工程师和科学家高级数学/偏微分方程导论

本书旨在作为偏微分方程（PDEs）的参考书，供已经牢固掌握常微分方程并对偏导数有基本了解的人使用。

本书旨在易于工程师和科学家阅读，同时也能（几乎）足够有趣，适合数学专业的学生。请注意，不会给出关于级数收敛性、唯一性和存在性的深入证明；这一事实会让有些人感到震惊，而另一些人则感到高兴。本书更侧重于解决或至少从涉及偏微分方程的问题中提取信息。前几章的编写特别简单易懂，以便例如有兴趣的工科本科生可以从中受益；但是，后面会介绍和使用向量空间等更重要、更具数学性的主题。

以下是针对初学者的简要介绍，并与常微分方程进行类比。

什么是偏微分方程？

常微分方程（ODEs）在任何时候，只要某个实体的变化率已知就会自然地出现。这可能是人口增长的速度、速度的变化率，或者甚至士兵在战场上死亡的速度。ODEs 描述了离散实体的这种变化。相应地，这可能是人口的资本、粒子的速度，或者一支军队的规模。

多个实体可以用多个 ODE 来描述。例如，在计算机图形学中，布料通常被模拟成由弹簧连接的粒子网格，牛顿定律（一个 ODE）被应用于每个“布料粒子”。在三维空间中，这将导致为每个粒子编写和求解 3 个二阶 ODE。

偏微分方程（PDEs）与 ODEs 相似，它们涉及变化率；但是，它们的不同之处在于它们处理的是连续介质。例如，布料也可以被认为是一种连续的薄片。这种方法很可能只导致 3 个（也许 4 个）偏微分方程，这些方程将代表整个连续薄片，而不是每个粒子的 ODE 集。

这种连续体方法是一种看待事物非常不同的方式。它可能有利也可能不利：在布料的情况下，得到的 PDE 系统将过于难以求解，因此计算机图形学行业采用了基于粒子的方法（但一个主要的反例是流体，它在大多数情况下将由 PDE 系统表示）。
虽然 PDEs 在计算机上可能不太容易求解，但它们在适用时比 ODEs 有一个主要优势：从一个庞大的粒子系统中几乎不可能获得任何分析见解，而一个相对较小的 PDE 系统可以揭示很多见解，即使它不会产生解析解。

但 PDEs 并不严格地描述连续介质力学。就像任何数学一样，它们是你对它们的定义。

偏微分方程的特征

ODE 的解可以表示为一个变量的函数。例如，地球的位置可以用相对于（例如）太阳的坐标表示，这些坐标中的每一个都是时间的函数。请注意，其他天体的作用肯定会影响解，但它仍然可以严格地表示为时间的函数。

PDE 的解通常取决于多个变量。一个例子是振动弦：弦的偏转将取决于时间以及你正在观察弦的哪个部分。

ODE 的解称为轨迹。它可以用一个或多个曲线图形表示。但是，PDE 的解可能是表面、体积或其他东西，这取决于涉及的变量数量以及它们如何解释。

一般来说，PDEs 很难求解。变量分离或积分变换等概念往往以不同的方式起作用。一个重要的困难是，PDE 的解在很大程度上取决于初始/边界条件（ICs/BCs）。ODE 通常会产生一个通解，其中包含一个或多个常数，这些常数可以从一个或多个 ICs/BCs 中确定。但是，PDEs 并不容易产生这种通解。适用于一个初始边界值问题（IBVP）的解法可能对不同的 IBVP 毫无用处。

PDEs 在数值上也往往更难求解。大多数情况下，ODE 可以用其最高阶导数表示，并且可以使用完善的、或多或少普遍适用的方法（例如龙格-库塔 (RK)）在计算机上非常容易地求解，前提是了解 ICs（边界值问题要复杂一些）。考虑到这一点，ODE 可以通过将方程及其 ICs/BCs 输入到正确的应用程序中并按“求解”按钮来快速求解。但是，PDE 的 IBVP 通常需要其自身的专用解法，并且可能需要付出很大努力才能使解法的精度超过（例如）二阶。

一个早期的例子

前一部分中的许多概念可以在此示例中总结。我们暂时不会处理 PDE。

考虑沿横向绝缘的杆的热流。换句话说，热量只沿着杆流动，而不是流入周围的空气。我们把杆的温度称为$u$，并让$u=u(x,t)$，其中$t$ 是时间，$x$ 表示沿杆的位置。由于温度取决于时间和沿杆的位置，这正是$u=u(x,t)$ 所表达的。它是热量分布随时间的变化。请参见下面的图形以了解概念。
假设该杆的无量纲长度为$1$，并且它的初始温度（同样是无量纲的）已知为$u(x,0)=\sin(\pi x)$。这说明了初始条件，它取决于$x$。该函数在0到1之间形成一个简单的凸起。您可以使用maxima自行验证（http://maxima.sourceforge.net 或在安卓系统上）：plot2d(sin(x*%pi),[x,0,1])
假设该杆两端（即$x=0$ 和 $x=1$）的温度以某种方式固定为$0$。这将导致$u(0,t)=u(1,t)=0$，它指定了边界条件。BCs 指出对于所有 t，$u=0$ 在 $x=0$ 和 $x=1$。

可以写一个 PDE 来描述这种情况。这个 PDE 以及 IC/BCs 构成了一个初始边界值问题 (IBVP)。该 IBVP 的解是（将物理常数取为$1$)

$u(x,t)=e^{-\pi ^{2}t}\sin(\pi x)\,$

注意

$u(x,0)=e^{-\pi ^{2}0}\sin(\pi x)=\sin(\pi x)\qquad {\mbox{(it satisfies the IC)}}\,$

$u(0,t)=e^{-\pi ^{2}t}\sin(\pi \cdot 0)=0\,$

$u(1,t)=e^{-\pi ^{2}t}\sin(\pi \cdot 1)=0\qquad {\mbox{(it satisfies the BCs)}}\,$

它也满足 PDE，但（同样）这将在后面介绍。

该解决方案可以被解释为一个曲面，它在下面的图中显示，其中 $x$ 从 $0$ 到 $1$，而 $t$ 从 $0$ 到 $0.5$。也就是说，随着热量流动和消散，热量分布会随着时间的推移而改变。

$u(x,t)$ 从 $t=0$ 到 $t=0.5$，以及 $x=0$ 到 $x=1$。

曲面可能不是传达信息的最佳方式，在这种情况下，可能更好的绘图方式是将 $u(x,t)$ 绘制为在不同 $t$ 值下的曲线，如下所示。

$u(x,t)$ 在感兴趣的域中，对于各种有趣的 $t$ 值。

偏微分方程非常多样化，它们的初始条件和边界条件会极大地影响它们的求解方法。因此，学习的最佳（即最容易）方法是查看许多不同的问题以及它们的解决方法。