抽象代数/环的层次结构

交换环

定义 11.1:

一个环 $R$ 乘法为 $\cdot$ 被称为 **交换** 当且仅当 $a\cdot b=b\cdot a$ 对于所有 $a,b\in R$ .

示例 11.2:

整数 $\mathbb {Z}$ 是交换的。
矩阵环 $\mathbb {R} ^{n\times n}$ 的 $n$ 行 $n$ 列实矩阵，矩阵乘法和逐元素加法，对于 $n\geq 2$ 不是交换的。

在交换环中，左理想是右理想，因此是双边理想，而右理想也是。

整环

定义 11.3:

一个 **整环** 被定义为交换环（也就是说，我们通过定义假设交换性），使得只要 $ab=0$ （ $a,b\in R$ ），那么 $a=0$ 或 $b=0$ .

我们可以用另一种方式来刻画整环，这涉及所谓的 *零因子*。

定义 11.4:

令 $R$

因此，一个环是整环当且仅当它没有零因子。

唯一分解整环

定理 11.?:

假设 $R$ 是一个交换环

主理想整环

由于在代数中的重要性，我们将简要介绍*诺特环*的定义，它是一类相当广泛的环，其中许多有用的性质成立。诺特环的理论得到了充分的研究，功能强大且内容广泛，我们将在关于交换代数的维基教科书中详细研究它。我们在这里给出定义的原因是主理想整环是诺特环，这将意味着它们实际上是唯一分解整环。

定义 11.?:

令 $R$ 为交换环。 $R$ 称为诺特环，当且仅当对于 $R$ 的每一个理想序列 $(I_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ，使得

I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \cdots \subseteq I_{k}\subseteq \cdots

存在一个 $N\in \mathbb {N}$ 使得 $I_{N}=I_{N+1}=I_{N+2}=\cdots$ .

这个条件可以解释为说明每一个上升的理想链都稳定下来。诺特环以埃米·诺特的名字命名。

定理 11.?:

每一个 PID 都是诺特环。

证明:

我们之前观察到，环的所有理想的集合是归纳的，并对。因此，如果我们得到一个上升的理想链

定理 11.?:

每一个 PID 都是 UFD。

证明:

令 $R$ 为 PID，令 $a\in R$ .

欧几里得整环

例 11.？（高斯整数）:

我们已经看到 $\mathbb {Z}$ 是一个欧几里得整环。现在考虑环

\mathbb {Z} [i]:=\{a+ib|a,b\in \mathbb {Z} \}\subseteq \mathbb {C}

其中加法和乘法由 $\mathbb {C}$ 的加法和乘法诱导。我们将在练习中看到，这确实是一个带单位元的交换环。此外，我们在此定义一个欧几里得函数如下

N(a+ib):=a^{2}+b^{2}

这确实是一个欧几里得函数， $\mathbb {Z} [i]$ 的单位元是 $\{+1,-1,+i,-i\}$ ，此外，我们可以精确地描述 $\mathbb {Z} [i]$ 的素元，并将它们与 $\mathbb {Z}$ 的素元联系起来。

如果 $p\in \mathbb {Z}$ 是 $\mathbb {Z}$ 中的素数，那么它要么已经是 $\mathbb {Z} [i]$ 中的素数，要么存在 $\pi \in \mathbb {Z} [i]$ 为高斯素数，使得 $p=\pi {\overline {\pi }}$ .
如果 $\pi \in \mathbb {Z} [i]$ 是高斯素数，那么令 $n:=\pi {\overline {\pi }}$ 。要么我们有 $n$ 是 $\mathbb {Z}$ 中的素数，要么 $n=p^{2}$ ，其中 $p$ 是 $\mathbb {Z}$ 中的素数。
在 1. 中，如果 $p\neq 2$ ，前一种情况当且仅当 $p\equiv 1\mod 4$ 发生，后一种情况当且仅当 $p\equiv 3\mod 4$ 发生。

证明:

首先， $N$ 的乘法性证明留作练习，也就是说，你将在练习中证明

N((a+ib)(c+id))=N(a+ib)N(c+id)

.

然后我们必须证明带余除法成立。因此，令 $\sigma :=a+ib$ 和 $\tau :=c+id$ 为 $\mathbb {Z} [i]$ 中的元素。

由于 $1=(-1)^{2}=i^{4}=(-i)^{4}$ ， $1,-1,i,-i$ 是单位元。任何其他单位元都必须具有 $a+ib$ 的形式，其中 $|a|+|b|\geq 2$ 。设 $c+id$ 是它的逆元。那么 $1=N((a+ib)(c+id))=N(a+ib)N(c+id)=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq 2$ ，产生矛盾。

最后，让我们证明关于高斯素数与整数素数关系的陈述。

由于 $\mathbb {Z} [i]$ 是一个欧几里得整环，我们得到了 $p$ 在 $\mathbb {Z} [i]$ 中的素元分解，例如， $p=u\pi _{1}\cdots \pi _{n}$ ，其中 $u\in \{+1,-1,+i,-i\}$ 是 $\mathbb {Z} [i]$ 中的一个单位。如果 $n=1$ ，我们完成了。如果 $n\geq 2$ ，观察到 $p^{2}=N(p)=N(\pi _{1})\cdots N(\pi _{n})$ ，由于 $p$ 是素数，整数的素因子分解唯一性意味着最多两个 $N(\pi _{1}),\ldots ,N(\pi _{n})$ 不等于 1，而等于 1 的则是 $p$ 或 $p^{2}$ 。如果其中一个是 $p^{2}$ ，那么 $p^{2}$ 在 $\mathbb {Z} [i]$ 中只有一个素因子，这是荒谬的，因为 $p^{2}$ 显然不可约。如果

练习

证明如上定义的高斯整数确实形成了一个具有单位元的交换环。利用你对复数的知识（参见复分析维基教科书中的相关章节）。