的一个子群，即 {(a,b,c)→(a,b,c), (a,b,c)→(c,b,a)} 在执行第一个排列然后是第二个排列的操作下——将其表示为 *。为方便起见，我们将写 e=(a,b,c)→(a,b,c)，以及 x=(a,b,c)→(c,b,a)。

我们还遇到了群 Z₂，{0, 1} 在模 2 加法运算下。

如果你愿意，请验证这两个群实际上是群，以进行练习。

我们将定义一个映射 f，使得 e 映射到 0，x 映射到 1。我们可以通过情况来证明 f 是一个同态，因为这些群很小。但是，当它们很大时，如果 f 被适当定义，我们可以通过代数来做到这一点。

f(e*x)=f(e)+f(x)=0+1=1, f(e*x)=f(x)=1

f(x*e)=f(x)+f(e)=1+0=1, f(x*e)=f(x)=1

f(e*e)=f(e)+f(e)=0, f(e*e)=f(e)=0

f(x*x)=f(x)+f(x)=0, f(x*x)=f(e)=0

所以 f 因此是一个群同态。

核

我们将 G₁ 中映射到 G₂ 单位元的所有元素称为 f 的核，表示为 Ker(f)。我们可以从这个集合中发现什么呢？

假设 a,b ∈ G₁ 且 f(a) = f(b) = 1_G₂，也就是说，a 和 b 在核中。那么 f(a * b) = f(a) o f(b) = 1_G₂，所以 a * b 也在核中。也就是说，核是封闭的。此外，f(1_G₁) = f(1_G₁ * 1_G₁) = f(1_G₁) o f(1_G₁)，所以 f(1_G₁) = 1_G₂。也就是说，G₁ 的单位元在核中。还有一件事是 1_G₂ = f(1_G₁) = f(a * a⁻¹) = f(a) o f(a⁻¹) = 1_G₂ o f(a⁻¹) = f(a⁻¹)，即核包含逆元。核是封闭的，有单位元，并且包含其元素的逆元。这意味着核是 G₁ 的一个子群。

核也是一个正规子群。证明。令 b ∈ Ker(f) 且 a ∈ G。现在 f(a * b * a⁻¹) = f(a) o f(b) o f(a⁻¹) = f(a) o e o f(a⁻¹) = f(a) o f(a)⁻¹ = e，这意味着 a * b * a⁻¹ ∈ Ker(f)，因此它是一个正规子群。

所以每个同态都会在 G₁ 中给我们一个正规子群。反之也是正确的：每个正规子群 N 都会产生一个同态。同态由 f(a) = aN = Na 给出，其中 a ∈ G₁ 且 aN ∈ G₂。也就是说，G₂ 的元素是 N 的陪集。尝试通过检查 f(a * b) = f(a) o f(b) 来验证这是一个同态。G₂ 被称为 G₁ 的商群，这种关系写成 G₂ = G₁/N。稍后将详细介绍。

然后，来自 G₁ 的同态与 G₁ 的正规子群一一对应。同态和正规子群实际上是观察同一事物的两种方式。

一个例子

核在表征子群方面也很有用。这里有一个例子。回想一下，交错群是 S_n 的子群，包含偶排列。在选择偶排列时，我们从 S_n 到 (Z₂,+) 创建了一个满射同态。偶排列映射到单位元 0，而奇排列映射到 1。

然后，核是 S_n 的所有偶排列。

请注意，这也表明为什么我们不选择所有奇排列，因为选择核更自然。

同构

在考虑某类数学对象时，一个合乎逻辑的问题是询问两个对象何时相同。例如，我们通常认为全等三角形是相同的。但是，请注意，通常有多种方式来定义相同性的关系。例如，在不同的上下文中，我们可能想要将所有相似三角形称为相同。群的相同性关系称为同构。

在处理集合时，如果两个集合具有相同的基数，我们认为这两个集合相同——也就是说，如果一个集合可以双射映射到另一个集合。由于群是集合，因此为了使两个群相同，它们应该作为集合相同，因此为了使两个群 G 和 G' 同构，我们要求存在从 G 到 G' 的双射映射。但是，群比集合具有更多的结构，因此我们应该要求我们对相同性的概念保留这种结构。

考虑到这一点，我们定义两个群 (G, *) 和 (G', o) 是同构的，如果存在一个双射 f: G → G'，使得 f(x * y) = f(x) o f(y)。这种双射称为从 G 到 G' 的同构。

任何核仅包含单位元的满射同态 f 都是同构。为了证明这一点，我们必须证明 f 是单射。假设 f(g) = f(h)。则 f(g*h⁻¹) = f(g)*f(h⁻¹) = f(g)*f(h)⁻¹ = 1_G₂ => g*h⁻¹ = 1_G₁ => g = h。

一个例子

让我们看看两个小的群 B=(Z₂,+) 和 C=({1, -1}, ×)，其中 + 表示模 2 加法。

为了清楚起见，我们将 B 中的元素 “1” 表示为 1_B，并将 C 中的元素 “1” 表示为 1_C。我们可以通过定义 f 将 0 映射到 1_C，将 1_B 映射到 -1 来创建一个同构。

我们需要证明 f 满足同构的定义属性。显然 f 是双射，因为它通过观察是单射和满射。现在只需证明 f 尊重群结构，我们就证明了 B 和 C 是同构的。

回想一下，要证明 f 尊重群结构，我们需要证明 f(x+y)=f(x)×f(y)。由于这两个群仍然相对较小，我们可以通过情况来轻松做到这一点，但是当它们很大时，如果 f 定义得当，我们可以通过代数来做到这一点。

f(0+0)=f(0)×f(0)=1_C×1_C=1_C, f(0+0)=f(0)=1_C

f(0+1_B)=f(0)×f(1_B)=-1, f(0+1_B)=f(1_B)=-1

f(1_B+0)=f(1_B)×f(0)=-1×1_C=-1, f(1_B+0)=f(1_B)=-1

f(1_B+1_B)=f(1_B)×f(1_B)=-1×-1=1_C, f(1_B+1_B)=f(0)=1_C

f 是同构，所以 B 和 C 是同构的。

两个群具有相同元素集的例子

我们来看看我们熟悉的朋友 (Z₃\{0}, ×)

通常，我们有乘法表

{\begin{matrix}\times &1&2\\1&1&2\\2&2&1\\\end{matrix}}

然后考虑同态 f，使得 f(x)=2×x（当然模 3）。应用此同态，我们得到乘法表

{\begin{matrix}\times &1&2\\1&2&1\\2&1&2\\\end{matrix}}

凯莱定理

传统上，只考虑置换群。我们公理化的处理方法消除了无关的因素，但它实际上并没有给我们一类更一般的对象。因为有一个由阿瑟·凯莱提出的定理，它说每个有限群都同构于一个置换群的子群——对称群。

证明

我们证明 G 同构于其自身置换群 Sym(G) 的一个子群。给定一个元素 g ∈ G，我们将 g 与函数 G → G 识别，该函数将元素 h ∈ G 发送到 g*h。我们需要证明这个函数是双射，因此是一个置换。假设 g*x = g*y。然后在左边乘以 g⁻¹，我们看到 x = y，所以这个函数是单射。为了证明它是满射，设 y ∈ G，那么这个函数将 g⁻¹*y 发送到 g*g⁻¹*y = y。因此这个函数是满射和一个转置。

我们必须证明每个元素 g 都定义一个不同的置换。要看到这一点，假设 g*x = g'*x。然后在右边乘以 x⁻¹，我们看到 g = g'。

最后，我们必须证明我们的映射 G → Sym(G) 尊重群结构。这留给读者作为练习。

自同构

定义

如果我们有一个从群 (G, *) 到 (G, *) 的同构——本质上是群与其自身的同构？当我们能够创建这种同构时，我们称之为自同构。

一种特定类型的自同构是内自同构，它对所有元素进行共轭，这意味着它是一种形式为 f:G->G 的自同构，由 f(h)=ghg⁻¹ 给出。如果一个自同构不是内自同构，那么我们称之为外自同构。

一个例子

在 Z₃ 中，我们将 1 和 2 互换。

在这个群中，“0” 是不同的，但“1” 和“2” 本质上是相同的：将其中一个加到自身会得到另一个，将两者加起来得到 0，将 0 加到任何元素都会得到（当然）相同的。因此，在乘法表中互换 1 和 2 会得到相同的表。我们可以认为“1” 和“2” 是两个相同事物的不同标签——自同构交换了这两个标签。如果我们有一个这个群的乘法（加法）表，但元素标记为 a、b 和 c，我们可以识别出哪个是单位元，但我们无法区分另外两个。

Z₃
+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

Z_abc : 0→a, 1→b, 2→c
+	a	b	c
a	a	b	c
b	b	c	a
c	c	a	b

Z_acb : 0→a, 1→c, 2→b
+	a	c	b
a	a	c	b
c	c	b	a
b	b	a	c

请注意 Z_abc = Z_acb。例如，在两个群中 b + c = a。

以下包含一些未排序的定义

简单群是一个没有真正常子群的群。群的自同构群是所有保留群结构的双射变换的群。如果我们有一个满射同态 f:G->K，其核为 H，以及一个同态 g:K->G，使得 fg:K->K 是单位同态，那么我们说 G（同构于）H 和 K 的半直积。群的中心是与群中所有其他元素交换的子群。

习题

证明群的中心始终是一个子群。
证明置换群 S_n 的共轭类与 n 的划分之间存在一一对应关系。

同构定理

因子定理 设 G 为一个群，N 为一个正常子群。设 f 为从 G 到 H 的同态，其核 K 包含 N。设 g 为从 G 到商空间 G/N 的同态，其中 g(a)=gN，即从元素到包含它的陪集的映射。则存在从 G/N 到 H 的同态 f'，使得 f'(g(a))=f(a) 对 G 的所有元素都成立。当且仅当 f 本身是满射时，此 f' 将是满射，并且当且仅当核 K 不包含除 N 之外的任何元素时，它将是单射，即 K=N。

证明为了使 f'(g(a)) 等于 f(a)，f'(aN) 必须等于 f(a)，这表明 f' 是唯一的。这个函数是良定义的，因为假设 a 和 b 属于同一个陪集。那么 $ab{-1}$ 属于 N，因此属于 K，表明 f( $ab{-1}$ )=f(a)f( $b{-1}$ )=1，表明 f(a)=f(b)。

为了检查这个函数是否是同态，f'(aNbN)=f'((ab)N)=f(ab)=f(a)f(b)=f'(aN)f'(bN)，所以它是一个同态。

现在，显然 f' 的像与 f 的像相同，当 f 是满同态时，f' 是满同态。现在假设核 K=N，并且 f'(aN)=f'(bN)。那么 f(a)=f(b)，所以 f( $ab{-1}$ )=1，所以 $ab{-1}$ 在核内，因此在 N 内。这表明 a 和 b 属于同一个陪集，因此 aN 和 bN 是相同的陪集。

注意，这个定理的结果是，当 f 是满同态且 K=N 时，f' 是同构。

以下是一个直接的结果

第一同构定理

令 f 是从 G 到 H 的同态，核为 K。那么 f 的像是与 G/K 同构的。

证明使用上面的因式定理，子群与核相同，同态是其像上的满同态，G/K 必须与 H 同构。

现在令 N 为一个正规子群，令 H 为任何子群。我们这里有有用的

定理

HN=NH，所以 HN 是 G 的一个子群。
N 是 HN 的正规子群
H 和 N 的交集是 H 的正规子群。

证明

hN=Nh 对 H 内的每个 h 成立。
aN=Na 对 G 内的任何 a 成立，所以 aN=Na 对 HN 内的任何 a 成立。
由于 N 是一个正规子群，因此对于 H 内的任何 h，hN=Nh。由于 H∩N 完全在 H 内，让 h 为 h 的元素，h(H∩N) 完全在 H 内，并且是 hN 的子集，实际上是 H∩(hN)，因为它本质上包含陪集 hN 中的所有 H 元素，并且不可能包含任何其他元素。类似地，(H∩N)h 也是 Nh 的子集，H∩(Nh)。由于 hN=Nh，因此 h(H∩N)=(H∩N)h。

第二同构定理

令 G 为一个群，令 H 为 G 的一个子群，令 N 为 G 的一个正规子群。那么 H/(H∩N) 与 (HN)/N 同构。

证明令 f 是从 G 到 G/N 的一个函数，使得 f(a)=aN。现在我们将函数的定义域限制在 H 内的点。那么这个函数是从 H 到 G/N 的一个函数，核为 H∩N。因此，H/(H∩N) 与这个限制函数的像同构，这个像本质上是所有 aN，其中 a 在 H 内。这仅仅是 (NH)/N，因为 NH 包含所有可能的陪集 hN，其中 h 在 H 内，因此商群仅仅是所有 hN，其中 h 在 H 内。

第三同构定理

令 G 为一个群，令 N 为 G 的一个正规子群，令 H 为包含在 N 中的 G 的一个正规子群。那么 G/N 与 (G/H)/(N/H) 同构。

证明定义函数 $f:(G/N)\rightarrow G/H$ 为 f(aN)=aH。如果 aN=bN，那么它们属于 N 的同一个陪集，并且由于 N 是 H 的子群，因此属于 H 的同一个陪集，因此它是良定义的。很明显这是一个满同态。核是映射到 H 的所有元素，因此是 N 的所有在 H 中的陪集，本质上意味着 H/N。因此，根据第一同构定理，G/N 与 (G/H)/(N/H) 同构。

对应定理

同构定理的主要结果实际上被称为因式定理。设 N 为 G 的任意正规子群，H 为包含 N 的 G 的任意子群。很明显，N 是 H 的正规子群。定义函数 f(A)=A/N 将包含 N 的 G 的子群集映射到 G/N 的子群。这是一个一一对应。此外， $H_{1}$ 是 $H_{2}$ 的子群当且仅当 $H_{1}/N$ 是 $H_{2}/N$ 的子群，并且两种情况下的陪集个数相同。此外，H 是 G 的正规子群当且仅当 H/N 是 G/N 的正规子群，并且 $H_{1}$ 是 $H_{2}$ 的正规子群当且仅当 $H_{1}/N$ 是 $H_{2}/N$ 的正规子群。

Proof Given the fact that this is one-to-one, we can also form the inverse of f by using $f^{-1}(A/N)=A$ , which is also a one-to-one function. Thus, f is a bijection. It is also quite obvious that when $H_{1}$ is a subgroup of $H_{2}$ , that $H_{1}/N$ is a subgroup of $H_{2}/N$ . Conversely, when $H_{1}/N$ is a subgroup of $H_{2}/N$ , the application of the inverse of f also makes it obvious that $H_{1}$ is a subgroup contained within $H_{2}$ , automatically making $H_{1}$ a subgroup of $H_{2}$ . We prove that the number of cosets in both cases is the same by defining the bijection $g(aH_{1})=(aN)(H_{1}/N)$ which is well-defined because if $aH_{1}=bH_{1}$ then they belong to the same coset of $H_{1}$ , they also belong to the same coset of $H_{1}/N$ . Now suppose that H is a normal subgroup of G. Then $(aN)(H/N)(aN)^{-1}=(aHa^{-1})/N=H/N$ indicating that H/N is a normal subgroup of G/N. Now let H/N be a normal subgroup of G/N. Now consider the function $h(x)=(xN)(H/N)$ which is obviously a homomorphism. The kernel of this is all elements which map onto H/N, and is thus all cosets of N which map onto an element of H. Thus, H is the kernel of this, and so is a normal subgroup of G. Now suppose that $H_{1}$ is a normal subgroup of $H_{2}$ . Then if we consider N as a normal subgroup of $H_{2}$ , then we immediately get the result that whenever $H_{1}/N$ is normal in $H_{2}/N$ , that $H_{1}$ is normal in $H_{2}$ from what we had already proven. Conversely just use the third isomorphism theorem to prove the converse.

群作用

在我们继续进行技术细节之前，让我们考察一下群的一种应用。对具有底层集合论结构的结构起作用的对称性（即保持结构的自同构）的描述通常可以使用一个称为群作用的概念来完成。它基本上告诉我们任何特定的对称性如何作为集合上的变换起作用。我们已经看到了很多这种群的使用。

示例

共轭

给定一个群 $G$ 和一个元素 $a$ 在 $G$ 中，很容易看出映射 $\phi :G\to G$ 由 $\phi (x)=a^{-1}xa$ 定义是一个自同构 $G$ ，因此 $G$ 中的每个元素都产生了一个自同构。不同的元素可能会产生相同的自同构。例如，如果 $G$ 是阿贝尔群，那么所有这样的自同构都是恒等映射。在这个意义上，我们说群 $G$ 作用于集合 $G$ 上：对于集合 $G$ 中的任何 $x$ ，群 $G$ 作用于它，将 $x$ 发送到 $a^{-1}xa$ 。

定义

给定一个群 $G$ 和一个集合 $X$ ， $G$ 在 $X$ 上的作用是一个同态 $\rho$ ，从 $G$ 到 $X$ 的置换群。回想一下， $X$ 上的置换形成一个群，其群运算为映射的复合，因此 $\rho$ 是一个同态意味着，首先， $G$ 中的单位元映射到单位置换，其次，给定 $g$ 和 $h$ 在 $G$ 中，以及 $x$ 在 $X$ 中， $g(h(x))=(gh)(x)$ ；也就是说， $G$ 中两个元素的乘积与依次应用每个元素的作用效果相同。

轨道、稳定子与类方程

当一个群作用在一个集合上时，很自然地会问，给定集合中的一个元素，群如何影响这个单个元素？群会把它送到哪些位置？这就是元素的轨道。给定 $X$ 中的一个元素 $x$ ， $x$ 的轨道，记为 $G_{x}$ ，是所有点 $g(x)$ 的集合，其中 $g$ 是 $G$ 中的所有元素。

练习：轨道是一个等价类；也就是说，对于任何在 $X$ 中的 $x$ ， $y$ ，由 $x\sim y$ 定义的关系，当且仅当 $\exists g\in G$ 使得 $g(x)=y\,$ 是一个等价关系。

有可能 $G$ 中的两个元素，它们在 $X$ 上的排列是不同的，但将 $x$ 发送到同一个位置。那么如何找到 $x$ 可能的不同目的地的数量，即 $G_{x}$ 的阶数？与其将 $G$ 中的每个元素应用到 $x$ 上，看看它们是否以不同的方式工作，我们寻找另一个极端，即 $G$ 中的不会移动 $x$ 的元素。

For any $x$ in $X$ , the stabilizer of $x$ , denoted by $S(x)$ , is the set of elements of $G$ that leaves $x$ fixed. It can be checked that $S(x)$ is a subgroup in $G$ . Consider the left cosets of $S(x)$ . Any element in a left coset $aS(x)$ can be written as the product $as_{1}$ for some $s_{1}$ in $S(x)$ . The action of $as_{1}$ on $x$ then becomes $as_{1}(x)=a(s_{1}(x))=a(x)$ . On the other hand, given an element $b$ in $G$ that has the same effect on $x$ as $a$ , we have $a(x)=b(x)$ so $b^{-1}a(x)=x$ . This implies $b^{-1}a$ belongs to $S(x)$ , and $a$ , $b$ must belong to the same left coset of $S(x)$ .

我们已经证明了以下内容

定理： $G$ 是一个作用于集合 $X$ 的群。给定 $x\in X$ ， $S(x)$ 的左陪集与 $x$ 的轨道一一对应。

因为 $S(x)$ 是 $G$ 的一个子群，陪集的数目等于 ${|G| \over |S(x)|}$ 。由于轨道是划分集合 $X$ 的等价类，我们有以下结论。

定理（类方程）： $|X|=\sum _{x\in X}{|G| \over |S(x)|}$ ，其中元素 $x$ 取自每个等价类。

如果 $X$ 中每个元素的稳定子群都是平凡子群，则称 $G$ 作用是自由作用。

习题

证明任何 G 作用于 X 会将 X 分割成不相交的轨道。（顺便说一句，这解释了为什么如果 H 是 G 的子群，H 会将 G 分割成陪集。G 上存在一个规范的左 H 作用。）
证明 G 作用于任何轨道也是一个 G 作用。
证明稳定子群总是子群。

如果 G 作用于 X 只包含一个轨道，则称它是传递作用。如果 ρ 是单射，则称 G 作用是忠实作用。

凯莱定理：每个群 G 都有一个传递且自由作用的 G 作用（这两个性质合称为单传递）。此外，这个 G 作用在同构意义下是唯一的。

推论：每个群 G 都同构于某个置换群的子群（它不一定是有限的）。

定理：X 中任何元素 x 的轨道同构于 G 作用于 G/Stab(x)，其中 Stab(x) 是 x 的稳定子群。

即使如此，在谈论指数运算时，我们也需要考虑上述符号。在一般情况下，b^c 表示 b×b×b×...，即 b 自身相乘 c 次。然而，在加法群中，我们仍然写 b^c，但它表示 b+b+b...=cb。第一次看到像 $2^{3}=6$ 或 $1^{4}=4$ 这样的表达式时，可能会让人感到困惑。-->

直积

术语

示例

(Z2,+)

( (Z5)*, × )

注意

(Z, +)

(Q, ×)

置换

子群

定义

习题

答案

没有答案的问题

陪集

示例

示例

属性

拉格朗日定理和陪集

特殊群

正规子群、半直积和商群

示例

循环群

示例

(Z,+)

属性

练习

对称群

交错群

二面体群

群同态

同态

一个例子

核

一个例子

同构

一个例子

两个群具有相同元素集的例子

凯莱定理

证明

自同构

定义

一个例子

习题

同构定理

第一同构定理

定理

第二同构定理

第三同构定理

对应定理

群作用

示例

共轭

定义

轨道、稳定子与类方程

习题

直积

(Z₂,+)

( (Z₅)^*, × )