普通力学/偏导数

现在我们将暂时离开物理，讨论偏导数的主题。关于此主题的更多信息可以在微积分/偏微分方程部分中找到，位于微积分书籍中。

偏导数

在一维中，函数f(x)的斜率由一个数字df/dx描述。

在更高维度中，斜率取决于方向。例如，如果f=x+2y，沿x方向移动一个单位会使f增加1，因此在x方向上的斜率为1，但沿y方向移动一个单位会使f增加2，因此在y方向上的斜率为2。

事实证明，我们可以用n个数字来描述n维空间中的斜率，即f的偏导数。

为了计算它们，我们对一个坐标进行微分，同时保持所有其他坐标不变。它们用∂而不是d来表示。例如

$f(x+dx,y,z)=f(x,y,z)+{\frac {\partial f}{\partial x}}dx\quad (1)$

注意，这几乎与普通导数的定义相同。

如果我们在每个方向上移动一小段距离，我们可以将三个类似于1的方程组合起来得到

$df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}dz$

在小位移后，f的变化是位移与一个特殊向量的点积

$\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)\cdot \left(dx,dy,dz\right)=\operatorname {grad} f=\nabla f$

这个向量称为f的梯度。它指向最陡峭斜率的方向。我们将经常使用这个向量。

偏导数 #2

另一种方法来处理多变量函数的微分可以在费曼物理学讲义第2卷中找到。它是这样的

微分算子定义如下：$df=f(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)-f(x,y,z)\,\!$ 在 $\Delta x,\Delta y,\Delta z\to 0$ 的极限中。加减一些项，我们得到

$df=(f(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)-f(x,y+\Delta y,z+\Delta z))+(f(x,y+\Delta y,z+\Delta z)-f(x,y,z+\Delta z))+(f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z))\,\!$

这也可以写成

$df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}dz$

其他符号

为简洁起见，我们经常使用各种标准缩写，这样我们就可以将大部分公式写在一行上。这可以让我们更容易地看到重要的细节。

我们可以用下标来缩写偏微分，例如

$D_{x}h(x,y)={\frac {\partial h}{\partial x}}\quad D_{x}D_{y}h=D_{y}D_{x}h$

或者

$\partial _{x}h={\frac {\partial h}{\partial x}}$

通常，为了使公式更简洁，我们将下标放在函数本身。

$D_{x}h=h_{x}\quad h_{xy}=h_{yx}$

更多信息

请参阅偏微分方程部分中的微积分书了解更多信息。