10.3: 二项式定理
符号 ' n ! {\displaystyle n!} n 阶乘 。
n ! = n × ( n − 1 ) × ( n − 2 ) × ( n − 3 ) × ⋯ × 3 × 2 × 1 {\displaystyle n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times \dots \times 3\times 2\times 1} 0 阶乘 等于 1。
0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1} 0 阶乘等于 1 的证明
n ! = n × ( n − 1 ) ! {\displaystyle n!=n\times (n-1)!} 当 n = 1 时，
1 ! = 1 × ( 1 − 1 ) ! {\displaystyle 1!=1\times (1-1)!} 1 = 1 × 0 ! {\displaystyle 1=1\times 0!} 因此，
0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1} 二项式定理给出多项式的系数
( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} 我们可以不失一般性地考虑一个变量 z 的 n 阶多项式。假设 x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} z = y / x
( x + y ) n = x n ( 1 + z ) n {\displaystyle (x+y)^{n}=x^{n}(1+z)^{n}} ( 1 + z ) n {\displaystyle (1+z)^{n}}
( 1 + z ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) z k {\displaystyle (1+z)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}z^{k}} 注意到
( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}} 在 *x* 和 *y* 中是对称的，恒等式
( n n − k ) = ( n k ) {\displaystyle {n \choose n-k}={n \choose k}} 可以通过将 *k* 替换为 *n - k* 并反转求和顺序来证明。
关于 ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}}
( 1 + z ) n + 1 = ( 1 + z ) ( 1 + z ) n = ∑ k = 0 n + 1 ( n + 1 k ) z k = ( 1 + z ) ∑ k = 0 n ( n k ) z k {\displaystyle (1+z)^{n+1}=(1+z)(1+z)^{n}=\sum _{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k}z^{k}=(1+z)\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}z^{k}} 或者
∑ k = 0 n + 1 ( n + 1 k ) z k = ∑ k = 0 n ( n k ) z k + ∑ k = 0 n ( n k ) z k + 1 = ∑ k = 0 n ( n k ) z k + ∑ k = 1 n + 1 ( n k − 1 ) z k {\displaystyle \sum _{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k}z^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}z^{k}+\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}z^{k+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}z^{k}+\sum _{k=1}^{n+1}{n \choose k-1}z^{k}} 由于这必须对所有 *z* 值成立，因此方程式两边 z k {\displaystyle z^{k}}
( n + 1 k ) = ( n k ) + ( n k − 1 ) {\displaystyle {n+1 \choose k}={n \choose k}+{n \choose k-1}} 对于 k 从 1 到 n，以及
( n + 1 n + 1 ) = ( n n ) = n ! ( n − n ) ! n ! = n ! n ! = 1 {\displaystyle {n+1 \choose n+1}={n \choose n}={\frac {n!}{(n-n)!n!}}={\frac {n!}{n!}}=1} ( n + 1 0 ) = ( n 0 ) = n ! ( n − 0 ) ! 0 ! = n ! n ! = 1 {\displaystyle {n+1 \choose 0}={n \choose 0}={\frac {n!}{(n-0)!0!}}={\frac {n!}{n!}}=1} 帕斯卡三角形是上述递归关系的示意图...
证明
( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}} (用数学归纳法证明n )
一个有用的恒等式是通过设置 z = 1 {\displaystyle z=1}
∑ k = 0 n ( n k ) = 2 n {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}} (本节摘自差分三角形)
让我们看看 (x+1)n 的结果，其中 n 的范围从 0 到 3。
(x+1)0 = 1x0 = 1
(x+1)1 = 1x1 +1x0 = 1 1
(x+1)2 = 1x2 +2x1 +1x0 = 1 2 1
(x+1)3 = 1x3 +3x2 +3x1 +1x0 = 1 3 3 1
这个新三角形就是帕斯卡三角形。
它遵循与差分三角形不同的计数方法。
The sum of the x-th number in the n-th difference and
the (x+1)-th number in the n-th difference yields the
(x+1)-th number in the (n-1)-th difference.
如果我们要使用 X-gon 中的差分三角形来计算 (x+1)10 ，那么需要进行大量的加法。但是，使用我们从差分三角形中推导出的帕斯卡三角形，任务变得简单得多。让我们展开帕斯卡三角形。
(x+1)0 1
(x+1)1 1 1
(x+1)2 1 2 1
(x+1)3 1 3 3 1
(x+1)4 1 4 6 4 1
(x+1)5 1 5 10 10 5 1
(x+1)6 1 6 15 20 15 6 1
(x+1)7 1 7 21 35 35 21 7 1
(x+1)8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
(x+1)9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
(x+1)10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
三角形的最后一行告诉我们
(x+1)10 = 1x10 + 10x9 + 45x8 + 120x7 + 210x6 + 252x5 + 210x4 + 120x3 + 45x2 + 10x1 + 1x0 .
问题 2:
