代数/第 2 章/集合

代数

2.3：集合

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在本节中，我们主要设置了一些有用的符号。虽然这里的想法对于代数研究来说并不十分重要，但它们确实会时不时地出现，所以请注意！正是因为这些想法并不在每一页都重新出现，所以当它们突然出现在后面时，它们可能会令人困惑。因此，请准备好根据需要重新访问本节以刷新您的记忆。

集合与数轴

集合是一组事物。它们也是表达式的一个例子，因为集合也描述了我们感兴趣的数学对象，在这种情况下是一组对象。

集合的例子可能是英语字母表中使用的字母集合，或约翰·斯坦贝克撰写的所有书籍的集合。对我们来说，我们将讨论的集合通常是数字集合，因为这些是代数中重要的集合。集合中的每个事物称为集合的元素。集合中元素的数量可以是有限的，也可以是无限的。唯一的要求是集合的元素应该以某种方式明确描述，无论是在现在还是在将来（在我们解决某个问题之后）。在这本书中，我们主要尝试使用大写字母作为集合的符号，而小写字母通常（但并不总是！）用于变量。

一个集合中可能没有元素；这样的集合称为空集或零集。对于空集，我们使用符号∅来表示它。

一个集合可以通过在大括号，即{和}，内放置一个元素列表来写出，每个元素用逗号隔开。例如，一个包含 1 到 10 的自然数或整数的集合 S 可以显示如下

$S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\,$

并非总是能够列出集合中的所有数字。在这些情况下，我们依赖英语来描述集合。没错！文字也是数学的重要组成部分。最后也是可能最常见的符号涉及使用变量和代数表达式，以及对变量可以取值的描述。例如，要描述平方数的集合，我们可以写

$\{n^{2}\mid n{\text{ is a whole number.}}\}$

或者我们甚至可以在描述中使用其他集合，例如

${\Big \{}n^{2}\mid n\in \{0,1,2,3,\ldots \}{\Big \}}$

有时我们想明确地表明一个特定的数字（或事物）在一个集合中。保持 S 来自上面的例子，我们知道 2 是 S 的元素，而不是用英语写出来，有时人们会使用简写 2 ∈ S。选择符号 ∈ 是因为它看起来像 E，而 E 是“元素”这个词的第一个字母。如果我们想表达某个东西不属于某个集合，我们使用符号 ∉。所以继续我们的例子，我们知道 11 ∉ S。

让我们来看看一个练习题。

问题。对于以下每个集合，判断 7 是否在集合中

1. A={1, 2, 3, 5}
2. 奇数集 O。
3. C={1, 2, 3, 4, 5, …, 100}
4. 所有素数的集合 P。

答案。

1. 我们可以通过观察看到 7 ∉ A。
2. 7 ∈ O 因为 7 是一个奇数。
3. 7 ∈ C。这是一个有点棘手的問題。虽然还没有明确地说过，但当列出元素时，人们有时使用 … 来表示“遵循模式”。而在数学的其他地方，… 继续以这种方式使用，所以现在是时候习惯它了。这里模式是我们从 1 开始，然后不断地使数字增大 1，所以是的，如果我们继续下去，我们将到达 7。
4. 7 ∈ P。这个问题要求我们尝试分解 7，或者之前已经知道它是素数。由于 2、3、4、5、6 在我们用它们除以 7 时都会留下余数，所以我们看到 7 是一个素数。

我们现在介绍了当你有两个或多个集合时出现的基本思想。

子集与超集

有时一个集合中的每个元素都包含在另一个集合中。例如，令 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 且 T = {2, 4, 6, 8, 10}。显然 T 只是 1 到 10 之间的偶数，并且 T 中的每个数字都已经在 S 中。在这个例子中，我们会说 T 是 S 的子集。与其说哪个集合更小，不如说哪个集合更大，称之为超集。也就是说，我们可以说 S 是 T 的超集。随着人们越来越深入地处理集合，人们越来越倾向于说 T 小于 S（或者可能是 小于 S）。事实上，我们已经这样说了！因为一个集合包含在另一个集合中的关系与一个数字小于另一个数字的关系如此相似，所以引入一个与不等号 < 非常相似的符号是自然的。为了避免将集合与数字混淆，我们不想使用完全相同的符号，所以我们将圆点稍微圆一点，使用符号 ⊂。因此，与其用文字写“T 是 S 的子集”，不如写 T ⊆ S。就像不等式一样，我们可以将符号颠倒过来。我们只需要确保圆的一端指向较小的那个。也就是说，对于我们的例子，我们可以写 S ⊃ T。

如果两个集合具有完全相同的元素怎么办？在这种情况下，我们说这两个集合是相等的。因此，如果有人说令 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，那么我们说 S 和 U 是相等的。这次我们不必担心将集合和数字混淆，我们将坚持使用符号 = 来表示两个集合相等时。所以我们可以写 S = T。是否存在对应于 ≤ 和 ≥ 的关系？是的，它们是 ⊆ 和 ⊇，它们的工作方式如您预期的那样。以下表格解释了每个符号的工作原理。

空集是所有集合的子集。

语句	含义
T ⊂ S	表示 T 是 S 的子集。也就是说 T 的每个元素都是 S 的元素，但 S 中存在某个元素不在 T 中。
T ⊃ S	表示S 是 T 的真子集。也就是说，S 的每个元素都是 T 中的元素，但 T 中存在某些元素不在 S 中。
S = T	表示S 和 T 包含完全相同的元素。也就是说，S 的每个元素都是 T 中的元素，并且 T 的每个元素都是 S 中的元素。
T ⊆ S	表示T 的每个元素都是 S 中的元素。（请注意，这种说法允许 S = T 的可能性）
S ⊇ T	表示T 的每个元素都是 S 中的元素。

文氏图

文氏图 使用平面上的简单闭合曲线（如圆）来显示集合之间的逻辑关系。

约翰·文恩

并集和交集

关于集合还有另外两件事需要做。给定集合 S 和 T，我们可能想谈论在 S 或 T 中的 所有 元素。因为集合仅仅是事物的集合，而“在 S 或 T 中的元素”也是一个集合，所以你可以把它看作是定义一个名为 S 和 T 的并集的新集合。我们将 S 和 T 的并集写成 S ∪ T。我们使用符号 ∪ 因为它看起来像 u，而 u 是“union”（并集）这个单词的首字母。让我们做一个例子。

问题。 假设 S = {2, 4, 6, 8, 10} 并且 T = {3, 6, 9, 12, 15}，求 S ∪ T。

答案。 S ∪ T = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15}

在这个例子中，需要注意的一点是，S ∪ T 不包含两个 6。并集包含任一集合中的所有元素，但 6 仍然只是 一个东西，恰好在两个集合中。

给定集合 S 和 T，与其思考在任一集合中的东西，不如考虑在 两者 集合中 的东西。我们再次考虑“在 S 和 T 中的元素”的集合，这个集合被称为 S 和 T 的交集。我们将 S 和 T 的交集写成 S ∩ T。我们不使用符号 ∩ 因为它看起来像 i。它不是。不知何故，两个符号之间的 i 不会好看，所以我们想选择别的东西。这个符号仅仅是并集符号的倒置符号。让我们考虑一下上述问题中的交集是什么样子的。

问题。 假设 S = {2, 4, 6, 8, 10} 并且 T = {3, 6, 9, 12, 15}，求 S ∩ T。

答案。 S ∩ T = {6}

数字 6 是两个集合中唯一的数字，因此它是交集中唯一的元素。

下标

在“令 x 和 y 为数字”这样的句子中，我们可以假设 $x=y$ 的可能性。如果我们希望排除这种可能性，我们会明确说明。我们会说“令 x 和 y 为不同的数字”。我们可以继续使用这种模式，谈论超过两个变量，例如在“令 x、y 和 z 为数字”这样的句子中。但字母表中只有二十六个字母。由于可选字母有限，我们显然会在枚举变量时用完字母。因此，我们使用带有下标的新符号，下标是写在数字旁边的微小数字。我们可以使用以下新符号

$Let\ x_{1},\ x_{2}\ be\ numbers.$ $Let\ x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\ be\ numbers.$ $Let\ x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ x_{4}\ be\ numbers.$

当然，这个句子的最一般形式是

$Let\ x_{1},......,x_{n}\ be\ numbers.$

其中 n 表示集合中对象的數量。